УМФ Тихонов (965259), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Выбирая г1 = е/Вв, убеждаемся в том, что для любого с > О можно найти такое Ем содержащее Ро, что ~1~ (ЛХ)~ < е при любом положении точки М. Отсюда и следует равномерная сходимость интеграла 1(М) в точке Ре, а также его непрерывность в этой точке. Если И', (Ро) и И'„(Ро) пределы потенциала И (М) при М э -э Ре с внутренней и наружной сторон поверхности Е, то Игп(Ро) = И'~(Ро) + 1(Ро) = И'~(Ро) + 1(Ро) + 2лио = И'(Ро) + 2хл(Ро) з 5) ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА и, аналогично, И' (1Ъ) = И'(Ре) — 2яц(Ро). Справедливость формулы (38) установлена. Проведенное выше доказательство справедливо для поверхностей, удовлетворяющих условию ограниченности (43).
Пля выпуклой поверхности, которую всякий луч из точки М пересекает не более двух раз, Вг. < 8я; для поверхностей, состоящих из конечного числа выпуклых частей, Вп также ограничено. Таким образом, наше доказательство относится к весьма широкому классу поверхностей. Все приведенные выше рассуждения остаются в силе и для функций двух независимых переменных. В этом случае формулы (41) принимают вид (39) И; (Ре) = И' (1Ъ) + я (Ре), И'~ (Рс) = И' (Ре) — яг (Ре).
9. Свойства потенциала простого слом. В отличие от потен- циала двойного слоя потенциал простого слоя (26) 1'(М) = 0 уз(Р) сЬр непрерывен в точках поверхности Х. Убедимся в этом для случая гладкой поверхности Х. Для этого достаточно установить равномер- ную сходимость интеграла И (М) в точках поверхности Е. Пействительно, пусть Ре - некоторая точка поверхности Х. Пред- ставим потенциал $' в виде суммы 1 1 // р(~ )<1цР+ / / р(Р)~1цР = 11 -ь 12, ВМР ВмР п1 где Ез достаточно малая часть поверхности Х, содержащаяся в сфе- ре радиуса Б с центром в точке Ре. Величину д мы более точно опре- делим в дальнейшем. Рассмотрим систему координат с началом в точке Ре, ось которой направлена по внешней нормали в Рс.
Пусть М(т, д, з) произвольная точка, отстоящая от Рс (О, О., 0) на расстояние МРе < д. Обозначим через Х' проекцию Ез на плоскость (я, у), а через КД круг радиуса 2д с центром в точке М' (и, у, 0), целиком содержащий область Е'. Предполагая ограниченность функции р: !р(Р)! < А и принимая во внимание, что 4т' зс дц Йт = соз у соз у 378 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧКСКОГО ТИПА ~ГЛ.
1У получаем Й~' ~$'1 (М)~ < А = А 0 ( / Агзгр П соз у (х — Д)2+ (р — 81)2+ (2 б)г Х1 1 2АР (, // '1 б ~'(* 81' + 18 81' 1 б 8 1* 81' + о 81' П8 к,81' 1 28 если д настолько мало, что сову ) 1/2. Введем в плоскости (х, у) полярную систему координат (р8 уб) с началом в точке М'. Тогда можно написать 2б 2л ~г (ч)~ 2 1// = 2А/ / = АА б. о о зб Выбирая д = е/(8яА), будем иметь ~$1 1М)1 < е, если ~МРо ~ < д. Следовательно, И (М) равномерно сходится во всякой точке Ро Е К и является непрерывной функцией в этой точке.
Обратимся теперь к изучению поведения нормальных производных потенциала простого слоя на поверхности. Покажем, что они имеют на К разрыв такого жс типа, как и потенциал двойного слоя. Внешняя и внутренняя нормальные производные функции 18 -- ЙЪА/Йп„ и АПА/81п, определяются следующим образом. Пусть Ро некоторая точка К. Из точки Ро проведем ось 2, которую можно направить либо вдоль внешней, либо вдоль внутренней нормали. ре Рассмотрим производную Л'/АЬ в некоторой точке М оси 2.
Обозначим через (811'/812), и (сПА/сЬ)„ пределы производной Л'/812 при стремлении точки Л1 к точке Ро с внутренней или наружной стороны поверхности Е. Если ось 2 направлена по внешней (внутренней) нормали, то эти значения называются внутренними и внешними предельными значениями производной по внешней (внутренней) нормали в точке Ро Л.
И 1М) — б" (Ро) В Предел разностного отношения при М вЂ” б ро равен !МРО! пределу извне для производной по внешней нормали или пределу изнутри для производной по внутренней нормали, в зависимости от того, с какой стороны точка М приближается к точке Ро. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА в 5) Исследуем разрывы внутренней нормальной производной потенциала простого слоя на Х. Производная Л"/дх в точке М оси направленной по внутренней нормали, равна где ф угол между осью х и вектором МР. Проведем из точки Р (рис. 63) нормаль Рс1 и прямую РХ, параллельную оси х (нормали в точке Ре), и обозначим через О угол г1РсВ, равный углу между нормалями в точках Р и Ре Ц.
Выражение для потенциала двойного слоя Иг(М) содержит множитель (сояф11с~, где ~р = 1МРС1. Так как угол МРА1 равен х — уй то сов(к — ф) = сов вз соя д + вш у яш д соя й = — соя ф, где й двугранный угол с ребром Р1вз~. Отсюда следует, что др 1 1 сов вз я111 вз — (М) = — () дсоя9 ' сЬ вЂ” )) рв1песовй сЬ = дв,/1 Дз 11 Дз = — Игз — 1 (М), (45) где Иг~ (М) -потенциал двойного слоя с плотностью д1 — — рсояд, имеющий разрыв на поверхности Х.
Очевидно, что интеграл 1(М) является функцией, непрерывной в точке Ре, так как 1 (ЛХ) сходится равномерно в этой точке (см. примечание на с. 378). Возвращаясь к формуле (45), видим, что с дИ 'г — ) = — И'1 (Ро) — 2крг (Ро) — 1(Ре), дх), (46) с др '1 — ) = — И'~ (Ро) + 2кр1 (Ре) — 1 (Ре). дх ) „ П Очевидно, что У и в1пя стремятся к нулю, когда Р— ~ Ре. Если поверхность обладает конечной кривизной в окрестности точки Ре, т. е. ее уравнение можно представить в виде х =1(х, у), где 1(х, у) имеет вторые производные, то вшу будет днфференцируемой функцией х., у и., следовательно, вшу < Аг (для поверхностей Ляпунова вшу < Аг ).
в 21 Если направление Рс1 принять за ось новой сферической системы, то эта формула совпадает с формулой (13) ва с. 345. 380 УРАВНКНИЯ ЭЛЛИПТИЧКСКОГО ТИПА [ГЛ. 1У Обозначим с аг~ — ) = — Игз (Ре) — 7(Ре) = о з О з соз ~р /' 1, ойп ~р — д созд, И~ — ~~ д зшО соей г1о. и и=ге О соз узс где, 4е — угол между осью г и вектором РоФ. Замечая, что рз (Ро) = д (Ре), находим — 2яд (Ро), (47) + 2яр (Ро)., так как по условию ось з направлена по внутренней нормали.
Если ось я направить по внешней нормали, то знак сов ч изменится и мы получим + 2яд (Ро), — 2яд (Ро). (48) Лля случая двух переменных имеют место аналогичные формулы с заменой 2я на я. 10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач. Метод разделения переменных и метод функции источника позволяют получить явное выражение для решения краевых задач только в случае областей простейшего вида.
Сведение краевых задач для уравнения Лапласа (или Пуассона) при помощи поверхностных потенциалов к интегральным уравнениям, с одной стороны, удобно для теоретического исследования вопроса о разрешимости и единственности краевых задач, с другой стороны, дает возможность аффективного численного решения краевых задач для областей сложной формы. Рассмотрим внутренние краевые задачи для некоторого контура С. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 381 з 5) Найти функцию и, гармоническую в области Т, ограниченной контуром С, и удовлетворяюгцую на С граничным условиям и~с = У (первая краевая задача) или ди — (вторая краевая задача). ~н с Аналогично ставятся внешние краевые задачи О.
Будем искать решение внутренней первой краевой задачи в виде потенциала двойного слоя; И'(М) = ~ и(Р) Нвр = — ~ (1п о(Р) е1вр. /' сов~р / д / 1 Нмг г)ич' Нлл' При любом выборе п(Р) функция Иг(М) удовлетворяет уравнению Лапласа внутри С. Функция И'(М) разрывна на контуре С. Для выполнения граничного условия, очевидно, надо, чтобы И;(Р ) =) (Р). Яо (Ро) + / п(Р) бвг =,((Ро). у Нгоро с (49) Если обозначить через во и в дуги контура С, соответствующие точ- кам Ро и Р, то уравнение (49) можно переписать в виде 'и'(во) + / Н (во в) н(в) Ив = У(во) о (50) где Ь длина контура С и д ~г 1 1 сову К (во, в) = — ~ 1п етг 1, Нпдв / Нггв (ог1) П При постановке второй краевой задачи, как внутренней, так и внешней, в граничном условии нормаль будем считать внутренней.
Принимая во внимание формулы (39), получаем уравнение для опре- деления функции и (Р): 382 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. 1У ядро этого интегрального уравнения, являющегося интегральным уравнением типа Фредгольма 2-го рода. г1.
Для внешней задачи получается аналогичное уравнение -хп (зо) + / К (зо, з) г (з) гх =,( (зо). о Лля второй краевой задачи получаются уравнения — пп (зе) + / Кг (зе, з) д(е) дз = г" (зе) (внутренняя задача), (53) о яр (зо) + / Кг (зо, з) р(з) г(з =,)' (зо) (внешняя задача), (54) где а ( Кг (зе, з) = (1п алга Х аггРа / аагга (55) если ее решение искать в виде потенциала простого слоя 1 и(М) = 1п р(Р) г)зр. у ллг с 11 Интегральные уравнения, содержагцие интегралы с постоянными пределами, называются уравнениями Фредгольма: К (х, з) аа (а) гЬ = Г" (х) (1-го рода), а у(х) + / К(х, к) га(з)г1з = 1(х) (2-го рода). а 21 Нетрудно видеть, что К (ко, а) = Кг (к, ве).
Такие ядра называются сопряженными, а соответствующие им уравнения называются сопряженными интегральными уравнениями. Вопросы, связанные с разрешимостью этих уравнений, будут рассматриваться в и. 11 настоящего параграфа. Рассмотрим краевые задачи для некоторых простейших областей, для которых соответствующие интегральные уравнения легко разрешимы. 384 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. 1У М лежит внутри С: с с с с = — ) ( — — ) ~ ( ) 6 . (59) С 1 /' сову К,/ йМР с Из ллОРМ (рис.
65) видно, что сову 1 2й сову — ймр 2ййлгр сову — йзлгр йм 2й 2йймг 2йй~~гР йз 2 2й [йз + рз — 2йро сов(д — до)] ' (60) так как Ро = й + ййгр 2йймР совУ. Подставляя выражение (60) для К в формулу (59), получаем интеграл Пуассона 1 р (йз — рз) 1 (В) дд 2я,/ йз + рз — 2йрс сов( — до) ' о дающий решение первой краевой задачи для круга. Р(л) Рл)ла) Рис. 64 Рис. 65 Проведенные в этом пункте рассуждения показывают, что при лквбой непрерывной функции 1" формула (61) определяет гармоническую функцию, непрерывно примыкающую к граничным значениям 1. Если функция 1 кусочно-непрерывна, то в силу свойства потенциала двойного слоя функция И' также непрерывна во всех точках ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА з 5) 385 непрерывности у.
Из ограниченности функции у (Я <С следует ограниченность функции (61): ~Иг (Ро, 0о) ~ < С вЂ” з с10 = С, о так как оз 2 Ро д0 = 1П. 2н / Яз+Ро — 2ЛРо соз(0 — 0о) о (62) И'(т У з) = ~~ г м Ы Ю 1ИЧ, Н' = 1т — 6 + Ь вЂ” Ю + з . В данном случае соз ~Р Ла Лз пт ьс) + (р,)з+ з]зй и ядро интегрального уравнения Таким образом, плотность потенциала двойного слоя (1э) = — У (1э), 1 2п и искомая функция равна 1 ГР и (т, у, я) = — 0 з 1 (о,ц) сКЙц. 2н У' пт ьс)г+~„,)з+ з)зй Нетрудно показать, что и(т, д, я) равномерно стремится к нулю при к= хотт„~е, и. о ку П Равенство (62) следует из того, что левая часть представляет решение первой краевой задачи при Т = 1. 25 А. Н. Тихонов, А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
