УМФ Тихонов (965259), страница 46
Текст из файла (страница 46)
При рассмотрении последовательностей функций в различных задачах приходится иметь дело с разными опрсцелениями сходимости. Говорят,что последовательность функций (и„ (х) ) = и~ (х), из(х), ...., и„ (х), (6) сходится равномерно на интервале (а, Ь), если для любого с > > 0 можно указать такое Х, что при и, т > Х для любого х из (а, Ь) будет выполняться условие ~ич(х) — и (х)( < е при п, 7п > Х.
Говорят, что последовательность (6) сходится в среднем на интервале (а, Ь), если для любого е > О можно указать такое Х, что при и, т>Х ~ ич (х) — и,„(х) ~ Нх < е. а Говорят, что последовательность (6) сходится слабо на интервале (а, Ь), если для любой непрерывной функции 1" существует Этот результат, очевидно не зависит от выбора последовательности ( р„ ). Хотя последовательность (и„ ) и сходится к 1/г, однако последовательность ( р„ ) не имеет предела в классе рассматриваемых кусочно-диффсренцирусмых функций.
«Предельный образ», соответствующий последовательности ( р„), называют функцией б (М, Мо). Основным свойством, определяющим д-функцию, является следующее формальное операторное соотношение: 288 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 предел 1пп 11х) и„(х) Йх. и — ~~ / а При рассмотрении сходящихся последовательностей обычно вводят предельные элементы последовательностей. Рассмотрим класс непрерывных функций на интервале 1а, 6). В случае равномерной сходимости предельный элемент принадлежит тому же классу функдий, что не всегда имеет место для сходимости в среднем и слабой сходимости. Если предельный элемент не принадлежит рассматриваемому классу функций, то вводят предельные элементы, расширяя исходный класс.
При этом под расширением понимается совокупность исходных и предельных элементов. С понятием расширения встречаются в теории действительного числа, .когда иррациональные числа вводятся как предельные элементы, определяемые классом эквивалентных послсдовательностей. Рассматривая предельные элементы в смысле слабой сходимости, мы будем говорить, что две последовательности, 1 и„) и ( и„), имеют один и тот же предельный элемент, если они эквивалентны, т. е. последовательность )и„ вЂ” и, ) слабо сходится к нулю: 1пп / 1 (х) (и„(х) — п„(х)] г1х = О.
а Будем называть последовательность неотрицательных функций )д„) нормированной локальной последовательностью точки хв, если функция бп равна нулю вне интервала (хе — св. хе+ + еп),. где с„— э О при и -э оо, и 6п(х)г1х = 1. а Очевидно, что последовательность 1 д„) сходится слабо. Предельный элемент последовательности 1б ) обычно называют д-функцией точки хо.
В том случае, если предельный в смысле слабой сходимости элемент и последовательности 1 и„) выходит из класса функций и„, то интеграл от произведения некоторой функции 1 на элемент и определяется как предел 11пз у 1х) и„1х) Йх = / у' (х) и 1х) сЬ. и — ~ж / а а 289 У1, б-ФУНКЦИЯ Очевидно, что для б-функции точки хо имеет место равенство ь ,)'(х) б(х, х.) дх = У(хо). 1 1 г тя тя тя тя б (х, хо) = — + — ~ (соз — х соз — то+сйп х гйп хо) = 21 1 1 гпя = — + — ~ соз (х — хо), (7) 21 илиг в комплексной форме, д„(Х, ХО) = — 2 ЕГ'" Т г О~ 21 — п (7') определенных на интервале ( — 1, 1). Очевидно, что для любой функции д (х), разлагаемой в ряд Фурье, имеет место следующее предельное равенство; 1гпг / б (х, хо) д (х) ггх = д (хо) (8) которое показывает, что в классе функций (д(х) ), разлагаемых в ряды Фурье, приведенная выше последовательность ба(т, хо) экви- валентна в смысле слабой сходимости последовательности б„(х, хо), т.
е. что 1 1 гик б (х, то) = — + — ~ соз (х — хо), 21 (9) если это равенство понимать с точки зрения слабой сходимости. С этой же точки зрения имеет место равенство б (х~ хо) — ~ гРп (х) гг'о (хо) ~ (10) а=1 19 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский Это соотношение часто принимают за определение б-функции. 2. Разложение б-функции в ряд Фурье. б-Функцию можно определить так же, как предельный образ других последовательностей, эквивалентных в смысле слабой сходимости приведенной выше последовательности б„(х) локальных нормированных функций точки хо.
Рассмотрим последовательность функций 290 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1П где ( Зз„(х) ) полная ортогональная и нормированная система функций, определенных на некотором интервале (а, Ь), а также равенство б(Х, ХО) = — / Е!"!" "!!1ь'= — / СОЗР(Х вЂ” ХО)<й (11) 2я,/ — СЖ о Покажем, что при вычислении интегралов, содержащих б-функцию, можно пользоваться рядом (9), производя почленное интегрирование подынтегральной функции.
Рассмотрим некоторую функцию д (х), разложимую в ряд Фурье, и интеграл д (х) б (х, хо)!1х. — 1 Подставляя сюда вместо функции б (х, хе) ес выражение из формулы (9), выполним почленное интегрирование ряда, стоящего под знаком интеграла. В результате получим д(х) = — + ~ ~(д соя ™~ х+д„,з1п х), (11') Р~=! где 1 до =— д (хе) дхе, д (хе) соз хс бхе, пт д (хо) з1п хо !1хо. (12) 1 дш =— Сопоставление формулы (11) с равенством ! б(х, хо)д(х)дх = д!хо) ( — 1< хо < 1) — ! показывает, что выполненное выше почленное интегрирование ряда для б-функцни приводит к правильному результату. Таким образом, в классе функций, разложимых в ряд Фурье, последовательность частичных сумм 1 '! ! -~9 21 —.2 е' 291 У1, б-ФУНКЦИЯ эквивалентна нормированной локальной последовательности ( б„).
другие формы представления б-функции также основаны на использовании некоторых функциональных последовательностей, эквивалентных в смысле слабой сходимости последовательности ( б„). 3. Применение б-функции к построению функции источника. Рассмотрим следующую задачу: ил — — а и (13) и(х, О) = 9л(х), (14) и (х, 1) = Е [~р (х)) = / С (х, с, 1) р (6) ллс, о (16) где С (х, с, 1) -- киро оператора ь'. Для того чтобы найти ядро С (х, С, 1), положим ~р(х) = б(х-хо). (14') Заменяя в формуле (16) 9л(х) б-функцией, получим и (х, 1) = С (х, хо, 1), (17) т. е.
С (х, хо, л) является решением задачи (13) при начальном условии (14'). Представим б-функцию в виде ряда Фурье: 2 пя пя б(х — то) = э — яш — хя1п — хо. п.=л Ядро С, очевидно, надо искать в виде суммы С (х, хо, 1) = ~ ~А„(1) яш — х, о=.л (18) каждое слагаемое которой должно удовлетворять уравнению тепло- проводности. Отсюда следует, что А„(1) =В„е ( ~ ) Изначального условия сразу же получаем 2, ия В = — яш — хо. 19* и (О, л) = лл(1, л) = О. (16) Заданной функции ло (х) соответствует единственное решение задачи и(х, 1) = Е(~р(х)1 Лопустим, что оператор Е можно представить в вице 292 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1П Таким образом, мы формально получили для ядра С выражение С(х хо 1)= — ~е л'с ' сйп — хяш — хе (19) 1, 1 1 и (х, О) = ссс(х) = б (х — хе).
Имея в виду разложение б-функции в интеграл Фурье (2Ц 1 Г б (х — хе) = — / соЯ Л (х — хе) асЛ, о будем искать С (х, хе, 1) в вице 1 Г а(х, х., 1) = — ~'Ал(1) сояЛ(х-хе) ~Л. е (22) Из уравнения (20) находим ( ) ~<о) 'л'с Полагая 1 = 0 и сравнивая формулы (23) и (21), получаем А® =1. (23) Таким образом, — 'л'с С(х, хе, М) = — ( е ' сояЛ(х — хе) с1Л. е Вычисление этого интеграла дает 1 с *яс С(х, хе, .1) = е с~с 2 лl аз1 Отсюда следует, что решение задачи о распространении тепла на бесконечной прямой должно выражаться формулой и(х.
1) = ( С(х, (, 1) ср(() ссС. (24) совпадающее с представлением для функции источника, которое было исследовано в 3 3. Решение задачи (13) — (15) дается формулой (16), где С (х, хе, 1) функция, определяемая формулой (19). Подобным же образом можно найти выражение для функции источника на неограниченной прямой. Функция С в этом случае будет определяться условиями и, — азиях = 0 ( — оо < х ( со), 293 У1, б-ФУНКЦИЯ Г(х, 1) и~ — — о,и,,+ ср (25) где Р(х, 1) плотность распределенных тепловых источноков. Если в точке х = С в момент 1 = 1о помещен мгновенный источник тепла мощности Ч)о, то г (х 1) = Юоб(х — Об(1 — 1о).
(26) Найдем решение неоднородного уравнения и, = а ия, + — б(х — с)б(1 — 1о) (оо > 0) Чо- (27) ср при нулевом начальном условии и(х, 0) = О. Учитывая интегральное представление 1 Г б (х — с) = — / соз Л (х — С) с~Л, о будем искать функцию и (х, 1) в виде 1 /' и (х, 1) = — / ил (1) соя Л(х — с) дЛ. о Подставляя эти выражения в уравнения (27), получаем уравнение для ил (1): ил(1) + а Л ил(1) = — б(1 — 1о) 2 2 ч)о ср с начальным условием ил(0) = О. Как известно, решение неоднородного уравнения и + ави = у (1), и (О) = 0 имеет вид и(1) = / е 0 '1~(т) ат.
о (28) Выяснение границы применимости формул, полученных методом б-функции, требует специального исследования. В качестве примера рассмотрим теперь неоднородное уравнение 294 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 В нашем случае при 1 <1о, / а2Л2 2 ил11) = — I е ' П '1д(т — 1о)йт= С22,/ о а2л2 2 2 — л П вЂ” 22) при1)1о ср 129) Таким образом, и(х, 1) = — — / е ' ~ '22 сов Л(х — () дЛ = — С(х, ~, М вЂ” 1о), ср и С 22 о где 1 ( — еЯ 0(х, 6 1 — 1о) = е а" П вЂ” 'а) 21 а — а) функция влияния мгновенного точечного источника. Подобный метод построения функции влияния часто используется в теоретической физике21.
Л См. подробное изложение теории б-функции и многочисленные примеры ее применения в книге; Иваненко Д. Д., Соколов А. А. Классическая теория поля. (Новые проблемы). М.; Л., 1951. Гл. 1. ГЛАВА 1Ч з'РАВНЕНИЯ ЗЛЛИПТИк1ЕСКОГО ТИПА При исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа Ли=О. Функция и называется гармонической в области Т, если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до 2-го порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа. При изучении свойств гармонических функций были разработаны различные математические методы, оказавшиеся плодотворными и в применении к уравнениям гиперболического и параболического типов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
