УМФ Тихонов (965259), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(4) о о Для его решения воспользуемся методом последовательных приближе- Таким образом, для простейшего уравнения, не содержащего первых производных и,, и и искомой функции, решение представляется в явной аналитической форме (2). Из формулы (2) непосредственно следует единственность и существование решения поставленной задачи. Перейдем к решению линейного уравнения гиперболического типа з 4) ЗАЛАЧА С НАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 131 ний. Выберем в качестве нулевого приближения функцию ио (л, у) = О. Тогда (4) дает для последовательных приближений следующие выра- жения: у я ио (л, д) = р1 (л) + ~рз (д) — уз (0) + / / 1 (6 9) оК дц, о о (5) ь, о = э, о '- ) ) ~ ы, о о о +5(~, д) " +с(~, г1) и„, д~дт).
Отметим попутно, что ди„диз / ( ди,„~ ди„ + / ~а(л,д) " +5(л, д) " +с(л, д)и„, Йт~, дц о + а(с, у) " +5(с, д) " +с(с, д) и„1 дс. о (6) Докажем равномерную сходимость последовательностей (и„(л, д)), (л, у) , .(л, у) Лля этого рассмотрим разности з„(л, у) = и„.г1 (х, д) — и„(л, у) = о о 132 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П о(х, г1) " + Ь(х, д) " -~- с(х, г1) з„~ (х, у) ИгЬ дх дд о ду ду ду а(~, у) ' +Ь(~, у) +с((, у)з„~((, у) с1С. ду о Пусть М верхняя граница абсолютных величин коэффициентов а (х, у), Ь (х, у), с (х, у) и Н . —. верхняя граница абсолютных величин го = из (х, у) и ее производных ~зо~<Н,. <Н, <Н двв дсв дх ' дд при изменении х и у внутри некоторого квадрата (О < х < Е, 0 < < у < Е). Построим мажорантные оценки для функций ью дз„/дх, дз„!ду.
Очевидно, что )зз! < ЗНМху < ЗНМ (х+ у)' дз1 < ЗНМу < ЗНМ (х + д), дз~ < ЗНМх < ЗНМ (х + д). дд Предположим, что имеют место рекуррентные оценки ЗН МАНЯ вЂ” 1 < ЗНМ"Л" < ЗНМ "К" дд и! дх„(х, у) ди„ез (х, у) ди„(х, у) дзв (х, у) ди„ез (х, у) ди,, (х, у) ( .
~ )изб (и+ 1)! з 4) ЗАЛАЧА С ЛАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 133 где К ) 0 некоторое постоянное число, значение которого уточним ниже. Пользуясь этими оценками и формулой для (и + 1)-го приближения, после ряда упрощений, усиливающих неравенство, получаем г ! 1и-~-2 /х ! !я.ь1!<ЗНМиоКи з' ' ~ +2 < (и+ 2)! 1,и+ 3 (х+ у)иез ЗН !2КЬМУг Я < ЗНМит'Ки < (и+2)! КзМ (и-!-2)! НМи+ Ки '~ +У) Х+У ,мьз г дх ( +Ц! ~, +2 „ (х + у)ие' ЗН (2КТ.М)~+з (и+ 1)! К (~+ Ц! иою г ЗНМи-~-зКи — 1 (т' у) х + у <3 ду (и+ 1)! и+ 2 ) НМ" 'Ки !х+ У)и аз ЗН !2КТМ)иьг (и+ 1)! К !и+ 1)! где К = А + 2. В правых частях этих неравенств с точностью до множителей пропорциональности стоят общие члены разложения е~в ьм.
Эти оценки показывают, что последовательности функций ииооиа+яз+ . +я — ы дии диа дяз дя~ — з + — +...+ дх дх дх ' ' дх дии диа дя1 дяи сходятся равномерно к предельным функциям, которые мы обозначим и(х, у) = !!ш ии (х, у), и иоо дии е (х, у) = 1цп " (х, у)., ииоо дх д„ ю(х, у) = 1!п1 (х, у). и — >оо ду Переходя к пределу под знаком интеграла в формулах (5) и (6), будем 134 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П иметь (7) ю(х, д) = (х, у) + ~(а(г, у) и + Ь(С, д) и~ + с(С, у) и) аС. ду о Вытекающие отсюда равенства и=и, ю=а, позволяют установить, что функция и (т., у) удовлетворяет интегродифференциальному уравнению и (х, у) = ~рз (х) + рз (д) — ~рз (0) + + / / (а(С, у)не+а(С, р)ив+с(С, тр)и+1(С, .тр))а~йу, (4) а также исходному дифференциальному уравнению (3), что проверяется непосредственно дифференцированием (4) по х и д. Функция и = и (х, у), как нетрудно убедиться, удовлетворяет и дополнительным условиям. 11ерейдем к доказательству единственности решения рассматриваемой задачи (3) (3').
Допуская существование двух решений: из (х, у) и из (х, у), сразу же получаом для их разности Х (т, у) = из (т, у) — из (х, у) однородное интегродифференциальное уравнение у я о' (х, у) = / /(аН, + ЬОз+ со') с~~г1ц. о о Обозначая далее через Нз верхнюю грань абсолютных величин )Х(т, у)! < Нд, ~К, (х, у)! < Ны ~Г, (т, у)! < Х~ для 0 < х < Е, 0 < у < Ь и повторяяоценки, проведенные для функций я„(х, у), убеждаемся в справедливости неравенства (х+ д) "тз ЗН (2КЬМ)'тз М ( +2) КМ ( +2) Ь 5) РЕШЕНИЕ ЛИ1!ЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 135 при любом значении п.
Отсюда следует Ь«(х, у) з— в О, или «««(х, у) = из (т., у), что и доказывает единственность решения задачи с данными на характеристиках. Если коэффициенты а, 6 и с постоянны, то уравнение (3) с помощью подстановки и и елзеяя приводится к виду ияя + С«и (8) При С« = О мы получаем задачу для простейшего уравнения (1), решение которой дается формулой (2). Если С«ф О, то решение задачи для уравнения (8) также может быть получено в явной аналитической форме методом, изложенным в 0 5. Задачи 1. Через трубу (х > О), заполненную веществом, содержшпим влагу, продуваетсявоздух(соскоростью и). Пусть и(х, «) концентрациявлагив поглощаемом веществе, .и(х, «) концентрация свободных паров. Вывести уравнение для функций и (х, «) и с (х, «), описывающих процесс сушки, если; Ц процесс изотермический и 2) изотерма сушки имеет вид и = ти, где т постоянная изотермы (см.
также Приложение У). 2. По трубе (х > О) пропускается со скоростью г горячая вода. Пусть и температура воды в трубе, с температура стенок трубы, ие температура окружающей среды. Вывести уравнения для и и г, пренебрегая распределением температуры по сечению трубы и стенок и считая, что на границах вода стенка и стенка среда существует перепад температур и происходит теплообмен по закону Ньютона (см. гл. П1., Ь 1).
$5. Решение общих линейных уравнений гиперболического типа ии„= (иия), — (и,и)я + ип,, ии, я = (иия) — (и, и)я + иияя, еаи, = (аии), — и (аи),, иЬи„= (Ьии) я — и (6п) я,. иси = иси. 1. Сопряженные дифференциальные операторы. Установим некоторые вспомогательные формулы, нужные нам для представления решений краевых задач в интегральной форме. Пусть Е(и) = и,, — и„„+ а(х, у) и, + 6(х, у) из+с(х, у) и (1) (а (х, у), Ь (х, у), с (х, у) дифференцируемые функции) линейный дифференциальный оператор, соответствуклщий линейному уравнению гиперболического типа. Умножая Е [и] на некоторую функцию и, запишем отдельные слагаемые в виде 136 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П Суммируя отдельные слагаемые. получаем дН дК и С [и] = иМ [и]+ — + дх ду ' (2) где М [и] = и„— 脄— (аи), — (Ьи)„+ си, (3) Н = ии, — и,и + аиа = (ии), — (2и, — аи) и = (4) (4') = — (ии), + (2ил + аи) и, К = — идо + и„и + йии = — (ии)в + (2и„+ ди) и = (5) (5') = (ии)ь — (2иь — би) и. Нва дифференциальных оператора называются сопряженными, если разность и ь [и] — и Л4 [и] ~(иь' [а] — и М [и]) ас йт~ = ~(Нл1ц — К ай), (6) где и и и произвольные дваждыдифференцируемые функции (двумерная формула Грина) О. 2.
Интегральная форма решения. Воспользуемся формулой (6) для решения следующей задачи. Найти решение линейного уравнения гиперболического типа .С [и] = а,. — и, и+ а(х, у) ил+ 5(х., у) и, + с(х, у) и = — ((х, у),. (7) удовлетворяюшее начальным условиям на кривой С и[с = ло(х), ° [с= р( ) (7') П Будах Б.
М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М., 1967. является суммой частных производных по х и у от некоторых выражений Н и К. Рассматриваемые нами операторы Е и М, очевидно, являются сопряженными. Если Е [и] = М [и], то оператор Е [и] называется самосопряженным. Нвойной интеграл от разности о Е [и] — и Л4 [и] по некоторой области С, ограниченной кусочно-гладким контуром С, равен з 5) РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 137 (и„производная по направлению нормали к кривой С), и найти ту обласгаеч в которой решение оиределяеп~ся условиями (7').
у Кривая С задана при этом уравнением У =1(х), где ) (х) дифференцируемая функция. Наложим на кривую С условие, чтобы всякая характеристикасемейств у — х = сопя) и у + е + х = сопзс пересекала кривую С Рис. 26 не более одного раза (для чего необходимо. чтобы [Г'(х)[ < Ц. Формула (6) для криволинейного треугольника МРС), ограниченного дугой РЯ кривой С и отрезками характеристик МР и Мб~ (рис.
26), дает / (о б [и) — и А4 [о) ) е)( й) = мРе) м Я (Н ач — и е)ь) + / (Н а7) — и е)ь) + / (Н еЬ) — и е)Я). Преобразуем первые два интеграла, взятые вдоль характеристик М),) и МР. Принимая во внимание, что и пользуясь формулами (4) и (5), получаем м м м Г)' ди а+5 (Н дд — Л Ис) = — / д (ио) + / [ 2 — — о ) и е)в = ,/ ~, дв с)2 ( ) до а+5 = — (ио)м+ (ии)е) + / [2 — — о~ иеЬ д з)2 е)8 г)с = — е)г) = — — на ),)М, ъ'2 дв е)с = + е)г) = — — на МР з)2 (г)в — элемент дуги вдоль с)М и МР) 138 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П и, аналогично, м / до Ь вЂ” а (НсЬ) — КсК) = — (ио)м+ (,ио)р+ [ '[ 2 — — о) идя. да за ) м р Отсюда и из формулы (6) следует (ио)р -~-(ио)ц (ио)м = 2 + м м П'-'-' ') ""П'-'-"') "- »1 + — ) (НсЬ~ — Ка»С) — — )) (оЕ[и[ — иА4 [о]) асац. (8) 1 1 ГГ Ь вЂ” а о на характеристике МР, 2 з»2 Ь+а о на характеристике М»,), 2 ъ'2 (9') (9О) о(М) = 1. Из условий на характеристиках (9') и условия (9о) находим / Ь вЂ” а ехр / Нз на МР, 2 ъ'2 о з ( ГЬ+а~ ехр / дз на МЯ, ~,/ 2ъ'2( а где зс ---значение з в точке М. Как мы видели в з 4, уравнение (9) и значения функции о на характеристиках МР и МЯ полностью опре- деляют ее в области МРС~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
