УМФ Тихонов (965259), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Как мы видели Я 1, п. 4), функция 1 По(ЛХ) = —, ХХ' где (т — ко) + (У вЂ” Уо) + (Я вЂ” Яо) Рис. 45 --.расстояние между точками М (л, у, з) и Мо (ло, уо, яо), удовлетворяет уравнению Лапласа при М ~ ЛХо. Пусть и (М) функция, непрерывная вместе с первыми производными в области Т + Х и имеющая вторые производные в Т. Рассмотрим функцию о = 1(Кымо, где Мо некоторая внутренняя точка области Т. Поскольку эта функция имеет внутри Т разрыв непрерывности в точке Мо (то, уо, зо), то непосредственно применить вторую формулу Грина в области Т к функциям и и о нельзя. Однако функция о = 1/Нмм ограничена в области Т вЂ” Кэ с границей Х + + Х„где К, шар радиуса е с центром в точке ЛХо и поверхностью Х.
(рис. 45). Применяя вторую формулу Грина (5) к функциям и и о = 1/Х1 в области Т вЂ” К,, получаем В правой части этого равенства только последние два интеграла зависят от ю Вычисляя производную по внешней нормали к области Т вЂ” К.- на Х,, найдем, что 816 УРАВНЕНИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ.
1У откуда — ( — )4 = —,О Е = —,4 "=4 ", )7) где и*---среднее значение функции и(М) на поверхности Ве. Пре- образуем третий интеграл; — — Е = — Π— 4 = — 4 '( — ) =4 ( — ) . )8) Здесь (ди))ди)'-- среднее значение нормальной производной ди,)ди на сфере Хе. Подставляя выражения (7) и (8) в формулу (6) и учитывая, что Ь (1)1с) = О в Т вЂ” К„будем иметь 111 ( — — )е 4 =О( — Н вЂ” — — )е 44 "— 4 ( — ) Устремим теперь радиус я к нулю.
Тогда, получим: Ц 117п и* = и(М0), так как и(М) непрерывная функция, а Š— )О и" ее среднее значение по сфере радиуса я с центром в точке Ме,. 2) 1ш7 4хя (ди,)дг))* = О, так как из непрерывности первых произе — )О водных функции и (М) внутри Т сразу же вытекает ограниченность нормальной производной ди ди ди ди — = — сояа+ — сояд+ — соя у ди дт ду дя в окрестности точки Ме; 3) по определению несобственного интеграла т — ке В результате указанного предельного перехода я -> О мы приходим к основной интегральной формуле Грина 4 «)и,)= — О(),)г) 8 ( ' ) — ' % — ф " астм, (ГО) т где Р = Р (С7 7)7 4,) точка с координатами С, 7), )„лежащая на поверхности Х.
312 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. 1У где р и и непрерывные функции, является гармонической функцией вне поверхности Х. В самом деле, поскольку подынтегральные функции и все их производные непрерывны вне поверхности Х, то производные функций (12) любого порядка можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла. Так как, кроме того, функции 1/Лмр и — — соз ар + — — соз Др + — — соз Тр удовлетворяют уравнению Лапласа по переменным М (х, у, я), то в силу обобщенного принципа суперпозиции (см, лемму на с. 233), функции (12) также удовлетворяют уравнению Лапласа по переменным х, д, ж Отсюда вытекает важное следствие: всякая гармоническая функпия внутри области гармоничности дифференцируема бесчисленное множество раз В. Отметим также, что гармоническая функция аналитична (разлагается в степенной ряд) во всякой точке Мо области Т.
В этом можно убедиться с помощью рассуждений, основанных на том же интегральном представлении (11). Аналогичные формулы имеют место и для гармонических функций двух независимых переменных. Пусть о — . некоторая область на плоскости (х, д), ограниченная контуром С, а и направление нормали к этому контуру, внешнее по отношению к области о. Полагая во второй формуле Грина где Помер = расстояние от фиксированной точки Мо (хо, ро) до точки Р (х, у), и проводя рассуждения, подобные тем, которые были проведены для трехмерного случая, получим основную формулу Грина на плоскости: В Если для функции и, гармонической внутри Т, не выполнено условие непрерывности ое вместе с первой произвоцной на поверхности Е, то теорема все же сохраняет силу, в чем можно убедиться, окружая точку М областью, лежащей вместе со своей границей внутри Т.
314 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. 1У Принимая во внимание, что (направление внешней нормали к Е, совпадает с направлением радиуса), сразу же получаем (14) О. Записывая (14) в виде 4яр~и (Ме) = ~~ и (Р) йтр и интегрируя по р от О до а, получаем и(Ме) = — Ц~ иг1тм, И = — а, к„ т. е. и (Ме) есть среднее по объему шара Ка с границей Е„. Для случая двух независимых переменных имеет место аналогичная теорема о среднем значении: 1 и(Мо) = / иаз, 2яа,/ (15) О При доказательстве этой теоремы мы пользовались равенством (13), предполагаютцим существование производных на поверхности сферы.
Если функция и (М), непрерывная в замкнутой области Т + Е, удовлетворяет уравнению Ьи = 0 только для внутренних точек Т, то предшествующее заключение для сферы Е„е, .касающейся Е, было бы необоснованным. Однако теорема верна для любого а < ае, и, переходя к пределу при а — ~ ае, получаем и (Ме) = ( / и (М) да. 1 4яаз / и'е Эта теорема утверждает, что значение гармонической функции в некоторой точке Ме равно среднему значению этой функции на любой сфере Е с центром в Ме, если сфера Е не выходит из области гармоничности функции и (М).
Применим формулу (1Ц к шару К с центром в точке Ме и поверхностью Е,: 31б УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. 1У да следует, что и(МОО) = и(Мв). В силу произвольности Мбб и непрерывности и(М) в замкнутой области Т+ Х заключаем, что и(М) = и(Ме) всюду, включая точки границы. Таким образом, из всех гармонических функций только постоянная может достигать своего максимального значения во внутренних точках области.
Аналогичную теорему можно доказать и относительно минимального значения. Следствие 1. Если функции и и 11 непрерывны в области Т+ + Е, гармоничны в Т и если и,<11 на В, и < 11 всюду внутри Т. В самом деле, функция 11 — и непрерывна в Т + Е, гармонична в Т и П вЂ” и>0 на Е. В силу принципа максимального значения о' — и > 0 всюду внутри Т., откуда и следует наше утверждение. Следствие 2. Если функции и и 11 непрерывны в области Т+ + Х, гармоничны в Т и если ~и) < 11 на Х., )и! < 11 всюду внутри Т. Из условий теоремы следует, что три гармонические функции: — 11, и и 11 -.
удовлетворяют неравенствам — 11<и<11 на В. Применяя дважды следствие 1, .получаем, что — 11 < и < 11 всюду внутри Т, или )и! < ье всюду внутри Т. Следствие 3. Для гармонической в Т и непрерывной в Т+ В функции и(М) выполняется неравенство )и! < шах(и( (в всюду в Т+ Х. Пля доказательства следствия 3 достаточно положить (1 = = шах ~ийх и воспользоваться следствием 2. з 2) ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 317 Хотя изложение проводилось для трех измерений, однако все результаты переносятся на случай гармонических функций любого числа переменных.
3. Единственность и устойчивость решения первой внутренней краевой задачи. Пусть дана область Т, ограниченная замкнутой поверхностью Е, на которой задана некоторая функция 7". В простейшем случае, когда граничная функция 1 непрерывна, первая внутренняя краевая задача (внутренняя задача Дирихле) для уравнения Лапласа обычно ставится следующим образом. Требуется найгаи функция~ и, которая: а) определена и непрерывна в замкнутой области Т+ Е, включая границу; б) удовлетворяет внутри области Т уравнению сьи = О; в) принимает на границе Е заданныс значения 1.
В условии «б» предполагается гармоничность функции внутри области Т. Требование гармоничности на границе является излишним, так как оно повлекло бы за собой дополнительные ограничения для граничных значений. Условие непрерывности и в замкнутой области (или какое-либо другое условие, разъясняющее смысл того, что функция и принимает на границе заданные значения) необходимо для единственности. Если отказаться от этого условия, то любую функцию, равную постоянной С внутри Т и заданной функции у" на Е, можно рассматривать как решение задачи, поскольку она удовлетворяет условиям «б», «в».
Покажем теорему единственности. Первая внутренняя краевая задача для уравнения Лапласа не моокет иметь двух различных реи<енай. Попустим, что существуют две различные функции иь и из, являющиеся решениями задачи, т. е. функции, непрерывные в замкнутой области Т + Е, удовлетворяющие внутри области уравнению Лапласа и на поверхности Е принимающие одни и те же значения 1. Разность этих функций и = из — из обладает следующими свойствами: 1) Ьи = О внутри области Т:, 2) и непрерывна в замкнутой области Т+ Е; 3) и)в = О.
Функция и (М), таким образом, непрерывна и гармонична в области Т и равна нулю на границе. Как известно, всякая непрерывная функция в замкнутой области достигает своего максимального значения. Убедимся в том, что и = О. Если функция и у': О и хотя бы в одной точке и > О, то она должна достигать положительного максимального значения внутри области, что невозможно. Совершенно так же доказывается, что функция и не может принимать нигде внутри Т отрицательных значений. Отсюда следует, что и: — О.
318 УРАВНКНИЯ ЭЛЛИПТИЧКСКОГО ТИПА ~ГЛ. 1У Перейдем к доказательству непрерывной зависимости решения первой краевой задачи от граничных данных. Напомним, что задача называется физически определенной, если малому изменению условий, определяющих решение задачи, в данном случае граничных условий, соответствует малое изменение самого решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
