УМФ Тихонов (965259), страница 60
Текст из файла (страница 60)
17. Решить задачу о поляризации диэлектрического шара в поле точечного заряда. 18. Вычислить гравитационный потенциал плоского диска. Сравнить с асимптотическим представлением гравитационного потенциала на больших расстояниях. 10. Вычислить магнитный потенциал кругового тока. 20. Решить задачу о возмущении плоскопараллельного электрического поля идеально проводящей сферой. Решить задачу для абсолютно непроводяшей сферы. 1. АСИМПТОТИКА ОБЪЕМНОГО ПОТЕНЦИАЛА 393 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1Ъ' 1.
Асимптотическое выражение объемного потенциала При изучении объемного потенциала 'г'(М) = у/, где И= Взгр., 1 1Г р(Р) йтр (1) т на больших расстояниях от тела обычно принимают значения потенциала равными т/Л, где гл масса тела Т, Л расстояние от его центра тяжести до точки наблюдения. Установим более точное асимптотическое выражение для 1' Ц. Пусть Š— сфера с центром в начале координат, целиком содержашая тело Т. Вне этой сферы потенциал будет гармонической функцией.
Рис. б7 Расстояние от точки наблюдения М (х, у, з) до переменной точки внутри тела Мз (хд, уы зз) (рис. 67), по которой производится интегрирование, равно (2) (г = )ОМ(, т', = (ОМз(), откуда 1 1 1 Ы /Т~ — 2 (3) и= —, р=созО. П С мирное В. И. Курс высшей математики. М., 1981. Т.
1Ч, ч. 2. 1. АСИМПТОТИКА ОБЪКМНОГО ПОТКНЦИАЛА 395 Вводя обозначения Мзь = ~~~рх:хунт (х = хп у хг, з = хз), т приходим к следующему выражению для 1тз. Р~ = — Я рггВг (р) 4~ = х [ЗМп (Мп + Мгг + Мзз)[ + г 2гз 1 + у [ЗМгг — (Мп + Мгг + Мзз)[ + з [ЗМзз — (Мп + Мгг + Мзз)[ + + 2. ЗхуМзг + 2 ЗхзМзз + 2 ЗугМгз Полином,. стоящий в фигурных скобках, является гармоническим по- линомом, так как он может быть записан в виде Из = — (х У ) [Мп ™гг[ (з — х ) [Мп — Мзз[+ + (у — з ) [Мгг — Мзз[ + 6 [хуМзг + хзМзз + узМгз[ где каждое слагаемое удовлетворяет уравнению Лапласа.
Коэффициенты, стоящие в квадратных скобках, выражаются через моменлгы инерции. Момент инерции тела Т относительно оси х, как известно, равен А = ~~~р(у, + з,)г1т = Мгг+ Мзз. т Аналогично моменты инерции относительно осей у и з равны В = Мзз + Мп, С = Мп + Мгг Отсюда следует, что Мп — Мгг =  — А Мп — Мзз = С вЂ” А, Мгг — Мзз = С вЂ” В В результате мы приходим к асимптотическому выражению для потенциала И = — + — (хх+ уу -~- гй) -~- — (х — у-)( — А) + (у — з )(С вЂ” В) + пг т 1 г г г гз 2. '[ + (з~ — хг) (А — С) + 6 (хУМы + УзМгз + зхМзз), (6) 396 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1Ч справедливому с точностью до членов порядка 1/г~.
Выражение (6) упрощается, если поместить начало координат в центре тяжести, а оси координат направить по главным осям инерции: Р =- — + = 0 '-уг) (В-А)+(у'- ')(С-В)+ г 2гв , (гг хг) (4 С)1 (7) Полученное асимптотическое представление потенциала позволяет ответить на ряд вопросов обратной задачи теории потенциала, заключающейся в определении характеристик тела по его потенциалу (или каким-либо его производным). В самом деле, определяя коэффициенты разложения (6), можно найти массу, координаты центра тяжести и моменты инерции тела. 11. Задачи электростатики В задачах электростатики решение уравнений Максвелла сводится к отысканию одной скалярной функции потенциала ~р, связанного с напряженностью поля соотношением Е = — ягад~р.
Используя уравнение Максвелла 41нЕ = 4кр, получаем Ьд = — 4кр. Таким образом, потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона в тех точках пространства, где находятся электрические заряды, и уравнению Лапласа в тех точках, где зарядов нет. 1. Основной задачей электростатики является отыскание поля, создаваемого системой зарядов на заданных проводниках. При этом возможны две различные постановки этой задачи. а) Задаются потенциалы проводников и требуется определить поле вне проводников и плотность зарядов на проводниках.
Математическая формулировка задачи состоит в следующем. требуется найти функцию уг, удовлепгворающую уравнению Лапласа всюду вне заданной системы проводников, обраи1ающуюся в нуль на бесконечности и принимающую заданные значения ~р, на поверхносгаях проводников 5,: рЬ, =р: ьг; = соней 397 11. ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ Таким образом, в этом случае мы приходим к первой краевой задаче для уравнения Лапласа.
Единственность ее решения следует из общей теории. б) Возможна и обратная постановка задачи. На проводниках задаются полные заряды. Требуется определить потенциалы проводников, распределение зарядов по их поверхностям и поле вне проводников. Решение этой задачи сводится к отысканию функции >Р, удовлетворяющей уравнению Лапласа вне заданной системы проводников, обращающейся в нуль на бесконечности, принимающей на поверхностях проводников некоторые постоянные значения >РЬ, = совах и удовлетворяющей интегральному соотношению на поверхностях проводников д>Р— до = — 4ке>, дг>.
5, где е> "-. по тый заряд 1-го проводника. 2. Единственность решения второй задачи из общей теории не следует, но может быть легко доказана. Предположим, что существует два решения у>1 и э>2 задачи «б»ь Тогда их разность > 'Р >Р1 'Рз будет удовлетворять уравнению >л>Р' = О и условиям >Р)з, =сопз1, у вЬ=О, ь>! =О. зз' дп Заклк>чим все заданные проводники внутрь сферы Ел достаточно болыпого радиуса Л и применим к функции >Р' первую формулу Грина в области Тл, ограниченной сферой Ен и поверхностями проводников Я>> ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1У 398 В силу условий на бесконечности О и на поверхностях, мы получим 11тп ~ (171о') бт = О, всюду в рассматриваемой области. Учитывая условие на бесконечности ут'~, = О, получаем д' = О, что и доказывает единственность поставленной задачи.
3. Из единственности решения краевой задачи для уравнения Лапласа следует, что потенциал уединенного проводника прямо лропораионален сообщенному ему заряду; е — = С. 'тт В самом деле, если на уединенный проводник поместить заряды е и е' = тпе, то соответствующие потенциалы 1о и у' должны удовлетворять уравнениям Лр=о, Ьр'=О и граничным условиям 1 Г дут' — — у Йт = тпе, 4и7 дп 5 1 )' дат — — у — сЬ = е, 4и 7 дп зу е' откуда и следует,.что ут' — тст = О, т.
е. — = — . ф е На поверхности уединенного проводника получаем е' е —, = — = С = сопвн тт 'Р Эту постоянную С называют емкостью уединенного проводника. Она не зависит от заряда проводника, а определяется формой и разме- П Из условия у')~ = О следует регулярность функции Зт' на бесконечности (см. с.
321), в силу чего р др' р — бо — т О при й — т сс. дп откуда, вследствие положительности подынтегрального выражения, следует 1тут~ = О, или ~р' = сопяФ, П. ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ рами последнего. Таким образом, для уединенного проводника имеет место соотношение е=Сьв, Емкость уединенного проводника численно равна заряду, при сообщении которого проводник приобретает потенциал, равный 1. Если проводник не усдинен, то его потенциал существенно зависит от формы и расположения других проводников. Лля системы проводников имеют место соотношения ег — — Смьвг + С~г(ьвг — ~рг) + . + Сгч(ьэ» Фг) ез = С21(ьэг ьвз) + Сзззэг + .. + Сз (ьэв — ээз) е„= С г (~Рь — чь„) + Счз(~Рз — Р„) +... + С„„ьэч, и граничным условиям иц~/э, = О; и~ ~)зь = 1; 1 Г диРЛ ь1ц=ец~ =Сь; 4.г у' дп и~ ~(з =1,: "Ьь =О; ди~з~ ьЫ = еь = Сьа.
4я дп где е, и рь — - заряд и потенциал 1-го проводника. Величина С,,ь имеет смысл взаимной емкости ь-го проводника по отношению к Й-му проводнику. Она может быть определена как тот заряд, который должен быть сообщен ь-му проводнику для того, чтобы все проводники, кроме Й-го,имели нулевой потенциал, а Й-й проводник потенциал 1. 4. Легко показать, что матрица коэффициентов Ссь являеглся гимметричнвй, т. е. имеют место соотношения Сгь = Сы. Лля определенности рассмотрим случай двух проводников, хотя и в случае п, проводников доказательство остается тем же.
Пусть заданы два проводника а и б. Тогда определение коэффициентов С ь и Сь сведется к определению функций и и и РЛ (2) удовлетворяющих уравнениям ььи~ ~ = О Д1. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ 401 Легко показать,что в этом случае а емкость сферического конденсатора равна 1112 Г2 — 7'1 Более сложной задачей является определение потенциала сферы в присутствии другой сферы, не концентрической с данной. Эта задача решается методом отражений. Аналитическое решение довольно громоздко, и мы здесь приводить его не будем 11.
6. Перейдем к двумерным задачам. В качестве примера рассмотрим цилиндрический конденсатор, образованный двумя бесконечно длинными коаксиальными цилиндрами, на одном из которых равномерно распределен электрический заряд. Очевидно, что решение задачи одинаково во всех плоскостях, параллельных плоскости нормального сечения цилиндра. Поэтому задачу можно рассматривать как плоскую и вместо полного заряда задавать заряд на единицу длины 2с. Если внешний цилиндр радиуса гз заземлен, а на внутреннем радиуса г, задан заряд хс, то потенциал поля в конденсаторе определяется выражением г сс = 22с 1п —, 12 а емкость единицы длины цилиндрического конденсатора равна 1 С= 2 1п(гз!г1) Рассмотренный пример позволяет решить более сложную задачу определения емкости провода, расположенного над проводящей плоскостью.
Пусть над бесконечной плоскостью на расстоянии 1 от нее находится бесконечно длинный провод радиуса р, на котором распределен заряд с плотностью зс (заряд на единицу длины). Ясно, что и эта задача может решаться как двумерная. 111. Основная задача электроразведки Для изучения неоднородности земной коры в целях разведки полезных ископаемых широко применяются электрические методы. Основная схема электроразведки постоянным током заключается в следующем. При помощи заземленных электродов в землю пропускается ток 1 Смз Франк Ф., Мизес Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
