УМФ Тихонов (965259), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Пусть и1 и из непрерывные в Т+ Е и гармонические внутри Т функции, для которых ~из — из ~ < в на Е. Тогда это же неравенство выполняется внутри области Т. Это утверждение непосредственно вытекает из следствия 2 (с. 316) в силу того, что С = в является гармонической функцией. Таким образом, мы доказали непрерывную зависимость решения от граничных условий и Единственность решения первой внутренней краевой задачи. 4.
Задачи с разрывными граничными условиями. Часто встречается также первая краевая задача с разрывными граничными условиями. Функция, непрерывная в замкнутой области, не может быть решением этой задачи. Поэтому требуется уточнить постановку первой краевой задачи применительно к рассматриваемому случаю. Пусть на кривой С, ограничивающей область Я на плоскости (х, у), задана кусочно-непрерывная функция 1 (Р). Требуется найти функцию и(М): Ц гармоническую внутри области Н: 2) непрерывно примыкающую к граничным значениям в точках непрерывности последних; 3) ограниченную в замкнутой области Н+ С.
Заметим, что дополнительное требование ограниченности фактически относится к окрестностям точек разрыва функции 1 (Р). Покажем следующую теорему. Решение первой краевой задачи с кусочно-непрерывными ераничныли значениями единпавенно. Пусть из и из два решения поставленной задачи. Разность и = иг — из 1) является гармонической функцией внутри Н; 2) непрерывно примыкает к нулевым граничным значениям на границе, за исключением точек разрыва 1 (Р), в которых она может претерпевать разрыв; 3) ограничена в Н+ С: ~о~ < А.
Построим гармоническую функцию где е --произвольное положительное число, .В --.диаметр области, г, расстояние от рассматриваемой точки М до 1-й точки разрыва Р;. Функция С (М) положительна, так как все слагаемые больше нуля. з 2) ОБЩие сВОЙстВА ГАРмОнических ФУнкЦий 319 Построим в каждой точке разрыва Р; круг К, радиуса б, выбрав б так,чтобы каждое слагаемое и е 1п— г$ на соответствующей окружности С, превосходило А, т. е. чтобы е1п(11/б) > А. Функция о непрерывна в замкнутой области Я— — 2 '," „К, = о", и ~о~ < П на границе этой области.
Поэтому в силу принципа максимума П является мажорантой функции о: ~о (М) ~ < П (М). Фиксирован произвольную точку М из области Я и устремляя е к нулю, получаем 1пп 11(М) = О. ь — >В Следовательно, о(М) = О, так как о не зависит от е, или из = из что и требовалось доказать. 5. Изолированные особые точки. Рассмотрим особые точки гармонической функции. Пусть Р изолированная особая точка, лежащая внутри области гармоничности функции и. Представляются возможными два случая: 1) гармоническая функция ограничена в окрестности точки Р; 2) гармоническая функция не ограничена в окрестности точки Р.
С особыми точками второго рода мы уже встречались (например, точка О функции 1п (1/г)). Следующая теорема показывает, что первого типа особых точек не существует. Если ограниченная функция и (М) является гармонической внутри области Я, за исключением точки Р, то можно так определить значение и(Р), чтобы функиия и(М) была гармонической всюду внутри 5. Возьмем круг К„радиуса и с центром в точке Р, целиком лежащий внутри Я, и рассмотрим внутри него гармоническую функцию о, совпадающую с функцией и на окружности С круга К О Составим разность ю = и — о, которая: 1) гармонична всюду внутри Ко, кроме точки Р, в которой ю не определена; 2) непрерывно примыкает к нулевым граничным условиям на С; О Существование такой функции будет установлено в з 3, причем построение ее не базируется на доказываемой теореме.
320 УРАВНКНИЯ ЭЛЛИПТИЧКСКОГО ТИПА 1ГЛ. 1У 3) ограничена в замкнутой области К„-1- С (~ю~ < А). Так же, как и при доказательстве предыдущей теоремы (п. 4), построим неотрицательную гармоническую функцию 11(ЛХ) = е!и —. Здесь е произвольное положительное число, о радиус круга К„, расстояние от рассматриваемой точки М до точки разрыва Р. Построим круг Кв с центром в точке Р, выбрав его радиус 6 так, чтобы на его окружности значение 11 превосходило А, и рассмотрим область К вЂ” Кг. Функция ю непрерывна в замкнутой области д < < с < он и на границе этой области имеет место неравенство ~и~ < 17. В силу принципа максимального значения неотрицательная функция ХХ является мажорантой функции и; 1ю~ < ХХ 1М) для б < т < о.
Фиксируя произвольную точку М области К,, не совпадающую с Р, и совершая предельный переход при е — > О, получаем 1пп П (М) = О. г — ~0 Следовательно, всюду, за исключением, быть может, точки Р, ю = О. о' (М) =е При доказательстве теоремы этого пункта мы предполагали, что функция и ограничена в окрестности точки Р.
Однако тс же рассуждения остаются в силе, если предположить, что функция и в окрестности точки Р удовлетворяет неравенству 1 ~ и 1М) ~ < е 1г) 1об ггм (1 7) где е1г) произвольная функция, стремяшаяся к нулю при г — ~ О, т. е. в окрестности точки Р функция и1ЛХ) растет медленнее, чем 1ой11Хгрм). Итак, если функция и1М) является гармонической функцией внутри области о за исключением точки Р в окрестности которой Таким образом, функция и всюду в области о, за исключением точки Р, совпадает с функцией о. Полагая и 1Р) = о 1Р), получим функцию и = и, гармоническую всюду внутри области о.
Тем самым теорема доказана. Аналогично проводится доказательство теоремы для случая трех измерений, где в качестве мажорантной функции может быть взята функция з 2) ОБЩие сВОЙстВА ГАРмОнических ФУнкЦий 321 она растет медленнее, чем!об(1~тир) при М вЂ” л Р, то эта функция является ограниченной в окрестности точки Р, и можно так определитпь значение и(Р), что функция и будгип гармонической во всей области Я. Аналогично в случае трех независимых переменных получим: если гармоническая функция и(М) в окрестностпи изолированной особой точки Р растет медленнее, чем 1Лг; 1 )н(М)~ < г(г) (г(т) з 0 при т -+ 0), (18) гмг то она ограничена в окрестности этой точки и можно так определить значение и(Р), чтобы функция и(М) была гармонична и в самой точке Р. б. Регулярность гармонической функции трех переменных в бесконечности. Гармоническая функция трех переменных и (х, у, г) называется регулярной в бесконечности„если А ди А ди А ди А !и~< — и — < —, — < —, — <— (10) дх т' ду т' дг т' при достаточно большом г ) то.
Локажем, что если функция и (х, у, г) гармонична вне некоторой замкнутой поверхности Х и равномерно стремится к нулю на бесконечности, то она регулярна на бесконечности. Условие равномерного стремления к нулю на бесконечности означает, что существует такая функция г* (т), что /и(М)! < г*(т) (г*(з) — л 0 при г — + оо), (20) где т радиус-вектор точки М. Совершив преобразование Кельвина о (т', д, р) = ги(т, д, р), где т = —, получим, что функция о гармонична всюду внутри поверхности Е', в которую переходит поверхность Е при преобразовании обратных радиусов-векторов, за исключением начала координат, где она имеет изолированную особую точку. Из условия (20) следует, что в окрестности начала координат для функции о имеет место неравенство ,лс11 1 !лл(т, у, ул)! < г' ( — ) — = г (г ) —, г! где г(т) =г' — — >0 при т -+О.
. л'1зз ! ~,т') 21 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский 322 УРАВНКНИЯ ЭЛЛИПТИЧКСКОГО ТИПА ~ГЛ. 1У На основании последней теоремы и. 5 функция о (~~, В, ~р) ограничена и гармонична при г' < г„': ~о(г', В, д)) < А при г' < го, (21) откуда и следует,что ~и(г,б, р)~= ' ' < — при глго= —,. (е(г', О, ~р)! А 1 г г т'„ В силу гармоничности функции и при г' = О можно написать: ди(х, у, з) д (1 ю (х~ у~ г~) дт дх з,г ' ' / х 1 ~ ди дх' до ду' ди дз'1 .о+ ' ~. ~. г ~дх д ду дх дя дх~' (22) где 1 х = — г, з я = — г. т у = — с, у ! Отсюда, вычисляя производные дх',1дх, ду'/дх, дз'/дх и принимая во внимание ограниченность первых производных функции и в окрест- ности точки г' = О, получаем ди А — < — при г — з со.
дх т' и~за — — сопз1 = Д. Аналогичные оценки имеют место для производных ди/ду и ди/дз. 7. Внешние краевые задачи. Кдинственность решения двух- н трехмерных задач. Внешние краевые задачи по-разному ставятся для трех и двух независимых переменных. Рассмотрим сна зала случай трех переменных. Пусть Т область, внешняя к некоторой замкнутой поверхности Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
