УМФ Тихонов (965259), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В этом параграфе мы рассмотрим задачи Пирихле (внутреннюю и внешнюю), при решении которых используются только тригонометрические функции. Позже, при изучении специальных функций, будут рассмотрены задачи Дирихле для сферы и цилиндра. 1. Первая краевая задача для круга.
Решим первую краевую задачу для круга. Найти функцию и, удовлетворнюгцую уравнению 13) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 329 (см. формулу (34) 3 1). Будем решать задачу методом разделения пе- ременных, т. е. будем искать частное решение уравнения (1) вида и (р, ~р) = Л (р) Ф (р) ф О. Подставив предполагаемую форму решения в уравнение (3), получим 4 Ь Ф" Л Ф где Л = сопз$.
Отсюда получаем два уравнения; Ф" +ЛФ=О, Ффо, (4) д / ДЛЛ р — (р — ) — ЛЛ=О, Л~О. др пр Первое из этих уравнений дает Ф (р) = А соя ъГЛ р+ Вз1п ЪУЛ р. Заметим, что прн изменении угла р на величину 2х однозначная функция и (р, ф должна вернуться к исходному значению: и (р, у+ 2х) = и (р, р) (условие периодичности). Отсюда следует, что Ф (р+ 2х) = Ф (р), т. е.
Ф (у) является периодической функцией угла р с периодом 2х. Это возможно, .только если згЛ = и, где и - . целое число, и Ф„(~р) = А„соя пр+ В„з1п кр. Функцию Л(р) будем искать в виде Л(р) = ре. Подставляя в уравнение (5) и сокращая на р", находим и = р, или ц = х и (о ) 0). Следовательно, Л(р) = Ср" + Рр-", где С и Р постоянные. Для решения внутренней задачи надо положить Л = Ср" (р = и), так как если Р ф О, то функция и = Л (р) Ф (р) обращается в бесконечность при р = О и не является гармонической функцией внутри круга.
Для решения внешней задачи, наоборот, надо брать Л = Рр (р = — и), поскольку решение внешней задачи должно быть ограничено в бесконечности. ЗЗО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. 1У Итак, частные решения нашей задачи найдены ~1: ии(Р, 1Р) = Ри (АиСОЬтКР+Впэтттид) ДЛЯ Р < а, 1 ип(Р, 1Р) = — (АиСОЗтКР-~- В„З1ППУт) ДЛЯ Р > а. Р" Суммы этих решений и(р, 1Р) = ~~ р" (А„созпут+ В„з1пп1Р) для внутренней задачи, и,=о 1 и(Р,Ут) = ~ — (А„созл~1Р+ Визшпу) длЯ внешней задачи п=о Р при достаточно хорошей сходимости также будут гармоническими функциями.
Для определения коэффициентов Аи и В„используем граничное условие и (О, 1Р) = ~ аи (Аи СОЗ тиР + В Зтн П1Р) = т. (б) Считая, что у' задана как функция угла 1о, возьмем ес разложение в ряд Фурье 1 (ут) = — + ~ (оп сов тир+ (тп з(п п1р), п=т (7) сое пут и ри етп пЗт, будучи действительной и мнимой частями функции п р е '~ = (ре ~) = (х-тту)", являются многочленами по х и у.
Очевидно, что многочлен, удовлетворя- ющий уравнению тки = О при р > О, в силу непрерывности вторых произ- водных удовлетворяет также этому уравнению при р = О. ~~ Выражение оператора Лапласа в полярной системе координат (3) при р = О теряет смысл. Докажем, что тзип —— О также при р = О. Для доказательства этого факта мы уже не можем пользоваться полярной системой координат. Перейдем к декартовой системе координат. Частные решения МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ где 1 Р <хп = — ) 1 <'<Р) соя п<)«1<Р (и = 1, 2, ...), — и 1 Г ~3п = — ) 7'ф) зшп<р<1ф <и = 1, 2, ...).
Сравнивая ряды (6) и (7), получаем ОО <Хп < и Ао = †, А„ = †, В„ = — для внутренней задачи, ап' ап «о Ао = — Ап = а„а" < Вп = <З„а" для внешней задачи. 2' Таким образом, мы получили формальное решение первой внутренней задачи для круга в виде ряда и (р, <р) = — + ~ <х — ) (<х„соз пр + <З„з<п п<р), оо /Р1" 2 «а< п=< (8) а решение внешней задачи в виде ряда -"и и «о <<а'< и ( р, <р) = — + ~п — (оп соз п<р + <эп з|п п<р) . 2, ~,р) и<р, <р) = — + ~п1" (<хпсозп<р+В зшпр), <хо п=х где р — < 1 при р < а (внутренняя задача), а а — < 1 при р ) а (внешняя задача), Чтобы убедиться в том< что полученные функции действительно являются искомыми решениями, нужно убедиться в применимости принципа суперпозиции, для чего надо доказать сходимость рядов, возможность их почленного дифференцирования, а также непрерывность этих функций на границе круга.
Оба ряда можно представить одной формулой: 332 УРАВНЕНИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. 1У а„, Д„коэффициенты Фурье функции 1 (~р). Покажем, что ряды 18), 19) можно дифференцировать при 1 < 1 любое число раз. Пусть и„= $" 1ао соя тР+;у„е1пп Р). Вычислим к-ю производную функции ио по ез; = Гьл," [ао соз (ар+ й — ) + Д„з1п (ар + к — ) ~ .
Отсюда получаем оценку д и„ дф" где через М обозначен максимум модуля коэффициентов Фурье а„и 13: (а„) < М, ф„) < М. (10) Фиксируем некоторые значения ро < о (для внутренней задачи) или рз = аз/ро > а (для внешней задачи), при этом 1о = ро/а < 1. Рассматривая ряд Е 1" Я ба, ~ + И ~) < 2М Х,1" пь' (1 < 1е), о=1 о=1 видим, что он сходится равномерно при 1 < 1о < 1 для любого к. Поэтому ряды 18) и (9) можно дифференцировать по сз в любой точке внутри (вне) круга любое число раз.
Аналогично доказывается, что по переменной р также можно дифференцировать ряды 18) и 19) внутри (вне) кРУга РадиУса Ро < а 1Рз > а) сколько Угодно Раз. В силу произвольности ро заключаем, что ряды (8) и 19) почленно дифференцируемы во всякой внутренней (внешней) точке круга. Из возможности почленного дифференцирования следует применимость принципа суперпозиции. Таким образом, доказано, что функции (8) и (9) удовлетворяют уравнению Ьи = 0 О. При этом доказательстве мы пользовались только тем свойством функции 1 Ор), что се коэффициенты Фурье ограничены (формула (10)).
Это имеет место для любой ограниченной функции (и даже Это уравнение удовлетворяется также при р = О; в самом деле, выражая производные по декартовым координатам чероз производные по полярным координатам, нетрудно убелиться, что функции (8) и 19) при 1 < 1о можно дифференцировать по я и у любое число раз. В силу примечания на с. 330 отсюда слодует,что Ьи = О при р = О.
~3) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 333 Ли=О для 1<1. Этим замечанием мы воспользуемся позже при обобщении результатов, полученных в настоящем пункте. Обратимся теперь к доказательству непрерывности функции в замкнутой области (1 < 1). Очевидно, что без более детальных сведений относительно свойств функции 1 (ар) этого сделать нельзя. Из предположенной непрерывности и дифференцирусмости функции г" (ар) следует ее разложимость в ряд Фурье, а также сходимость ряда С другой стороны, имеем )1пс)„созпар! < ()т„), (1")З„э1ппар~ < )3„). Поэтому ряды (8) и )9) сходятся равномерно при 1 < 1 и, следовательно, представляемые ими функции непрерывны на границе круга.
Из формулы (11) видно, что функция (9), полученная для внешней задачи, ограничена на бесконечности. Таким образом, установлено, что ряды (8) и (9) удовлетворяют всем условиям рассматриваемых задач. 2. Интеграл Пуассона. Преобразуем теперь формулы (8) и (9) к более простому вицу. Для определенности рассмотрим внутреннюю задачу, а для внешней напишем результат по аналогии.
Подставляя выражения для коэффициентов Фурье в формулу (8) и меняя порядок суммирования и интегрирования, будем иметь л и(р, ар) = — ~ 1)'ф — + ~~а ~ — ) (созпфсоэпа)з+ зшпа)) эшнар) 61)) = ~2 а — 1 1)а) -ал )-) . )„,-л))пл. )аа) ~2 а п=1 Произведем следующие тождественные преобразования: 1 „1 — + ~~а 1" созп(Э) — ф) =— 2 2 + 'ааа ~ апа)п — и) + — апра — Е)~ 1 —. 2 п.=1 )а,,п —.)) а)а —,аг —.)Г)1 п.=.1 =( к для любой абсолютно интегрируемой функции). Таким образом, ряды (8) и (9), соответствующие любой ограниченной функции, определяют функции, удовлетворяющие уравнению 334 УРАВНЕНИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. 1У ! 1еци е1 яе 1+, + 1 — 1еци Е~ 1 — яе П" яз (1 = Р < 1) .
1 — 21соя(~р — ф) +яз Подставляя полученные результаты в равенство (12)., получаем 1 аз — Рз и (Р,,) = — /' 1 (ф) з з,1ф. (13) 2л у рз — 2ар соя (р — ф) + аз Полученнгл формула, дающая решение первой краевой задачи внутри круга, называется интегралом Пуассона, а подынтегральное выражение а — рз К (р, яэ, а, яз) = рз — 2арсоя(~о — 1г) + аз ядром Пуассона. Отметим, что Л (р, яз, а, ф) > 0 при р < а, так как 2ар < аз + рз, если р ф а. Интеграл Пуассона выведен в предположении р < а; при р = а представление (13) теряет смысл. Однако 1'1 Ь:Р) =П '), ~ — ~то так как ряд, из которого получен интеграл Пуассона, является непрерывной функцией в замкнутой области. Функция, определенная формулой 1 2 2 и1р, еп) = 2я „рз — 2ар соя (~р — ф) + аз 1(т) з зМ'нрпр<а (13 ) ! УМ при р = а, удовлетворяет уравнению Ьи = О при р < а и непрерывна в замкнутой области вклкячая окружность р = а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
