УМФ Тихонов (965259), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Запишем закон сохранения вещества в интегральной форме; [(р)~., — (рЬ,] Йх = — / [(рв),з — (ри)„) Ж, (15) Ах [р[ ~=и р[ з=б ~ [(рп)[» яз (рп)[я=ю ыс мр. где слева стоит изменение массы на интервале (яы тз) за промежуток времени (П, 1з), а справа . количество вещества, вытекающего из интервала (тз, тз) за время (1ы 1з). Если функции р и ро непрерывны и дифференцируемы всюду внутри АВСР, то уравнение (15) эквивалентно уравнению (1').
В рассматриваемом случае это не имеет места. Воспользуемся теоремой среднего значения для каждого слагаемого в отдельности: 166 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П (здесь х*, х*', !', 1*' средние значения аргументов х и 1). Переходя к пределу при Ьх — э О (хг — э хг) и Ь!-+ О (1г — > П) и обозначая индексом 2 значения функций выше кривой х = а (1) (сзади фронта ударной волны), а индексом 1 значения функций ниже этой кривой (перед фронтом),получаем (Рг Рг) П = (Ри)з + (Ре)г (16) где да Ьх У = — = !!пг оЫ аг — ~о Ь1 - скорость ударной волны. В системе координат, движущейся вместе с ударной волной, иг = У вЂ” ег иг — — П вЂ” сы обозначая>т соответственно скорости частиц перед фронтом и сзади фронта ударной волны.
Полученное выше соотношение (16) можно переписать в виде (16') Ргиг — — Ргиг. Это равенство выражает непрерывность потока вещества через фронт ударной волны. Записывая в интегральной форме закон сохранения количества движения, имеем У 'г ~( ) ( ) ),1 /о + г) ( + г) ) 11 х1 где справа стоит сумма импульса действующих сил (давления) и потока количества движения. Переходя к пределу при Ьх — > О и гз! — + О, получаем закон сохранения потока количества движения на фронте П ~(Ри)г (Ро)г) = (Р+ Ро )1 + (Р+ Ри ) или Рг -Ь Рзиг = Рг + Ргиг.
г г Аналогично получается уравнение сохранения энергии на фронте: +Ре П +Ре У= Р101 +ю +Ргог +ю которое после несложных преобразований принимает вид иг 'г г' иг 'г Ргщ шз+ ) Ргиг ! юг+ — ) 2) [, 2) и и Ю1+ — = Ю2+ —. 1 2 2 2 (18) Таким образом, на фронте ударной волны должны выполняться урав- нения (условия динамической совместности, или усло- вия Гюгонио) (16') Рзиз —— Рзиз, Р! + Р1 н, = Рз + Р2 !ам ,2,2 (17) из нз ю! + — и!2 + 1 2 2 2 (18) Из уравнений (16') и (17) выразим и1 и и2 через Р и р: 2 Р2 Р1 Р2 2 Р1 Р1 Р2 Н1= — '',О2= Р! Р1 Р2 Р2 Р! Рг откуда 2 2 Р1+Р2 И вЂ” и = — (Р1 — Р2). Р1 Рг Подставляя затем это выражение в уравнение (18), находим соотношение между значениями энергии по обе стороны фронта: 1 ю1 "'2 = (Р1 + Р2) (Р1 Р2) 2Р1 рз и 1 е! ез 1Р! Р2) 1Р! + Р2) 2Р1рз Рассмотрим идеальный газ, для которого Р = РЛТ, с = с,,Т; ю = с„Т = ЯТ = ср У Р ср — ся 7 — 1 Р' т.
е. 7 Р ш= 7 — 1 р Пользуясь формулой (19), после несложных преобразований приходим к так называемому уравнению адиабаты Гюгонио Рз 17+ 1)Р2+ (7 1)Р1 (20) Р1 (7 1)Р2+ (7+ 1)Р! 1У. УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 167 или, в силу условия (16), 168 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ Н или р (7+ 1) Рз — (7 — 1) Р Рз (7+ 1) Рз (7 1) Рз (21) Рз 7+1 Рз 7 (22) Эта формула показывает максимальный скачок плотности (уплотне- ние), который может существовать на фронте ударной волны.
Для двухатомного газа 7 = 7/5 и максимальное уплотнение равно 6: — = 6. Рз Пользуясь равенствами (16'), (17) и (20) и полагая рз = О, находим 7+1 рз (7 1) рз 2 Рз 2(7+ 1) Рз и Если ударная волна движется по покоящемуся газу (пз = 0), то ско- рость распространения ударной волны равна 7+1 р, 2 Рз' т. е. она растет пропорционально квадратному корню из рз. 1эассмотрим простейшую задачу теории ударных волн, допускающую аналитическое решение.
В цилиндрической трубе т > О, не ограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с другой (и = = 0), находится покоящийся газ с постоянной плотностью рз и при постоянном давлении Рз. В начальный момент 1 = 0 поршень начинает двигаться с постоянной скоростью е в положительном направлении оси х. Перед поршнем возникает ударная волна, которая в начальный момент совпадает с поршнем, а затем удаляется от него со скоростью о' > и.
Между поршнем и фронтом ударной волны возникает область 2, в которой газ движется со скоростью поршня. Перед фронтом (область 1) газ находитсЯ в невозмУщенном состоЯнии; Р = Ры Р = Рз (е = 0). По этой фоРмУле можно опРеделить однУ из величин Ры Ры Рз, Рз, если известны три остальные величины. Ударная волна всегда движется относительно газа от областей с большим давлением к областям с моньшим давлением; рз > рз (теорема Цемплена). Отсюда следует, что плотность газа за фронтом больше плотности перед фронтом. Формула (20) выражает зависимость между рз и Рз при заданных Рз и Рм ФУнкциЯ Рз = Ря (Рз) пРи заданных Рз и Рз ЯвлЯетсЯ монотонно возрастающей функцией, стремящейся к конечному пределу при рз~рз -э со (ударная волна большой амплитуды): т УРЛВНВНИЯ ГЛЗОДИНЛМИКИ И ТВОРИЯ УДЛРНЫХ ВОЛН 160 ~АУ = (» — б.
или б р=1+7бй, или р=1+ у 1 — ы (25) 1 -г Раг = 1+ (7 — 1) (»б — — бг 2 (26) Исключая отсюда р и с», получаем квадратное уравнение для опре- деления ы: 2а г — ш (4 + ( у + 1) бг) + (2 + ( у — 1) бг) = О. (27) Так как по смыслу аг < 1 (Рг > рг), то выбираем меньший корень: 1, 7 + -г - 1, (7 ) ;г (28) 4 16 Из уравнений (24), (25) и (28) находим »»» 1 (» ),г — 4 и+ '+ 16 7 (7 + 1) (7 + 1)г , р = 1 + 4 -я+76 1+ -г 16 Возвращаясь к прежним величинам, получаем 1+ — + — 1+ . пг 7+1 ' (7+1)' 4 а'г аг 16аг Рг = Рг ц г г 2аг (30) (ЗЦ 4 16г 'у+ 1 ('»+ 1)г 16аг (32) 7(7+1) и' 7е (7+1)г г Рг =Рг 1+ — г+ — 1+ ьг .
(33) 4 аг аг 16аг 11ользуясь условиями на фронте (16), (17) и (18), нетрудно определить скорость фронта, а также величину скачка плотности и давления. Введем безразмерные величины (23) Рг аг аг Ргаг где аг —— ,»7Р~/Р~ †.скоРость звУка пеРед фРонтом (в невозмУщенной области 1). Тогда уравнения сохранения запишутся в виде (У = (24) 1 — ы 170 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П Так как скорость ударной волны постоянна, то для положения фронта в момент 1 будем иметь х = а (1) = п + аз 1 + сэ й (34) (7+ 1 Гу+ 1)' 16аз В предельном случае п,Уа1 » 1 (ударная волна большой интенсивности) из формул 131) 133) находим предельные соотношения 7+1 7+1 ТИ+1) з Рз = Р1 П= Рз =Рз 'у — 1 2 ' 2 а полученные нами ранее. Если пуа1 (( 1 уволна малой интенсивности), .то можно пренебречь членами п~,Уаз,: Рз =Рз 1+— у -~- 1 1У = а1+ п., 4 1+— 3.
Слабые разрывы. Выше было рассмотрено движение ударной волны, на фронте которой величины р, р, п и др. испытывают скачки. Такого рода разрывы называются сильными. Возможны и такие движения, при которых на некоторой поверхности испытывают скачок первые производные величин р, р, и и др., в то время как сами эти величины остаются непрерывными.
Такие разрывы называются с л а б ы м и. В 3 2, п. 10 рассмотрено движение разрывов такого рода и установлено, что эти разрывы распространяются вдоль характеристик. При этом мы исходили из уравнения акустики. Однако и для нелинейных задач газодинамики справедлив аналогичный результат.
Нетрудно убедиться в том, что поверхность слабого разрыва распространяется относительно газа со скоростью, равной локальной скорости звука. В самом деле, выделим малую окрестность поверхности слабого разрыва и возьмем средние значения гидродинамических величин в этой окрестности. Слабый ра.зрыв, очевидно, можно рассматривать на фоне средних значений как малое возмущение, которое удовлетворяет уравнению акустики и должно распространяться с локальной скоростью звука. В качестве примера рассмотрим истечение газа в вакуум (волна разрежения). Пусть в начальный момент 1 = 0 газ, заполняющий полу- пространство х > О, покоится и имеет постоянные значения плотности рв и давления ре во всей области х > О. При 1 = 0 внешнее давление, 1У.
УРАВНЕЕ1ИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛЕ1 171 О = р, (е1 — оз ) = рз (оз — ез ),. Рз + Р1 (о1 о1 ) = Рз + Р1' (о1 о1 ) ~ где р , р , о -значения слева в точке т1 (1), р~, Р~, ез — значения справа в точке тг(Г),получаем и р~=О, Р,=О так как Р; =Рг =о1 Для адиабатического процесса уравнение состояния идеального газа имеет вид (35) Решение задачи будем искать в форме Р = Р(С); Р =Р(С); о = о(С), где С = т/1. Вычисляя производные ду 1 оГ" дЕ" 1 оГ' д1 1 сЦ' дт г д~' где 1' = р, о или Р, и подставляя результаты в уравнения (1) и (2), получаем ор ое ( -~) — =-р —, И~ д(' по лр (е-с)р — =-— ос д~ Умножим первое уравнение на (о — ~с) и сложим со вторым: з ор оР ( — 0 — =— д( д~ (36) или — = (о — 0 .
гЕР 2 др приложенное к плоскости т = О, снимается и газ начинает двигаться; при этом возникает слабый разрыв (волна разрежения), распространяющийся со скоростью звука ас в положительном направлении оси и. На переднем фронте газа т = т1 (г) при 1 = О мы имеем разрыв плотности и давления. Однако этот разрыв сразу же после начала движения исчезает. В самом деле, из условий непрерывности потоков вещества и количества движения при и = т1 (1): 172 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П Отсюда имеем (37) г — 8 = — а. Подставляя это решение в уравнения (36)., получаем сЬ а ИР Р (38) или, что одно и то же, Йо 1 л1р ра Пользуясь уравнением состояния (35), находим и после интегрирования уравнения (38) получаем о= ао — — 1 (39) Из последней формулы можно выразить р через ш (40) Здесь ао =;/7лро(ро обозначает скорость звука при о = 0 (в покоящемся газе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
