УМФ Тихонов (965259), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В задачах подобного типа обычно считают, что стержень полубесконечен и координата, отсчитываемая от конца, меняется в пределах О < х < оо. Приведем в качестве примера формулировку первой краевой задачи для полубесконечного стержня. Найти решение уравнения теплсироводнасти в области О < х < < оо и г > гс, удовлетворяюмее условиям и (х, 1в) = ~р(х) (О < х < оо), (О, е) = р (е) (е > 1с), где р (х) а р (е) заданные функции. Приведенные выше задачи представляют собой предельный случай (вырождение) основныхкраевыхзадач. Возможныпредельные случаи основной задачи и другого типа, когда пренебрегают точным учетом начальных условий. Влияние начальных условий при распространении тепла по стержню ослабевает с течением времени.
Если интересующий нас момент достаточно удален от начального, то температура стержня практически определяется граничными условиями, так как изменение начальных условий не изменило бы температурного состояния стержня в пределах точности наблюдения. В этом случае практически можно считать, что опыт продолжается бесконечно, и начальные условия тем самым отпадают. Таким образом, мы приходим к краевым задачам без начальных условий. 200 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П1 Найти решение уравнения теплопроводности для 0 < х < 1 и — со < ~, удовлетворяющее условиялс и(0, 1) = д1(й), и(1, 1) = рз (1).
В зависимости от характера граничного режима возможны и другие виды задач без начальных условий. Весьма важной является задача без начальных условий для полу- бесконечного стержня (1 = сс), когда требуется найти решение уравнения тсплопроводности для 0 < х < оо, 1 > — со, удовлетворяющее условию и (О, 1) = д (1), где р (г) заданная функция.
Наиболее часто встречаются задачи без начальных условий при периодическом граничном режиме р(г) = Асоэш1 (см. Приложение 1 к гл. П1). Естественно считать, что по прошествии большого промежутка времени температура стержня практически также меняется по периодическому закону с той же частотой. Однако если мы захотим точно учитывать начальные условия, то формально никогда не получим периодического решения, так как влияние начальных условий хотя и будет ослабевать с течением времени, но в нуль не обратится; учитывать это влияние ввиду ошибок наблюдения нет никакого смысла. Рассматривая периодическое решение, мы пренебрегаем влиянием начальных данных. Постановка краевых задач, изложенная выше, относится, конечно, не только к уравнению с постоянными коэффициентами. Под словами с<уравнение теплопроводности» мы могли бы понимать любое из уравнений предыдущих пунктов.
Помимо перечисленных выше линейных краевых задач ставятся также задачи с нелинейными граничными условиями, например вида й — (О, 1) = (ил (О, 1) — о4(О, 1)). дк Это граничное условие соответствует излучению по закону Стефана Больцмана с торца х = 0 в среду с температурой У(г). Остановимся более подробно на постановке краевых задач. Рассмотрим первую краевую задачу для ограниченной области. Решением первой краевой задачи будем называть функцию и (т, 1), обладающую следующими свойствами: 1) и, (х, 1) определена и непрерывна в замкнутой области 0<к<1, 1о<г<л; ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 201 2) и(х, 1) удовлетворяет уравнению тсплопроводности в открытой области 0<х<1, 1о<1<Т; А о :г х= 1 и (х, г) = С (О < х <1, О < Х < Т), о (х, 0) = сз (х) (О < х < Х), ( ~ ) ( и (1~ 1) дз (1) Ниже будут рассмотрены краевые задачи с разрывными граничными и начальными условиями. Для этих задач будет уточнено, в каком смысле понимается выполнение граничных условий.
3) и (х, г) удовлетворяет начальному и граничным условиям, т. е. а (х, ьз) = зз (х), и (О, с) = цз (1), и (1, 1) = цз (1), где ~р (х), дг (г), рз (1) непрерывные функции, удовлетворяющие условиям сопряжения ~з(0) = Дз (Го) [= п(0. 1о)) и Р(1) = Рз (1о) (= п(1: 1о)], необходимым для непрерывности и (х, 1) в замкнутой области.
Рассмотрим плоскость фазовых состояний (х, 1) (рис. 37). В нашей задаче ищется функция и(х, 1), определенная внутри прямоугольника АВСВ. Эта область определяется самой постановкой задачи, так как изучается процесс распространения тепзта в стержне 0 < х < 1 за промежуток времени 1о < 1 < Т, в течение которого нам известен тепловой режим на краях. Пусть 1о = 0; мы предполагаем, что и (х, 1) удовлетворяет уравнению только при 0 < < х < 1, 0 < 1 < Т, но не прн = 0 (сторона АВ) и не при х = О, х = 1 (стороны АР и ВС), где начальными и граничными условиями непосредственно задаются значения этой функции.
Если бы мы потребо- В вали, чтобы уравнение удовлетворялось, например, при 1 = О, то этим Рнс. 37 мы потребовали бы, чтобы существовала производная сзо = и„(х, 0), входящая в уравнение. Этим требованием мы ограничили бы область изучаемых физических явлений, исключив из рассмотрения те функции, для которых это требование не выполняется. Условие 3 без предположения непрерывности и (х, 1) в области 0 < х < 1, 0 < 1 < Т (т. е.
в замкнутом прямоугольнике АВСВ) или какого-либо другого условия, заменяющего это предположение, теряет смысл П. Действительно, рассмотрим функцию е (х, 1), определенную следующим образом; 202 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П1 п~ = а пил+Опт+Те. 2 Как мы видели, это уравнение подстановкой лг при р= — —, Л=т— 22ез 4аз и елпем ц где С произвольнаяпостоянная. Функция е (я, 1), очевидно, удовлетворяет условию 2, а также граничным условиям. Однако эта функция не представляет процесса распространения тепла в стержне при начальной температуре ~р (л) ф С и граничных температурах р11г) ф ~ С и рз 11) ~ С, так как она разрывна при Г = О, я = О, л =1.
Непрерывность функции и (л, г) при О < л < К О < 1 < Т следует из того, что эта функция удовлетворяет уравнению. Таким образом, требование непрерывности и (х, 1) при О < л < 1, О < Г < Т, по существу, относится только к тем точкам, где задаются граничные и начальные значения.
В дальнейшем мы под выражением «решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям», будем подразумевать функцию, удовлетворяющую требованиям 1, 2, 3, не оговаривая эти условия каждый раз, если в этом нет особой необходимости. Аналогично ставятся и другие краевые задачи, в том числе задачи на бесконечном стержне и задачи без начальных условий. 11ля задач с несколькими независимыми геометрическими переменными все сказанное выше сохраняет силу. В этих задачах при 1 = 1е задается начальная температура, на поверхности тела граничные условия. Можно рассматривать также и задачи для бесконечной области. В отношении каждой из поставленных задач возникают следующие вопросы (ср. с гл. П, ~ 2.): 1) единственность решения поставленной задачи, 2) существование решения, 3) непрерывная зависимость решения от дополнительных условий.
Если поставленная задача имеет несколько решений, то слова «решение задачи» не имеют определенного смысла. Поэтому, прежде чем говорить о решении задачи, необходимо доказать его единственность. Для практики наиболее существенным является вопрос 2, так как при доказательстве существования решения обычно дается способ вычисления решения. Как было отмеченно ранее (см. гл. П, Э 2, и. 5), процесс называется физически определенным, если при малом изменении начальных и граничных условий задачи ее решение меняется мало.
В дальнейшем будет доказано, что процесс распространения тепла физически определяется своими начальными и граничными условиями, т. е. небольшое изменение начального и граничных условий мало изменяет само решение. 5. Принцип максимального значения. В дальнейшем мы будем рассматривать уравнение с постоянными коэффициентами ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 203 приводится к виду г ит — — а их.. Докажем следующее свойство решений этого уравнения, которое мы будем называть принципом максимального значения. Если функция и(х, 1), определенная и непрерывная в замкнутой области О < 1 < Т и О < х < 1, удовлетпворяет, уравнению тпеплопроводности 2 ит — — а и„, (19) в точках области О < х < 1, О < 1 < Т, то максимальное и минимальное значения функции и 1х, 1) достттгаюптся или в начальный момент, или в точке границы х = О либо х = Е Функция и (хц 1) = сопз1, очевидно, удовлетворяет уравнению теплопроводности и достигает своего максимального (минимального) значения в любой точке.
Однако это не противоречит теореме, так как из ее условия следует, что если максимальное (минимальное) значение достигается внутри области, то оно также (а не только) должно достигаться или при у = О, или при х = О, или при х = Е Физический смысл этой теоремы очевиден: если температура на границе и в начальный момент не превосходит некоторого значения М, то при отсутствии источников внутри тела не может создаваться температура., большая М. Остановимся сначала на доказательстве теоремы для максимального зна*|ения.
Доказательство теоремы ведется от противного. Обозначим через М максимальное значение и 1х, 1) при 1 = О (О < х < 1), или при х = О, или при х =! (О < 1 < Т) П и допустим, что в некоторой точке (хо, 1о) (О < хо < 1, О < 1о < Т) функция и (х, у) достигает своего максимального значения, равного и (хо, то) = М+ г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
