УМФ Тихонов (965259), страница 33
Текст из файла (страница 33)
1) Если не предполагать непрерывность и (х, 1) в замкнутой области 0 < < х < 1, 0 < 1 < Т, то функция и (х, 8) могла бы не достигать своего максимума ни в одной точке и дальнейшие рассуждения были бы неприменимы. В силу теоремы о том, что всякая непрерывная функция достигает своего максимального значения в замкнутой области, мы можем быть уверены, что; 1) функция и (х, 1) достигаетп максимального значения на нижней или боковых сторонах прямоугольника, которое мы обозначили через М; 2) если и тх, Е) хотя бы в одной точке больше М, то существует точка (хо, то), в которой и(х, 1) досптигает максимального значения, превосходящего М: и(хо 1о)=М-1-е (е)0), причем 0<хо<О 0<то(Т. 204 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П1 Сравним знаки левой и правой частей уравнении (19) в точке (хо, 1о). Так как в точке (хо, 1о) Функция достигает своего максимального значения, то необходимо, чтобы — (хо 10)=0 и д з(хо 80)~<0'. (20) Далее, так как и (хо, 1о) достигает максимального значения при 1 = го, то 2) ди — (хо, 1о) > О. д1 (21) Сравнивая знаки правой и левой части уравнения (19), мы видим, что они различны.
Однако это рассуждение еще не доказывает теоремы, так как правая и левая части могут быть равны нулю, что не влечет за собой противоречий. Мы привели зто рассуждение, чтобы яснее выделить основную идею доказательства. Для полного доказательства ди ди найдем точку (хы 11), в которой < 0 и — > О. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию о(х. 1) = и(х, Х) + й(го — 1) (22) где й -- некоторое постоянное число.
Очевидно, что о (хо, 1о) = и(хо, 1о) = М+ е и 1с(1о — 1) < йт. Выберем к > 0 так, чтобы ьТ было меныце е/2, т. с. к < к/2Т; тогда максимальное значение о (х, 1) при 1= 0 или при х = О, х = 1 не будет превосходить М + е/2, т. е. к о(х,1) < М-~- — (при 1=0,или х=О, или х=1), (23) 2 так как для этих аргументов первое слагаемое формулы (22) не превосходит М, а второе не больше е/2.
Действительно, как известно из анализа, достаточными условиями для того, чтобы функция /(х) в точке хо, .лежащей внутри интервала (О, 1), д/ имела локальный минимум, являются следующие условия: =О, дх я=-яе 12/ — > О. Таким образом, если /(х) в точке хо имеет макснмаль- 1 2 а=хе ное значение, то: 1) /' (хо) = О и 2) не может быть, чтобы /л (хо) > О., т. е. /л (хо) < О. 21 ди ди ' При этом ясно, что если зо < Т, то — = О; если же го = Т, то — > О.
дг д1 ПРОСткйШИК ЗАДАЧИ 205 В силу непрерывности функции о(х, С) в замкнутой области она должна в некоторой точке (хл, Сл) достигать своего максимального значения. Очевидно,что е(хл, Сл) > е(хе, Се) = М+ в. Поэтому Сл>0 и 0<хл<С, таккакпри С=О или х=О, х=( имеет место неравенство (23). В точке (хл, Сл)л по аналогии с (20) и (21), должно быть о (хл, Сл) < О, и,(хы Сл) > О. Учитывая (22), находим иял (хл, Сл) = ллмь (хл, Сл) < О, ил (хл,. Сл) = ил(хл, Сл) + в' > Й > О.
Отсюда следует, что ил (хл, Сл) — о, и (хл, Сл) 3 Й > О, т. е. уравнение (19) во внутренней точке (хл, Сл) не удовлетворяется. Тем самым доказано, что решение и (х, С) уравнения теплопроводности (19) внутри области не может принимать значений, превосходящих наибольшее значение и (х, С) на граница (т. е.
при С = О, х = О, х= С). Аналогично может быть доказана и вторая часть теоремы о минимальном значении. Впрочем, это не требует отдельного доказательства, так как функция ил = — и имеет максимальное значение там, где и -- минимальное. Обратимся теперь к установлению ряда следствий из принципа максимального значения.
Прежде всего докажем теорему единственности для первой краевой задачи. 6. Теорема единственности. Если две функции ил (х, С) и из (х, С), определенные и непрерывные в области 0 < х ( С, 0 < С ( < Т, удовлетворяют уравнению теплопроводноспли ил — — а или+1(хлС) (для 0<х<С, С>0), одинаковым начальным и граничным условиям ил (х, 0) = ия (х, 0) = ул (х), ил(О,С) = иэ(О,С) =рл(С), ил (С С) — и2 (С С) — Слз (С) пло ил (х, С) = из (х, С) Для доказательства этой теоремы рассмотрим функцию и (х, С) = из (х, С) — ил (х, С). лл В З 2, и. 3 эта теорема будет усилена и требование непрерывности при С = 0 снято.
20б УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П1 Поскольку функции из (х, 1) и иг (х, 1) непрерывны при 0<х<1, 0<1<У., то и функция о (х, 1), равная их разности, непрерывна в этой же области. Как разность двух решений уравнения теплопроводности в области 0 < х < 1, 1 > О, функция о (х, 1) является решением однородного уравнения теплопроводности в этой области. Таким образом, принцип максимального значения применим к этой функции, т.
е. она достигает своего максимального и минимального значений или при 1 = О, или при х = О, или при х = 1. Однако по условию мы имеем о(х, 0) =О, о(0,1) =О, о(1,1) =О. Поэтому о(х,1) =О, т. е. из(х, 1) = иг(х, 1). Отсюда следует, что решение первой краевой задачи единственно. Покажем еще ряд прямых следствий из принципа максимального значения. При этом в дальнейшем мы будем говорить просто «решение уравнения теплопроводности» вместо более подробного перечисления свойств функций, удовлетворяющих, кроме того, начальным и граничным условиям. 1.
Если два решения уравнения теплопроводностн из (х, 1) и иг (х, 1) удовлетворяют условиям из (х, 0) < иг (х, 0), аз (О, 1) < иг (О, Х), из (1, 1) < иг (1, 1), из (х, 1) < иг (х, 1) для всех значений 0 < х < 1, 0 < 1 < Т. Пействительно, разность о (х, .1) = иг (х, 1) — из(х, 1) удовлетворяет условиям,при которых установлен принцип максимального значения,и,кроме того, о (х, 0) > О, о (О, 1) > О, о (1, 1) > О. Поэтому о(х,г) >О для 0<х<1, 0<1<Т, так как иначе функция о (х, 1) имела бы отрицательное минимальное значение в области 0<х<1, 0<1<Т, 2. Если три решения уравнения теплопроводности и(х, 1), и(х, 1) и и(х, 1) ПРОСТКЙШИК ЗАДАЧИ 207 удовлетворяют условиям и(х, г) < и(х, й) < и(х, Е) при й = О, х = 0 и х = 1, то эти же неравенства выполнлюгася тождественно, т.
е. для всех х, г аэ области 0 < х < Е 0 < й < Т. Это утверждение доказывается применением следствия 1 к функциям и(х, г), и(х, г) и и(х, 1), и(х, г). 3. Если для двух решений уравнения теплопроводности и1 (х, ~) и из (х, 1) имеегл место неравенство ~из (х, 1) — из (х,. й)~ < е для й = О, х = О, х = 1, то оно тождественно, т. е.
имеет место для всех х, ~ иэ области 0<х<1, 0<~<Т. Это утверждение вытекает из следствия 2, если его применить к решениям уравнения теплопроводности и(х, г) = — е, и (х, й) = из (х, й) — иэ(х, С), и(х, г) = е. Следствие 3 позволяет установить непрерывную зависимость решения первой краевой задачи от начального и граничных значений.
Рассмотрим в области 0 < х < 1, 0 < ~ < Т решение и(х, ~) уравнения тсплопроводности, соответствующее начальному и граничным условиям а(х, 0) = у(х), и(0, г) = р1(г), и(1, г) = ря (г). Пусть и* (х, 1) — решение того же уравнения, соответствующее начальному и граничным условиям, определяемым функциями ~р* (х), д1 ф, рз ф.
Если в рассматриваемой области эти функции близки к функциям ю(а), р1 ф, р: (й): (у(х) — <р* (х)! < е, ~ун (Х) — р*, (й)/ < е, ~~~э (й) — лз ф! < е, то и' (х, г) отличается от а(х, Г) в пределах той же точности е: !и (х, С) — и*(х, й) ! < е. В этом и заключается принцип физической определенности задачи. Мы подробно провели изучение вопроса о единственности и физической определенности задачи на примере первой краевой задачи для ограниченного отрезка.
Теорема единственности первой краевой задачи для ограниченной области в пространстве двух или трех измерений может быть доказана буквальным повторением приведенных выше рассуждений. 208 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П1 Подобные жс вопросы возникают при изучении других задач, целый ряд которых был поставлен нами в предшествующих пунктах. Эти задачи требуют некоторого видоизменения метода доказательства. Единственность решения задачи для неограниченной области (см. и. 7) или задачи без начальных условий имеет место лишь при наложении некоторых дополнительных условий на изучаемые функции.
7. Теорема единственности для бесконечной прямой. При решении задачи на бесконечной прямой существенным является требование ограниченности искомой функции во всей области, т. е, существование такого М, что ~и (х, 1)~ < М для всех — оо < х < + со и 1 > О. Если ид (х, 1) и пз (х, 1) -- непрерывные, ограниченные во всей области изменения переменных (х, 1) функции, удовлегиворнюязие уравнению теплопроводности не — — а и,„,, ( — со <и <+ос, 1>0) (10) и условию пг (х, 0) = из (х, 0) ( — оо < х < со), пг(х,г)гнп (х,г) ( — оо<х<оо, 1>0). Рассмотрим, как обычно, функцию о (х, 1) = пз (х, 1) — пз (х, 1). Функция о (х, 1) непрерывна, удовлетворяет уравнению теплопроводности, ограничена во всей области: ~п (х, 1) ~ < ~и1 (х, 1) ~ + ~пз (х, 1) ~ < 2М ( — со < х < со, 1 > 0) и удовлетворяет условии> о (х, 0) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
