УМФ Тихонов (965259), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

"-1/ — 1 ~3) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 93 7Г'П 7Гп т 7Гп и„(х, 1) = (Ао соя — а1+ Впяш — а1) яш — х = ) яп яп = а„соя — а (Г+ б„) я1п — х, (24) 1 где 7ГП В„ — або = — агсся — ". 1 " А„' А„А В„, (25) Каждая точка струны хо совершает гармонические колебания ио (хо, 1) = ао соя — а(1+ бо) яш — хо — о 1 и с амгГлитудой ЯГА а ып — хо. и Движение струны такого типа называется стоячей волной. Точки 7ГП х = т — (т = 1, 2,..., и — 1), в которых яш — х = О, в течение всеи го процесса остаются неподвижными и называются у з л а м и стоячей 2пГ+ 1 волны и„(х, 1). Точки х = 1 (т = О, 1, ..., и — 1), в которых 2п ЯГГ яш — х = х1, совершают колебания с максимальной амплитудой а„ и называются пучностями стоячей волны.

Профиль стоячей волны в любой момент времени представляет синусоиду яп и„(х, 1) = С 17) Гйп — х, где яп С„11) = оп соз а7„(1+ бп) (о7„= — а) . чем полностью определяется функция (17), дающая решение исследуемой задачи. Мы определили решение в виде бесконечного ряда (17). Если ряд (17) расходится или функция, определяемая этим рядом, не является дифференцируемой, то он, конечно, не может представлять решение нашего дифференциального уравнения. В настоящем пункте мы ограничимся формальным построением решения. Выяснение условий, при которых ряд (17) сходится и представляет решение, будет проведено в и. 3.

2. Интерпретация решения. Обратимся теперь к интерпретации полученного решения. Функцию и77 (х, 1) можно представить в виде 94 УРАВНЕНИИ ГИПЕРЬОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П В моменты времени 1, при которых совы„(1+ б„) = х1, отклонения достигают максимальных значений, а скорость движения равна нулю. В моменты времени 1, при которых совы„(1+ бо) = О, отклонения равны нулю, а скорость движения максимальна. Частоты колебаний всех точек струны одинаковы и равны яп ы„= — а.

(26) Частоты ы„называются с о б с т в е н н ы м и ч а с т о т а м и колебаний струны. Пля поперечных колебаний струны а = Т/р и, следователь- но, (27) Энергия и-й стоячей волны (а-й гармоники) для случая поперечных колебаний струны равна з„=-) ~~( "") ~г( '") ~ ь = 2 = — / ро~„яш ы„(1+б„)яш — х+ о +Т ~ — ) сов ы„(1+бо)сов — х Их = ~1) 3 2 = —" — ~~ро~„яш ы„(1+ б„) + Т ~ — ) сов ы„(1+ б„), (28) так как 2яп 2™ вш — хдх = ) сов — хдх ,/ 1 2 о о Пользуясь выражением для ао, о~о, а также равенством Т = а р, по- 2 лучаем аз О/2 зз +Во зм' о 4 " 4 (29) где М = 1р масса струны. Колебания струны воспринимаются нами обычно по звуку, издаваемому струной.

Не останавливаясь на процессе распространения колебаний в воздухе и восприятия звуковых колебаний нашим ухом, можно сказать, что звук струны является наложением «простых тонов», ~ з) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 95 соответствующих стоячим волнам, на которые разлагается колебание. Это разложение звука на простые тоны не является операцией только математического характера. Выделение простых тонов можно произвести экспериментально при помощи резонаторов. Высота тона зависит от частоты колебаний, соответствующих этому тону. Сила тона определяется его энергией и, следовательно, его амплитудой.

Самый низкий тон, который может издавать струна, определяется самой низкой собственной частотой ы> = я/1,/Т7 р и называется основным тоном струны. Остальные тоны, соответствующие частотам, кратным ю>, называются обертонами. Тембр звука зависит от присутствия наряду с основным тоном обертонов и от распределения энергии по гармоникам. Низший тон струны и ее тембр зависят от способа возбуждения колебаний. Действительно, способ возбуждения колебаний определяет начальные условия (3) и(х> .0) = о>(х); кч(х, 0) = ч>(х), через которые выражаются коэффициенты А, и В„. Если А> = В> = = О, то низшим тоном будет тон, соответствующий частотс ы„, где и -- наименьшее число, для которого А„и В,„отличны от нуля.

Обычно струна издает один и тот же тон. В самом деле, приведем струну в колебание, оттягивая ее в одну сторону и отпуская без начальной скорости. В этом случае из(х> 0) = О, и (х, 0) = >р (х) > 0 и 2 >", я А> = — / о> (~) з>п — ~ с1( > О, -~/ о так как ап — ~ > О. 1 Следуя>щие коэффициенты, вообще говоря, значительно меньше яп А>, так как функция гйп — с знакопеременна при и > 2. В частности, если >р(х) симметрична относительно середины отрезка, то Аз = О. Таким образом., если привести струну в колебание, оттягивая ее в одну сторону (>р (х) > 0), то низшим тоном будет основной тон струны, энергия которого больше энергии других гармоник. Привести струну в колебание можно и другими способами.

Например, если начальная функция нечстна относительно середины струны, то А, =О 96 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П и низший тон соответствует частоте Если звучащую струну взять точно за середину, то звук ее резко меняется и она звучит в октаву к своему тону. Этот прием изменения тона часто применяется при игре на скрипке, гитаре и других струнных инструментах и носит название флажолета. С точки зрения теории колебания струн это явление совершенно ясно.

В момент прикосновения к середине струны мы гасим стоячие волны, имеющие в этой точке пучности, и сохраняем лишь гармоники, имея>щие в этой точке узлы. Таким образом, остаются только четные гармоники и самой низкой частотой будет ыз = Если прикоснуться к струне на расстоянии 1/3 ее длины от края, то высота основного тона повышается втрое, так как при этом сохраняются лишь гармоники, имеющие узлы в то гке т, = 1/3. Формулы (30) определяющие соответственно частоту и период основного колебания, объясняют следующие законы колебания струн, открытые впервые экспериментально 1законы Мерсена). 1.

Для струн одинаковой плотности и одинакового натяжения период колебания струны пропорционален ес длине. 2. При заданной длине струны период меняется обратно пропорционально корню квадратному из натяжения. 3. При заданной длине и натяжении период меняется пропорционально корню квадратному из линейной плотности струны. Эти правила легко демонстрируются на монохорде. В настоящем пункте мы рассмотрели стоячие волны, возникающие при колебании струны с закрепленными концами. Вопрос о существовании решения вида и (в, г) = Х (х) Т1г) эквивалентен вопросу о существовании стоячих волн, так как профили этого решения для различных моментов времени пропорциональны. 3.

Представление произвольных колебаний в виде суперпозипии стоячих волн. В и. 1 мы рассмотрели задачу о свободных колебаниях струны, закрепленной на концах, и доказали существование частных решений в виде стоячих волн. Там же была дана формальная схема представления произвольного колебания в виде беско- ~ 3) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 97 Ь(и) х Е ~ ~С,и, =~пС,Ь(и;) =О, / так как сходящиеся ряды можно складывать почленно. Тем самым доказано, что функция и удовлетворяет уравнению.

В качестве достаточного условия для возможности почленного дифференцирования ряда мы постоянно будем пользоваться условием равномерной сходи- мости ряда С,ь(и,), г=1 (31) получаемого после дифференцирования Н. Вернемся теперь к нашей краевой задаче. Мы должны прежде всего убедиться в непрерывности функции кп, яп 1 кп и (х, 1) = ~ ип (х, 1) = Х ~(А„соз — а1 + Вп зш — а1) гйп — х, 1 ) 1 п=1 п=з (32) из чего будет следовать, что и (х, 1) непрерывно примыкает к своим начальным и граничным значениям. Для этого достаточно доказать Смг Смирнов В. И. Курс высшей математики.

Т. П. Мп 1974; Будах Б. М.п Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М... 1967. 7 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский печной суммы стоячих волн. В настоящем пункте дается обоснование возможности представления произвольного решения в виде суперпозиции стоячих волн. В первую очередь рассмотрим обобщение хорошо известного для конечных сумм принципа суперпозиции на случай бесконечных рядов. Пусть Ь(и) линейный дифференциальный оператор, так что Ь(и) равен сумме некоторых производных функции (обыкновенных или частных) с коэффициентами, являющимися функциями независимых переменных. Докажем лемму (обобщенный принцип суперпозиции).

Если функции и, (з' = 1, 2,..., и,...) являются частными решениями линейного и однородного дифференциального уравнения Ь (и) = = О (обыкновенного или с частными производными), то ряд и = С;и, является также решением этого уравнения, если вычисление. производных от и, фигурирушизих в уравнении Е(и) = О, можно совершить при помаши почленного дифференцирования ряда. В самом деле, если производные и, фигурирующие в уравнении Ь(а) = О, вьгзисляются почленным дифференцированием ряда, то в силу линейности уравнения 98 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П равномерную сходимость ряда для и (т, г), так как общий член это- го ряда- .

непрерывная функция, а равномерно сходящийся ряд непре- рывных функций определяет непрерывную функцию. Пользуясь нера- венством (и„(к, й)! ( )А„) -~- )В„(, заключаем, что ряд ~((А„! + (В„!) п=1 (33) является мажорантным для ряда (32). Если мажорантный ряд (33) сходится, то ряд (32) сходится равномерно, т. е. функция и (х, г) непрерывна. Чтобы убециться в том, что иг (л, ~) непрерывно примыкает к своим начальным значениям, надо доказать непрерывность этой функции, для чего достаточно доказать равномерную сходимость ряда т дип т яп; ггп яп 1 ггп иг (т, я) ~ " = ~ а — ~ — А„ягп — а~ + В„соя — а1) сйп — я ~;ая ~; ~~ " ~ " ~ ) (34) или сходимость мажорантного ряда — и ()А„! + )В„!).

п=1 (35) ГГП З 1ГП и, ~ " = — ( — ) гу пз~А соя — аг+ В яш — ая) яш — и Х п=1 п=1 2 з2 яп З яп ии ~ = — ( — ) ~ и (Ап соя — а~ + В„яш — ая) яш — т, которым с точностью до множителей пропорциональности соответ- ствует общий мажорантный ряд пя ((А„/ + (В„/). п=1 (36) Так как Вп гггп ~ лпа Наконец, чтобы убедиться в том, что функция и (я, 1) удовлетворяет уравнению, т. е.

применим обобщенный принцип суперпозиции, достаточно доказать возможность двукратного почленного дифференцирования ряда для и (т, г), для чего, в свою очередь, достаточно доказать равномерную сходимость рядов МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ где 2 7 яп 2 Р я.п х„= — / уз(х)гйп — хйх, фп = — ~ ф(х)з1п — хс1х, "-1/ то наша задача сводится к доказательству сходимости рядов пь )у„! (Й = О, 1, 2), п=з (37) пь ~ф„,! (й = — 1, О, 1).

Характеристики

Список файлов книги