УМФ Тихонов (965259), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Обпяая схема метода разделения переменных. Метод разделения переменных применим не только для уравнения колебаний однородной струны, но и для уравнения колебаний неоднородной струны. Рассмотрим следующую задачу. Найти решение уравненая д 1 ди) да Л Си) = — ~Й (х) — ~ — о (х) и = Р (х), 0 < х < С, С > О, (84) дх ~ дх~ дСз ' удовлетворяющее условияя и (О, С) = О, и 11, С) = О, С > О, (85) н (х, 0) = <р (х), ие (х, 0) = у' (х), 0 < х < С. (86) 120 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Здесь к, д и р непрерывные на отрезке 0 < х < 1 положительные функции (х > О, р > О, у > 0) Ц.
Проведем решение этой задачи методом разделения переменных. Пля отыскания частных решений обратимся, как и раньше, к вспомогательной задаче о существовании стоячих волн. Найти нетривиальное решение уравнения (84), удовлетворяющее граничным условиям и(0,1) =О, и(1,1) =О и представимое в виде произведения и (х, 1) = Х (х) Т (1). Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение и пользуясь граничными условиями, после разделения переменных получаем д ( дХ) — ~й (х) — ~ — оХ + ЛрХ = О, дз: дх То + ЛТ = О.
Для определения функции Х (х) мы получим следующую к р аевую задачу на собственные значенияз1. Найти те значения параметра Л, ари которых существуют нетривиальные решения задачи (87) Т (Х] + ЛрХ = О, Х (0) = О, Х (1) = О, (88) а также найти зти решения. Такие значения параметра Л называются с о б с т в е н н ы м и значениями, а соответствующие им нетривиальные решения-- собственными функциями задачи (87) (88). Сформулируем основные свойства собственных функций и собственных значений краевой задачи (87) и (88), необходимые для дальнейшего изложения. 1. Существует счетное множество собственных значений Лз < < Лз « ... Л„..., которым соответствуют нетривиальные решения задачи собственные функции Хь (х), Хя (х), ..., Х„(х), ...
1 Тот случай, когда к (х) в некоторых точках обращается в нуль, рассматривается отдельно (см. Пополнение П). 21 При р = ро = сопзс, Й = ко = сопзФ мы получаем краевую задачу о собственных колебаниях струны с закрепленными концами; Хо-ЬрХ=О (о=~в — 'Л), Х (О) = О, Х (1) = О, исследованную в З 2. 121 63) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ Х,„(х) Х„(х) р(х) г1х = О (т ф- и).
о (89) 4. Теорема разложимости В. А. Стеклова. Произвольная функция Р(х), дважды непрерывно дифференцирусмая и удовлетворяющая граничным условиям г'(О) = г'(1) = О, .разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по собственным функциям Х„(х): Р(х) = ~ ~Р„Х„(х), Р„= / Р(х) Х„(х) р(х) сЬ, (90) 1 а=1 о ]]Х„]]з = / Хз (х) р (х) дх. о Доказательство утверждений 1 и 4 основывается обычно на теории интегральных уравнений, и мы не будем здесь его приводить.
В настоящем пункте мы остановимся на доказательствах свойств 2 и 3. Прежде чем перейти к доказательству этих свойств, выведем так называемую формулу Грина. Пусть и(х) и о(х) произвольные функции, дважды дифференцируемые на интервале а < х < 6 и имеющие непрерывную первую производную на отрезке а < х < 6. Рассмотрим выражение и А [о] — ой [и] = и(ко ) — о(ки ) = [к(ио — ои )] . Интегрируя это равенство по х от а до 6, получаем формулу Грина б ь (иЬ [о] — о А [и]) Нх = Й(ио' — ои ) а (91) Докажем свойство 3. Пусть Х, (х) и Х„(х) две собственные функции, соответствующие собственным значениям Л и Л„. Полагая в формуле (91) и = Х, (х), о = Ха(х) и учитывая граничные 2. При д ) О все собственные значения Л„положительны.
3. Собственные функции Х, (х) и Хи (х) при т ~ и ортогональны между собой с весом р (х) на отрезке О < х < 1: 122 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П условия (88), будем иметьг) (Х Ь1Х„) — ХоЬ[Х„,))с(х= О (а=О, Ь=(), о откуда, пользуясь уравнением (87), получаем (˄— Л ) / Х (х) Х, (х) р (х) 2х = О. о Таким образом, если Л„ф Л, то имеет место условие 1 Хы (х) Хв (х) р (х) с(х = О, о (92) Ц Производные Х,„и Х„непрерывны всюду на отрезке 0 < х < О ! включая точки х = 0 и х = 1, так как уравнение (87) дает й(х)Ха(т) = / (о — Л„,р)Х, бх-сС.
Отсюда и следует существование производной Х„'а при х = 0 и х = Е Локазываомое свойство первой краевой задачи основано на том, что два линейно независимых решения дифференциального уравнения 2-го порядка не могут обращаться в нуль в одной и той же точке. Это утвержденна относится к краевой задаче с нуловыми граничными условиями.
При других граничных условиях (например, Х (О) = Х (1), Х (О) = Х (1)) могут существовать две различные собственные функции, соответствующие ОО 2яо [г~ одному и тому же собственному значению Х„(х) = соз х, Х (х) = 2ян 7 2к'л'1 =зла х при Л„=( ), о=0,1,2,... (,1) выражающее ортогональность с весом р (х) собственных функций Х (х) и Х„(х). Докажем теперь, что каждому собственному значению соответствует с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция з)).
В самом дело, всякая собственная функция определяется однозначно как решение дифференциального уравнения 2-го порядка по значению самой функции и ее первой производной при т = О. Допустив существование двух функций Х и Х, отвечающих одному и тому же значению Л и обращающихся в нуль при х = О, и взяв 123 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ функцию Х* (х) = Х (х), Х'(О) = Х (О) видим, что эта функция удовлетворяет тому же уравнению 2-го поряд- ка (87) и тем же начальным условиям, что и функция Х (х): Х' 0 Х* (0) = = Х (0) = О, Х' (0) дх' Х' 0 (0) = Х' (0) = Х'(0). пх Х' (О) Тем самым доказано, что Х* (х) = Х (х) и что Х (х) = А Х (х) А = / Х'(О) '1 1, х (0) ) Отметим, что в процессе доказательства мы учитывали требование Х' (0) у'.
-О, которое безусловно выполняется, так как решение линейного уравнения (87), определяемое начальными условиями Х (0) = О, Х' (0) = О, тождественно равно нулю и тем самым не может быть собственной функцией (см. с. 120). В силу линейности и однородности уравнения и краевых условий очевидно, что если Хэ (х) является собственной функцией при собственном значении А„, то функция А„Х„(х) (А„ произвольная постоянная) также является собственной функцией для того же значения Л„. Выше было доказано, что этим вполне исчерпывается класс собственных функций.
Собственные функции, отличающиеся множителем, мы, разумеется, не считаем существенно различными. Чтобы исключить неопределенность в выборе множителя, можно подчинить собственные функции требованию нормировки 'ОХ„О~ = / Х~ (х) р (х) дх = 1. о Если некоторая функция Х„(х) не удовлетворяет этому требованию, то ее можно «нормировать», умножая на коэффициент Аэ; А„Х„(х) = Х„(х), А„= 1 ()Х„)! 124 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П Если подчинить собственные функции задачи (87) (88) условию нормировки (][Х„]] = 1), то они образуют ортогональную и нормированную систему (, Х (х) Х„(х) р (х) с1х = (О, гвфп, (1, т.=п. о Обратимся к доказательству свойства 2. Покажем, что Л > 0 при д > О. Пусть Х„(х) нормированная собственная функция, соответствующая собственному значению Л„, так что Л~ / Х„(х) р (т) <Ес = — / Х„(х) Ь [Х„] йх, или с1 ( йХ„) Л = ~Մ— '[Й(х) ~ Йх+ / д(х)Хз(х)~1х, так как функция Х„(х) предполагается нормированной. Интегрируя по частям и пользуясь граничными условиями (88), получаем с Л„= — Х„,ИХ„'+ 1' й(х) [Х„'(х)]з дх+ / д(х) Хз (х) г1х = о о о й (х) [Х„' (х)]з дх + ~ д (х) Хз (х) йх, (93) откуда и следует,что Ли >О, так как по условию й (х) > 0 и д(х) 3 О.
Оставляя доказательство теоремы разложимости в стороне, кратко остановимся на вычислении коэффициентов разложения. Нетрудно видеть,что / р (х) г (х) Х„(х) г1х. 1 о (94) 7 [Х„] = — Л„р(х) Х„(х). Умножая обе части этого равенства на Х„(х) и интегрируя по х от 0 до 1, получаем 125 1 з) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В самом деле, умножая обе части равенства р()='~ р„х„() на р(х) Х„(х), интегрируя по х от 0 до 1 и учитывая ортогональность собственных функций, получаем написанное выше выражение для коэффициентов г'„(коэффициентов Фурье) сс. Вернемся теперь к уравнению с частными производными. Для функции Т (с) мы имеем уравнение Т" +Л„Т= О (95) без каких-либо дополнительных условий.
В силу доказанной положи- тельности Л„его решение имеет вид Тв (1) = Ач соз ЗссЛ„1+ В„зш ЗссЛ„1, где А„и В„неопределенные коэффициенты. Таким образом, вспо- могательная задача имеет бесчисленное множество решений вида и„(х, 1) = Т„(1) Х„(х) = (А„соз з,сЛэб+ Ви зсп зссЛэ1) Х„(х). Обратимся к решению задачи с заданными начальными условиямн. Будем искать решение в виде и(х, 1) = ~ (А„соя з,СЛ„1+ Ваз1п зсСЛ„1) Х„(х).
(96) Формальная схема удовлетворения начальным условиям (86) основывается на теореме разложимости 4 и проводится совершенно так же, как и для однородной струны. Из равенств и(х, О) = ср(х) = ~ ~А„Х„(х), э=с ис (х„О) = чс (х) = ~ В зссЛ„Х„(х) я=с находим, что А„= ср„, В„= (97) л„' где ср„и ср„коэффициенты Фурье функций ср(х) и ус(х) при раз- ложении по ортогональной с весом р(х) системе функций ( Ха (х) ).
с) Возможность почленного интегрирования ряда следует нз теоремы Стеклова о равномерной сходнмостн ряда (90). 126 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Ограничиваясь общей схемой метода разделения переменных, мы не приводим условий применимости этого метода как в отношении коэффициентов уравнения, так и в отношении начальных функций. Основополагаюшис работы по обоснованию этого метода принадлежат В. А. Стеклову~). Задачи 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
