УМФ Тихонов (965259), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В любой плоскости 2 = = сопзг потенциал, очевидно, принимает одно и то же значение. Поэтому достаточно исследовать потенциал точки (х) у), лежащей В в плоскости 2 = О. Определим потенциал однородной бесконечной прямой Ь. Направим ось 2 вдоль о этой прямой. Пусть погонная плотность (т. е. масса единицы длины) равна д. Сила притяжения элементом ххх точки Р"с. 54 Р(х, 0) (рис. 54) и ее составляющая по оси х равны соответствен- но ДЬ2 РЬ2 Нз (хя + 2') ' лх=лле- =-«л, э'+*э' Отсюда «,)2 сЬ 2 1 1 2д Х = — дх = — дх — / созайа = —— (, г+ 2)з'г хз / х — л/2 Если Р (х, у) произвольная точка, то сила притяжения точки линией Ь будет, очевидно, направлена вдоль Ох« и равна по величине 2д Р= —— ) Р где р = 'х2 -';- уэ.
1 И=2д1п —, Р (5) в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием. Потенциал этой силы называется л о г а р и ф м и ч е с к и м п о т е нциалом и равен 352 УРАВНЕНИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. 1У Логарифмический потенциал является решением уравнения Лапласа с двумя независимыми переменными, обладающим круговой симметрией вокруг полюса в точке р = = О, в которой он обращается в бесконечность. Р Таким образом, потенциал однород- ной прямой дает плоское поле и выража- Р ется формулой (5).
Представление потен- С циала в виде интеграла было получено йг нами лишь для ограниченных объемов ~~. Отметим, что в отличие от объемного потенциала логарифмический не обращается в нуль на бесконечности, а имеет там логарифмическую особенность. Вычислим теперь компоненты силы притяжения точки Р (рис. 55): х / хзЗ Х = Р соя а = — 2Р— ~соя а = — ), Р Р К = Резца = — 2п — ' ~ззпо = — ) у згг уэ~ Р Р Если имеется несколько точек (бесконечных прямых с распределенной вдоль них массой), .то в силу принципа суперпозицни силовых полей потенциалы точек (линий) будут складываться.
В случае области о' с непрерывно распределенной плотностью л (~, Л) з~ (рис. 56) компоненты силы притяжения точки Р выразятся При вычислении потенциала бесконечной прямой нельзя было непосредственно интегрировать потенциалы отдельных элементов, так как в этом случае получается расходящийся интеграл. В самом деле, потенциал элемента тзя равен Ья Ьи = Р / 2 е 2 Формальное интегрирование дает расходяпаийся интеграл <Ь IРЗ ззз ~~ Это соответствует в пространстне цилинцру с образующей, параллельной оси я, и сечением о в плоскости (х, у), с объемной плотностью Р (б, у) не зависящей от С ТЕОРИЯ ПОТЕ1ЩИАЛА з 5) 353 двойныл~и интегралами: и†( Х = -2~~ д 1,~, ц) ~,, 1~ 26, (6) 2 ~~ р ~~: ") ( с)з („ )г ос с1" У 9 и потенциал будет равен Рис. 56 т — Кк„ имеет предел, не зависящий от выбора областей К,„, то этот предел называется несобственным интегралом от функции 23 А.
Н. Тихонов, А. А. Самарский что нетрудно проверить дифференцированием для точек, лежащих вне 5. Если же точка Р лежит в области о, то необходимо провести до~ол~~~е~~~ое ~солодова~~с. 3. Несобственные интегралы. Потенциалы и компоненты силы притяжения представляются с помощью интегралов, у которых подынтегральные функции обращаются в бесконечность, если мы рассматриваем их значения в точках, находящихся в Р области, содержащей притягивающие массы.
М(б н) Как известно, если подынтегральная функция обращается в некоторой точке области интегрирования в бесконечность, то интеграл нельзя определить как предел интегральной суммы. Действительно, в этом случае интегральная сумма не имеет предела, так как слагаемое, относящееся к элементарному объему, содержащему особую точку, может как угодно сильно менять величину суммы в зависимости от выбора промежуточной точки. Интегралы от подобных функций определяются как интегралы несобственные.
Пусть в области Т задана функция Р(и, у, я), обращающаяся в бесконечность в некоторой точке Мо (ло, уо., яо). Рассмотрим определенный интеграл по области Т вЂ” К, где Кс некоторая окрестность точки Мо диаметра, не превосходящего ж Если при произвольном стягивании области Квв к точке Мо последовательность интегралов ТЕОРИЯ ПОТЕ1ЩИАЛА з 5) 355 зависит от формы области К,„.
Действительно, любую область К,, можно заключить между двумя сферами ггг„и гг;„, радиусы котовы' рых еа, и е„а стремятся к нулю вместе с е„(рис. 57). В силу положительности подынтегральной функции Ш'""-Я ""- Ш™ т — к„, т — к,„ т — к,„, Отсюда видно, что 1пп Ш г'дт = 1пп Ш Рдт =1, т — к,„ т — к,„ так как пределы крайних интегралов суРис. 57 ществуют и равны этому числу. Таким образом, в случае трет независимых переменных несобственный интеграл Я вЂ” Йт т (8) Ос при о < 2 сходится, а при о ) 2 расходится.
Остановимся на признаке сходимости несобственных интегралов. Докажем, что для псодимоста несобственного интеграла ЯГ(*,у, )дхдуд. т (9) достаточно, чтобы существовала такая функция Р (хг у, г), для копгорой несобственньгй интеграл по области Т сходится, и чтобы имело место неравенство ~р(х, у, г)~ < г(х, уг г). Рассмотрим некоторую последовательность областей Тге, содержащих особую точку Мо. В силу сходимости последовательности интегралов Х„от функции г' для всякого е ) 0 существует такое Аг (е), 23* существует, если о < 3, и не существует, если о ) 3.
Для другого числа независимых переменных критическое значение о, определяющее границы сходимости интегралов типа (8), равно числу измерений; так, например, для двух независимых переменных интеграл 357 ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА з 5) 1'(М) = ~ Р(Р М) 1(Р) д р т где Р(Р, М) функпия, обращающаяся в бесконечность при совпадении аргументов и непрерывная по М, а 1 (Р) -— ограниченная функция. Интеграл (1Ц называется равномерно сходящимся в точке Мо, если для любого е ) 0 можно указап1в такое б(е), что имеет место неравен- ство / Г(Р, М)~(Р)д~р <е тг Р1 Рис, 68 для любой точки М, расстояние которой от Мо меныае б(е), и для любой области Т41 р содержащей точку Мо и имеющей диаметр д < б(е).
Покажем, что интеграл 11(М) — / Р(Р. М) у(Р) дтр т равномерно сходящийся в точке Мо, есть непрерывная функция в этой точке Мо, Мы должны доказать, что для любого е можно указать такое б (е), что ~11 (М ) — 1У (М) ~ < е при !ММо! < б(е). Выберем внутри области Т некоторую область Т„содержащую точку Мо (рис. 58), и разобьем интеграл на два слагаемых; — 1'1 + 1'2~ 11 Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М., 1967. С. 442. трам и независимым переменным является достаточным условием непрерывности самого интеграла как функции параметров~1.
Цля несобственных интегралов непрерывность подынтегральной функции не имеет места, и поэтому указанный выше критерий неприменим. Установим критерий непрерывности несобственных интегралов, зависящих от параметра. Будем рассматривать несобственные интегралы 388 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. 1У где интеграл И1 берется по области Т„а Иг по области Тг = Т— — Т1. В дальнейшем мы более точно определим размеры области Т1. Рассмотрим неравенство (МО) 1т (М)~ ъ () 2 (МО) 12 (М)(+ ~~1 (МО)~ + Г'1 (М)~ ~1тг (Мо) — 1г (М)~ < — при ~МОЛ1~ < б ( — ) .
3 3 Полагая б (е) = ппп ~б' ( — ), б" ( — ) ~, )1т (ЛХ) — И (Мо)) < с при ~МОРФ) < б, получим что и означает непрерывность равномерно сходящегося интеграла. Отметим, что полученные результаты справедливы не только для интегралов по объему, но также и для интегралов по поверхностям и линиям. Это обстоятельство будет использовано нами в дальнейшем. Рассмотрим потенциал 1т(М) = Я т и компоненты силы притяжения Х(М) = — Я (и — с) Йтр, т (12) У (М) — — ф (у — 21) 01тр, ~мр т (13) и покажем, что каждое из слагаемых, стоящих справа, можно сделать меньше е/3 при цостаточно малом (МОЛ.'~.
Выбирая область Т, внутри сферы радиуса б'(е13), будем иметь (1'1 (Мо)) < — и )1т1 (М)! < —, если )МОЛ1! < б' ( — ) . Существование такого б' вытекает из условия равномерной сходимости интеграла (1Ц в точке М0. Выбор области Т, определяет область Тг. Так как точка Мо лежит вне области Тг, то интеграл 1тг является непрерывной функцией в этой точке. Отсюда следует существование такого б" (е,13), что 360 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. 1У получаем <С~~~ з <С~~~ з =8ябС<е, км эз кмО Б если э <б(с) = 8яС ' Таким образом, потенциал Г и компоненты силы притяжения Х, 1', Я являются непрерывными функциями во всем пространстве П. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
