УМФ Тихонов (965259), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Лч М., 1937. Т. 11. С. 713. 23 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский 402 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1Ч от питающей батареи. На поверхности земли измеряются напряжения созданного таким образом поля постоянного тока. При помощи наблюдений на поверхности определяют подземную структуру. Методы определения подземных структур (интсрпретация наблюдений) базируются на математическом решении соответствующих задач. Потенциал поля постоянного тока в однородной среде удовлетворяет уравнению Лапласа, Ь$' = 0 (з > 0) при дополнительном условии =О, дР дз ;=о (2) которое означает, что вертикальная составляющая плотности тока (см. с. 297) на («дневнойэ) поверхности з = 0 равна нулю, так как полупространство я ( 0 (воздух) непроводящее.
Рассмотрим точечный электрод на границе полупространства в точке А. Очевидно, что потенциал поля будет равен 1р 2яЛ' И(ЛХ) — г'(Х) = — Ьг, дИ дг где Ьг расстояние между точками 1У и М. Предполагая, что точки М и 1з' достаточно близки между собой, имеем И (М) — И (Х) дИ 1р ,хг дг 2ягз ' где г —. расстояние точки О (центра приемной пепи МХ) от пита- ющего электрода. Сила тока 1 в питающей цепи известна, так как регистрируется в течение хода работы.
Отсюда для сопротивления однородного полупространства получим 2ятз дИ Р= 1 дг (4) где Л --- расстояние от источника А, р удельное сопротивление среды, а 1 сила тока. Эта функция отличается от функции источника в неограниченном пространстве коэффициентом 2 в силу условия (2). Измеряя разность потенциалов в точках М и А1, лежащих на одной прямой с А, при помозци измерительной цепи, получаем П1. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ 403 Если среда неоднородна, то величину р, определяемую по формуле 14), называют кажущимся сопротивлением и обозначают через рь, рь не будет постоянной величиной.
Рассмотрим задачу о вертикальном электрическом зондировании, когда слои земной коры залегают горизонтально и сопротивление их зависит только от глубины: Р=Р1) (ро при О < з < 1, р()= )р1 при 1<к Очевидно, что на небольших расстояниях г «1 кажущееся сопротивление рь равно ро, так как влияние подстилающей среды будет сказываться мало. Для больших расстояний (г » 1) рь будет равно Рм Задача сводится, таким образом, к нахождению решении уравнения Лапласа Ъо в слое О < з < 1 и Ъ'з в полупространстве з > 1. При з = 1 должны выполняться условия непрерывности потенциала о'о~=ш = о'з~=ш 15) и непрерывности нормальных составляющих плотности тока 1 дРо 1 д1з ро дз « ~ рз дз 16) При я = О потенциал 1'о должен удовлетворять условию 12), .а в точ- ке А, которую мы выберем за начало цилиндрических координат 1г, ~р,з), потенциал Ъ~ должен иметь особенность типа 13): ро7 1 го = + оо, 2л зухз+,з 17) где оо - ограниченная функция.
Функция Ъ'1 должна быть ограниченной на бесконечности. Функции оо и У1 удовлетворяют уравнению 11), которое в силу цилиндрической симметрии задачи приобретает вид д2$' 1 дЪ" д2$' — О + — — + дгз д д 26* В этом случае кажущееся сопротивление будет функцией расстояния г = ~АО~. Задача интерпретации результатов вертикальных электрических зондирований заключается в определении функции р(з), дающей «электрический разрез» среды по известным значениям рь О ).
Рассмотрим подробнее задачу о двухслойной среде, когда однородный слой мощности 1 и сопротивления ро лежит на однородной среде с сопротивлением рз, 404 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1У е л' 1о(Лг) где,Уо — функция Бесселя нулевого порядка (см. Пополнение П, ч. 1, о 1), а Л параметр разделения. Будем искать решение в виде 7~(г: з) = + /(Аое л +Воел')1о(Лг)АЛ, 2я ~~2+ зз у о 1;(г .) = /'(Азе-л +В,елз) Уо(Лг)АЛ, о где Ао., Во, Аз, Вз некоторые постоянные. Условие (2) даст связь между Ао и Во Вычислим В~о ро1 я I' — л= Лз з + / ( — ЛАое =+ЛВое ') То(Лг)з4Л. Дз 2я (,г+гз)з~~ / о Условие (2) принимает вид (Во — Аа) 1о (Лг)Л з4Л = О о при произвольном гз откуда Ва = Ао. Из условия ограниченности кз при к — з оо следует,что В,=О. Таким образом, 1'з (г, з) = / Азе "'1о(Лг) АЛ о 1'о (г, з) = /[з1е " + Аа(е л-'+ ел=)) Уо (Лг) дЛ. о При этом мы воспользовались формулой 1 = /,То(Лг) е л= АЛ /~2 + яз о (8) Метод разделения переменных дает для р" два типа решений, ограни- ченных при г = О: 406 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 11' Полагая я = О, получаем распределение потенциала на поверхности земли; ао ьл откуда д1'о 1Ро ~ 1 — +2 э дг 2я ~гэ ~-~ [гз .ь (2п1)з)зй и для рь по формуле (4) имеем ьв 3 Ря — Ре + С (гз г (2 1)2)зй = Ро 1+2~ з =Ро~Ю, йп ©2)3 = И/2)з+пз)' (12) Рь = Ро.
Чтобы оценить поведение рь при больших г, устремим в формуле (12) т -э со (с — э оо). Предел и-го члена суммы будет равен к"', откуда следует, что 2к Иш Рь=Ро 1+2~й") =Ро(1+ г-эсг, ) (, 1-й) в=1 1 + " Рг + Ро + (Рг — Ро) 1 — к Р~ + Рэ — (Рз — Ро) Сравнивая экспериментальную кривую с кривой, задаваемой формулой (12), мы можем определить ре по значениям рь при малых значсниЯх г и Рз по значениЯм Рь пРи больших значениЯх г. Мощность верхнего проводящего слоя 1 определяется подбором.
Она равна тому значению 1, при котором эмпирическая кривая как функция р(с) = = р (гЯ наиболее близко подходит к кривой, вычисляемой по формуле (12). На технике подбора, производимого с помощью билогарифмических масштабов, мы не будем останавливатьсяз~. В случае многослойных разрезов кривые для рь вычисляются аналогично.
Характер электрического разреза среды определяется при помощи подбора теоретической кривой, наиболее точно аппроксимирующей эмпирическую кривун>. При увеличении числа слоев техника Н См., например, прекрасную книгу А. И. Забор овского «Электроразведка> (Мл Л., 1963.) где г„= г/1, 1(~) обозначает выражение в квадратных скобках. При г «1 имеем П1. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ 407 интерпретации весьма осложняется, так как число вспомогательных теоретических кривых сильно растет. Отметим, что при различных электрических разрезах рз (я) у.- ф рэ (г) соответствующие кажущиеся сопротивления также различны: следовательно, задача об определении электрического разреза по кажущемуся сопротивлению с математической точки зрения имеет единственное решение ~1.
Задачи, аналогичные рассмотренной задаче электроразведки, встречаются в рэ.зличных областях физики и техники. С электростатическими задачами мы встречаемся при конструировании различных электронных приборов, с тепловыми и гидро- динамическими во многих областях техники (теплоотдача зданий, фильтрация воды под плотиной и т, д.) ~1. Задачи определения магнитного поля в неоднородной среде встречаются, например, в магнитной дефектоскопии. Для определения дефекта в детали, например наличия пустот под поверхностью, металлическую деталь помещают между полюсами магнита и измеряют магнитное поле на поверхности детали. По возмущению магнитного поля требуется определить наличие дефекта, а также, если возможно, размеры дефекта, глубину его залегания и т.
д. Для решения задач используются методы моделирования, основанные на подобии потенциальных полей различной физической природы ~1. В самом деле, рассмотрим потенциальные поля в неоднородных средах различной физической природы (например, стационарное поле температур, магнитное поле в неоднородной среде, электростатическое поле, поло скоростей жидкости при фильтрации). Потенциальные функции этих полей и (т, у, я) в каждой однородной области удовлетворяют уравнению Лапласа Ьи = О.
На границе областей Сз и Ся с различными коэффициентами теплопроводности, магнитной проницаемости и т. д. выполняется условие Ы" дирц ьз о — ьэ где Ач и Йз соответствующие физические постоянные. П Тихонов А. Н. О единственности решения задачи электрораэводки 0 ДАН. 1949. Т. 69, № 6. С. 797. ~~ Павловский Н. Н. Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями н ее основные приложения.
Пг., 1922. 1"л. Х1Ч. Лукьянов А. В. Об электролитическом моделировании пространственных задач 0 ДАН. 1950. Т. 75, № 5. С. 613 615. 408 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1Ч Пусть на границах равных геометрических областей заданы численно равные значения потенциалов или их нормальных производных различных физических полей. Предположим, что физические неоднородности этих областей геометрически равны и одинаково расположены; отношения физических постоянных (теплопроводностей, магнитных проницаемостей и т, д.) любой пары соответственных неоднородностей тоже равны. Тогда численные значения потенциалов этих полей во внутренних соответственных точках также равны, поскольку являются решением одной и той же математической задачи, имеющей единственное решение. 1Ъ. Определение векторных полей Наряду со скалярными задачами во многих вопросах электродинамики и гидродинамики часто встречаются задачи об определении векторного поля по заданным ротору и дивергенции этого поля.
Докажем, что векторное поле А однозначно определено внутри некоторой области С, ограниченной замкнутой поверхностью Н, если заданы ротор и дивергенция поля внутри С: го1А = В, (2) Й~А= С, а на границе Н задана нормальная составляющая вектора А: А„(з = 1 (И). Отметим, что функции В, С и 1 не могут быть заданы произвольно. Должны выполняться соотношения (4) йчВ = О, 1" (М) й$ = ~0 С дт. (6) (6) го1 А1 — — О, йгАз = С. Из соотношения (6) следует, что Аз — — 8гас1 д. (8) Функцию 1 будем считать непрерывной на поверхности Н, функции В и С непрерывными в С вместе со своими производными и поверхность о'-- такой, что для нее разрешима вторая внутренняя краевая задача при непрерывных граничных значениях. Поставленную задачу будем решать в несколько этапов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
