УМФ Тихонов (965259), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Формулу (39) можно также переписать в виде 2 о = (а — ао). (41) Подставляя выражение (40) для р в уравнение состояния (35), находим (42) где а скорость звука при адиабатическом процессе. Поскольку мы рассматриваем движение слабого разрыва в положительном направлении оси т, надо выбрать в предыдущей формуле знак «минускь т, е. 1У. УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 173 2 о1 = — ао. 144) 7 — 1 Отсюда следует, что скорость истечения газа в пустоту конечна.
Для двухатомных газов 7 = 7/5 и о~ = — 5ао. Выражение 144) для скорости левого фронта и = и1 11) можно получить также из уравнения баланса вещества Рг1л = Роля = Роной *1 145) Введя переменную получим ао рас = роао. и1 Подставляя затем выражение для р из 140) и полагая 1+ у †1с †=Л, 7+1 ао будем иметь Ло ~Л=4Л= ~ 146) л, где Л1 = 1 + , Лз = 1. 7 — 1 оз — ао 7+1 ао Из уравнений 141) и 137) получаем формулу 2 т о= ( — — ао), 7+1 143) определяющую зависимость о от т и й Подставляя затем выражение 143) для о в формулы 140) и 142), получим зависимость р и р от х и 1 в явной форме. Все величины оказываются зависящими от л/й Если измерять расстояния в единицах, пропорциональных 1, то картина движения не меняется.
Такое движение называется а в т о м о д е л ь н ы м. Найдем скорость движения переднего фронта о1 11). Полагая в равенстве 142) р = О, будем иметь ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П После вычисления интеграла (46) получим ~"~-1 Ь1 Лч ' — Л' '=1, 2 1 т, е. л, =о, откуда и следует 2ао О1 к'. Пинамика сорбции газов 1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа. Рассмотрим задачу о поглощении (сорб ци и) газа21. Пусть через трубку (ось которой мы выберем за координатную ось т), заполненную поглощающим веществом (сорбентом), пропускается газовоздушная смесь. Обозначим через а (т, 1) количество газа, поглощенного единицей объема сорбента, а через и(и, 1) концентрацию газа, находящегося в порах сорбента в слое х.
Напишем уравнение баланса вещества, предполагая, что скорость газа и достаточно велика и процесс диффузии не играет существенной роли в переносе газа. Рассмотрим слой сорбента от т1 до тз в течение промежутка времени от 11 до 12. Очевидно, для него можно написать уравнение баланса вещества (ни)„— ри~,1) д2зг = ((о+ и)122 — (а+ и)/11) Л 2тт, (1) которое после сокращения на Ьи Ьг и перехода к пределу при 11и — 1 О, Ь1-+ 0 принимает вид ди д — и — = — (а+ и). дх д1 (2) 1 Смз Кочин Н.
Е., Киб ель И. А.. .Розе Н. В. Теоретическая гидро- механика. М., 1963. Ч. 11, гл. 1:, Ландау Л. Л., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М., 1953. Гл. 11П; Зельдович Я. Б. Теория ударных волн и введение в газодинамику. Мб Л., 1946; Седов Л. И. Распространение сильных взрывных волн О Прикладная математика и механика. 1946. Т. 10, выл. 2. С. 241 260. ~1 Тихонов А. Н., Жуховицкий А. А., Забежинский Я. Л. Поглощение газа из тока воздуха слоем зернистого материала.
П О ЖФХ. 1946. Т. 20, вып. 10. С. 1113 1126. Задача об истечении газа в вакуум решена. Мы ограничились выше рассмотрением лишь наиболес простых задач газодинамики. Пля более подробного ознакомления с затронутыми здесь вопросами отсылаем читателя к специальной литературе ~1. Ч. ДИНАМИКА СОРВЦИИ ГАЗОВ 175 да — = д(и — у), дл где д так называемый кинетический коэффициент, у концентрация газа, находящегося в равновесии с сорбированным количеством газа.
Величины а и у связаны друг с другом уравнением а = 7 (у), являющимся харахтеристикой сорбента. Кривая а = 7'(у) называется изотермой сорбции. Если У(у) = у (ио+ ру) ' то изотерма называется изотермой Ленгмюра. Наиболее простой вид функции у соответствует так называемой из о те рме Генри, справедливой в области малых концентраций; 1 а= — у, 7 где 1/ у коэффициент Генри. В этом случае мы приходим к следующей задаче.
Найпли функции и(х, Г) и а(т, 1) из уравнений ди ди да — и — = — + —, дт, дт де' (2) да — = Лз (и — уа) де (6) при дополнительных условиях а(х, 0) =О,( и (х, 0) = О,) (7) и (О, л) = лло, где ио концентрация газа на вхил)е. 11ронебрегая производной диллдс, представляющей расход газа на повышение свободной концентрации в порах сорбента, в отличие от Левая часть этого уравнения представляет количество газа,накоппяющегося за счет переноса, рассчитанное на единицу длины и времени, правая часть количество газа, израсходованного на повышение концентрации сорбированного газа и газа, находящегося в порах.
К этому уравнению баланса следует присоединить уравнение кинетики сорбции 176 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П производной да/д1, представляющей расход газа на увеличение сор- бированного количества газа, получаем П ди да — и— ди д1' (2') да — = д (и — уа), д1 (6) а(т, 0) =О, и(0, с) = ио. Исключим функцию а (т, 1), дифференцируя первое уравнение по 1 и используя второе уравнение: — иаэс = дис — д"~ас = дис+ Зиуис, или асс+ — ис+Д'уи, = О. Определим начальное условие для и, полагая в первом уравнении 1 = =0: — ии,, (т, 0) = сси(т, 0), и 10, 0) = ио, откуда находим и(т, 0) = иое Задача нахождения функции и (и, 1) свелась к интегрированию урав- нения и с+ — ис+1с'уи = О д и при дополнительных условиях и(т, 0) = иое СсУ"', (10) и(0,1) =ио.
(8) Характеристиками этого уравнения являкстся линии т = сопэ1, 1 = сопэФ. 0 Для системы уравнений (2') и (6) достаточно одного начального условия, так как ось С = 0 в этом случае становится характеристикой. Подробнее об этом см, примечание иа с. 177. Пополнительные условия в этой задаче представляют значения искомой функции и 1т, 1) на характеристиках. Аналогично ставится зада- Г77 4с.
ДИНАМИКА СОРВЦИИ ГАЗОВ ча для функции а(х, 1): аяс+ — ас+ дуаа = О, и а(х, 0) =О, (7) а(0, 1) = — (1 — е ~э'). 7 (12) Следует заметить, .что подобная задача встречается при рассмотрении ряда других вопросов (например, процесс сушки воздушным потоком, прогревание трубы потоком воды и т. д.)') ). ~) Переходя к уравнению (2 ), мы пренебрегаем членом ис. Однако нетрудно показать, что мы придем к тому же уравнению, если введем переменные т=С вЂ” —, С=т-1- —; б=х, х=б х 6 с ' ди ди 1 ди д д дх дб си дт' дс дт и уравнение (2) принимает вид ди да — и — = —, дб дт' (2л) да — = д(и — Та). дт (6) Начальные условия (7) и уравнения (2) и (6) дают и(х,О) =О,( ис (х, 0) = О.
/ (7') В области между прямой С = 0 и осью функции и по начальным условиям (7') (задача Коши). Очевидно, что в этой области функция и (х, С) = 0 (а тахже а = 0). Из уравнений (2') и (6) видно, что при т = 0 функция и (х, С) претерпевает разрыв, в то время как функция а (х, С) остается непрерывной. Таким образом, при т = 0 функция и, как было показано выше, определяется из уравнения (2') при а (х, 0) = О.
Определяя, как это было сделано выше (см. формулы (10) и (12)), значения и (х, 0) и (х, С) и а (х, С) задачи с данными на мы получаем задачу определения Ми=ОФ и аиойт А с=; — е — =о Рис. 32 и а (О, С), мы получаем для функций характеристиках. 12 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский (рис. 32), в хоторых время в точке х отсчитывается от Со = хС'р -"момента прихода в эту точку потока газовоздушной смеси. В самом деле, 178 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П ~~0 х1 и(хм1з) =иое " е "1о(2ъ~т~Т~)+ — 11 е '1"''1о(2зут)дт хз о где хз = 11х(», 1з = дГ/7 безразмерные переменные, 1о функция Бесселя первого рода нулевого порядка от мнимого аргумента.
Пользуясь асимптотическими формулами для функции 1о, нетрудно получить асимптотическое представление решения при больших значениях аргументов. 2. Асимптотическое решение. Выше мы изучали процесс сорбции газа, подчиняющегося изотерме сорбции Генри, связывающей количество поглощенного вещества а с равновесной концентрацией у линейной зависимостью 1 а = — у. 7 Рассмотрим изотерму сорбции общего вида а = з'(у) Если ввести безразмерные переменные и у а — и= —, х= —, и= 7 ио ио ио7 хр' хз = —, Р то система (2'), (6), (7), (8) примет вид ди ди дх д1 до — = (и — я), д1 (14) 1 =Л()= 1( о) ио7 (15) при дополнительных условиях б(0, 1з) = 1, о(хы О) = О.
(16) (17) Нас будет интересовать асимптотическое поведение функций, представляющих решение системы (14). Относительно функции 1з (х) мы будем предполагать следующее. 1. (з (х) - . возрастающая функция, и (з (О) = О. Решение уравнения (9) может быть получено в явном виде методом, изложенным в з 5, .и дается формулой Ч. ДИНАМИКА СОРВЦИИ ГАЗОВ 2. (з (х) имеет непрерывную производную для всех значений х, 0 < х < 1. 3. Луч, идущий из начала координат в точку (1, (с (1)), лежит ниже кривой уз (х) в промежутке 0 < х < 1 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
