УМФ Тихонов (965259), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Ч 441 ИНТКГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА 52) В результате для функции и(Мо,1о) получаем следующую интег- ральную формулу: + — Я вЂ” дхм, (3) т часто называемую формулой КирхгофаЛ. Здесь квадратные скобки показывают, что значение функций надо брать для 1* = О, т. е. при 1 = 1о — гном/а, так что (Д = У(М,1 — гмм,1а). 2. Следствия из интегральной формулы.
Формула (3) находит свое применение при решении целого ряда задач. В качестве первого примера рассмотрим задачу с начальными данными. Найти решение уравнения колебаний 1 С1и — — ии = О аз в неограниченном пространстве, если заданы начальные условия и~у=о = р(и,у,з), ие~е=о = ф(х, угя) Нижняя полость характеристического «конуса» г = а(1о — 1) точки (Мо, 1о) пересекается с многообразием Е = О по сфере Яо," (г = а1о) мо радиуса а1о с центром в точке Мо.
Воспользуемся формулой (3), полагая в ней Я = Н„е~. Нля любой функции и(М,1) значение [и) на сфере Н„ имеет вид мо гмомз (и) =и(М,1о — "' ) =и(М,О), так как гмлго =а1о Формула Кирхгофа была обобщена С. Л. Соболевым для уравнения гиперболического типа с четным числом переменных. При помощи этой формулы Кирхгофа Соболева может быть построено решение задачи с начальными условиями для указанного уравнения (Соболев С. Л. 06 одном обобщении формулы Кирхгофа О ЛАН СССР.
1933. Т. 1, М 6. С. 256 — 262.) 442 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. Ч Поэтому, если точка М лежит на сфере Я„э, то [и)ч = и(М,О) = ~р(М), — = — (М, 0) = ф(М), Далее Подставляя это выражение в (3), находим и(Мо 1о) = Д ~ (тФ)+ Ф аБ= 4. у',( '1тэ В ат вмо 'о дт О™~П+ а О 1 4я т='ао откуда, опуская индексы 0 при Ме и 1е, получаем формулу Пуассона и(М,1) = 1 4яа (тмр = а1) (4) (см. (15) из э 1) а( е 'О) 4 Щ лх (5) тмо 'а где Х, шар радиуса а1е с центром в Ме.
Исследуем подробнее тот кто случай, когда правая часть является периодической функцией времени у(М,1) = )е(М) е'"'., В качестве второго примера рассмотрим теперь решение неоднородного волнового уравнения с нулевыми начальными данными. Выбирая по-прежнему Я = Я ', убеждаемся в том, что поверхностный это интеграл в (3) обращается в нуль, вследствие чего получаем 443 ИЕ1ТКГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА где ог заданная частота колебаний.
Из (5) находим ,.г 1 ГГà — гы l ог и(Мо,1о) = е' " — Я Го(М) г1твг (й = —, г = гммоз . 4 Я а тмо 'о (6) Пусть Го(М) локальная функция, т. е. функция, отличная от нуля только внутри некоторой области Т. Если Мо лежит вне области Т и расстояние от Мо до ближайшей точки области Т равно г(, то интеграл по Того равен нулю для 1о ( фа. Лля таких значений возмущение не успевает дойти до точки Мо. Если расстояние от Мо до наиболее удаленной точки области Т равно Р, то для моментов ео > Р)а интеграл в правой части постоянен и сводится к интегралу, распространенному по всей области Т. Таким образом, во всякой точке Мо, начиная с момента 1о = Ргга, имеют место периодические колебания с амплитудой 1 — гАтзгм и(Мо) = — ~~~ .Го(М) г1тм т так что и(Мо, 1о) = и(Мо) е' ".
Прямая подстановка выражения (6) для и (при ео > Р/а) в уравнение колебаний показывает, что функция о(М) должна удовлетворять уравнению аи+ й 'о = —,(о(М) (й > ог/а), (8) которое мы будем в дальнейшем называть волновым уравнение м (см. гл. УП). Оно часто также называется уравнением Гельмгольца. Рассмотрим формулу (3) для случая установившихся колсбаний, когда и(М,1) = о(М) е"г, где и(М) амплитуда колебаний, удовлетворяющая волновому уравнению (8). В этом случае имеем (и) = и (М 1 — о) = гг(М) сггггг Ьгг ! гоп — Яг) дгг'1 дп 1 ди1 — — ~ = 1йи(М) еб ' а д1~ (Д Г" (М) гггггг — ьг) 444 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. У Подставляя эти выражения в формулу (3), приходим к интегральной формуле для волнового уравнения (8): 1 г ге — сяг + — Щ Уо(М) Нтм (г = гмм,), (9) 4 Д) т которая часто также называется формулой Кирхгофа.
При й = О (ы = О статический случай) формула (9) переходит в основную формулу Грина (гл. 1Ч, ~ 2) для неолноролного уравнения Лапласа. 3 3. Колебания ограниченных объемов 1. Обгцая схема метода разделения переменных. Стоячие волны. Задача о колебании ограниченных объемов состоит в следующем. Найти релисние уравнения с)га(йбгад1и) — д(М) и = р(М) им, й > О, у > О, (Ц где г)1ч(й кгас1и) = — й — + — Й вЂ” + — Й— М = М(х, у, г), внутри некогпорого объема Т, ограниченного замкну- той поверхностью Х, .удовлетворяюилее дополнительным условиям и(М,О) = ~р(М), иь(М,О) = у(М) в Т+ Е, (2) и)п = О для Х > О. (3) В случае однородной среды (й = сопзг, р = сопзФ) для д = О уравнение (1) принимает вид Ьи= — ии а С задачами подобного типа мы встречаемся при изучении процесса колебаний мембраны (случай двух независимых геометрических переменных), акустических колебаний газа, электромагнитных процессов в непроводящих средах.
Особое значение имеют задачи, связанные с генерацией электромагнитных колебаний в замкнутых полых резонаторах (эндовибраторы, клистроны, магнетроны и т, д.). КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ 445 1 3) Заметим, что однородность граничного условия (3) не связана с ограничением общности. В самом деле, случай (3') и~щ =р, (где р произвольная функция точки Р поверхности Е и времени ь) легко сводится к случаю однородного граничного условия методом, который изложен в гл. П, 3 3 для одного переменного и заключается в том, что рассматривается отклонение от заданной функции.
Аналогично ставятся вторая и третья краевые задачи. Будем искать решение и(М, г) однородного уравнения (1) с условиями (2) и (3) методом разделения переменных. В дальнейшем мы ограничимся изложением формальной схемы решения. С этой целью рассмотрим основную вспомогательную задачу (ср. гл. П, ~ 3). Найти нетривиальное реисение однородного уравнения Йч(л.кгас1 и) — ои = рин в Т, 1 > 0 (й > О, р > О, д > 0), (1') удовлетворяющее однородному граничному условию и(л = О, (3) представимое в виде произведения и(М,1) = о(М) Т(1). (4) Подставляя предполагаемую форму решения (4) в (1) и разделяя, как обычно, переменные, приходим к следующим уравнениям для функций о(М) и Т(г): с11ч(лбгас1о) — уо+Лро = О, о ф 0; о)в = 0; (5) Тн+ ЛТ = О.
(6) Лля о(М) получаем задачу на собственные значения (задачу Штурма . Лиувилля). Найти те значения параметра Л, при которых сутесгввуют нетривиальные решения задачи йч(йбгас(о) — до+ Лро = 0 (й > О, д > О, р > 0), (5) о(в = О, а также найти эти решения. Такие значения параметра Л называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения ---. собственными функциями задачи (5). Остановимся подробнее на этой задаче, аналогичной основной задаче из гл. П, 3 3. В нашем случае уравнение для собственных функций представляет собой уравнение с частными производными, вследствие 446 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ.
Лс чего трудно рассчитывать на получение явного представления собственных функций для произвольной области Т. В дальнейшем (пп. 2 и 3) будут рассмотрены примеры областей Т, для которых явное представление возможно, хотя и требует введения нового класса специальных функций. Здесь мы рассмотрим общие свойства собственных функций и собственных значений и приведем формальную схему метода разделения переменных.
Перечислим зти свойства. 1. Существует счетное множество собственных значений Лз < Лз < «... Л„< .... которым соответствуют собственные функции о1(х)у: з) из(х у1х)) ..1 оп(х,у, 3),... Собственные значения Л„с возрастанием номера а неограниченно возрастают; Ло — з оо при и — з оо. 2. При д > О все собственные значения Л положительны: л„> о. 3. Собственные функции 1о„) ортогональны между собой с весом р(х, у, х) в области Т: (7) и„,(М) о„(М) р(М) Йтм = О (т ~ и), М = М(х,у,х): Йтм = Йхдудх. 4. Теорема разложи мости.
Произволвнаи функции Р(М), дважды непрерывно дифференцируелая и удовлетворяющая ераничколу условию Г=О на Х, разлагается в равнолерно и абсолютно сходящийся ряд по собствен- ныл функциил 1о„(М)); Р'(М) = ~ ~гпо„(М), л=-1 где гв - коэффициенты разложении. Доказательство свойств 1 и 4 основывается обычно на теории интегральных уравнений. Перейдем к доказательству свойств 2 и 3, не требующему специального математического аппарата. Докажем ортогональность собственных функций 1о„) (свойство 3). Пусть о„(М) и и (М) две собственные функции, соответствующие различным собственным значениям Л„и Л вЂ” й + — й + — й — дщ +Лыро =О, йа' + ~ й'ощ + ~ йди- ао +Л ри О 1 з) КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННБ1Х ОБЪЕМОВ 447 причем и„, = О и о„= О на 5. Умножая первое уравнение на и„(М) и вычитая из него второе уравнение, умноженное на и,„(М), находим 0 1и„йн(Й ягас1 и ) — и Йи(Й 8гас1 о„)) Йт + т + (Л вЂ” Л„) Яи„и„рот = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
