УМФ Тихонов (965259), страница 68
Текст из файла (страница 68)
При кратных собственных значениях линейная комбинация собственных функций также будет собственной функцией. Ее узловые линии могут иметь весьма сложную форму (рис. 7б, б). 454 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. Ч Искомое решение уравнения (10) при дополнительных условиях (1Ц (13) имеет вид и(х,у,1) = ~ ~(Ва,„соя т/Л„, „, а1+ Вш,„з1п;/Лам а1) ив ~(х,у), т=1 а=1 где ьа определяется формулой (19), а коэффициенты В„„, и В„ равны Ь, Ьз В„,„, = / / Эз(х, у) и„„,(х, у) дх ду = о о тч э, 4 пя, шя / 11 ~р(х,у)зш — х я1п удхду, ь, л, 1 Г4 Т Г п7Г изл В„=,( ~ ~ ф(х,у)з1 — хзп у1 1у. 2 о о 1 д / ди') 1 дзи 1 дзи тдт (, Дт,) т'Вдз а' Яз' (20) Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях и(г,д, 0) = 11(т,д), ( и,(, д, О) = Ь(т, д) ( (21) и граничном условии и(те,д,г) = 0 (22) (закрепленная по краям мембрана радиуса те).
Как и в случае прямоугольной мембраны, мы прибегаем к разделению переменных. Поло- жив а(т,д.,с) = и(т,д)Т(Х), мы получим уравнение для Т(1): Т" +а ЛТ= О, которое имеет решение Т = Сз соя ь/аЯЛ1+ Сз сйпз/а Л1, 3. Колебания круглой мембраны. При изучении колебаний круглой мембраны полезно перейти к полярным координатам. Тогда уравнение колебаний запишется в виде 1 з) КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ 455 и следующую задачу на собственные значения для функпии о(т, В): д / доЛ 1 арго — — (т — ~+ — +Ло=О (0<о<о,), т дт ( дт,) г' ВВг )о(О,В)! < со (условие ограниченности), о(то, 0) = 0 (граничное условие), о(т,В) = о(т,В + 2я) (условие периодичности).
о(т, В) = В(т) 0(В). Подставляя предполагаемукг форму решения в наше уравнение и производя деление на ЛО, получаем 'г ('и) Л 0 Отсюда приходим к уравнениям Оп+ дгО = О, 0(0) = 0(0+ 2я), 0'(В) = 0'(О+ 2гг), — — — + Л вЂ” ~ я=О, Л(го) = О, ! Н(0) ~ < оо. Нетривиальные периодические решения для 0(0) существуют лишь при рг = пг (и -- целое число) и имеют вид Оо(В) = Рг, соя пВ+ РгосйппВ.
Отметим, что собственному значению и принадлежат две линейно независимые собственные функции созп0 и з|п пВ. Для определения функции гг(т) мы имеем уравнение гРН 1 гЖ Г и'Л (23) с однородными граничными условиями Л(зо) = 0; !Н(0) ! < оо. (24) Функция о должна быть однозначной и дифференцируемой функцией точки;поскольку же 0 является циклической координатой,то для однозначности о мы должны потребовать, чтобы выполнялось условие периодичности с периодом 2гг,т. е. о(т,В + 2я) = о(т,В). Положим 456 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. У Таким образом, для определения функции Л(г) мы должны решить задачу о собственных значениях. Второе условие, налагаемое на функцию Л(г), представляющее условие ограниченности при г = О, связано с тем, что г = 0 является особой точкой уравнения; для особых же точек в качестве граничного условия достаточно выставить требование ограниченности (см.
Дополнение П, ч. 1). Вводя новую переменную и обозначая К(г) = Л вЂ” = д(т), ' ъ'Л/ получаем для определения функции у(х) уравнение цилиндрических функций и-го порядка (см. Дополнение П, ч. 1) (25) с дополнительными условиями у(*о) = 0 (хо = ГЛго), (у(0) ( < со. (26) Л„(ГЛго) = О, или 1„(р) = 0 (р = зГЛго).
(28) Если р„", -т-й корень уравнения 7л(р) = О., то 00 Л„ (29) Этому собственному значению принадлежит собственная функция / 00 Л„...„= у(ъ'Лг) = 7„г го (30) Отметим следующие свойства собственных функций (30) (см. Дополнение Н, ч, 1, з 2). Общее решение уравнения цилиндрических функций имеет вид у(х) = 4~ Х„(х) + <1зМп(х), (27) где 7„(х) -- функция Бесселя, М„- - функция Неймана и-го порядка (см. Дополнение П, ч. 1) . Из второго условия следует, что дз = О. Первое условие дает КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ 457 1. Собственные функции Н(г), принадлежащие различным собственным значениям Л, ортогональны с весом г: гд гй„. и (г) Н„„„(г) йг = 0 (т~ ф тз) о или (31) 2.
Квадрат нормы этих функций равен / 72 цап,1 ~0 ~У ( (Я) )~ а (31') т (о> дп~ В частности, квадрат нормы функции 7е г равен ~ го 132) (33) причем коэффициенты разложения определяются формулой (т~) ге о — ~1„(ул~,",~)~ (34) Возвращаясь к задаче о собственных значениях для круглой мембраны, получим для собственного значения 3. Всякая непрерывная в интервале (О, гз) функция 7'(г), имеющая кусочно-непрерывные первую и вторую производные и удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд: 458 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ.
Ч две собственные функции ( ОО ( го) рт Цт о„о, = 1„т совпд, до = Оа т вшпд. (35) 1, то ~, то Составив их линейную комбинацию, получим ( гаг о„,(т,д) = 1„~ т) (А„~совпд+Во,„аппд). (36) то Вычислим норму собственной функции о„; попутно получится доказательство ортогональности собственных функций, .вытекающее также из общей теории. Для упрощения вычислений ограничимся собственными функциями д„,: гл то о о г'о г'о о о О при ггг у'. -пг, О при пг =пг, тг ~пгг, — оо~дг )~ я при пг =пг =п~О и тг =пгг =гп, т[' у" Гг (37) — .7о(д~"~)! 2я при и, = пг = О и 7[' '-"' тг = тг = гп.
Аналогичные условия имеют место для функции ( гог — рм дп,т = да т вшпд. 1... Выражение для квадрата нормы можно записать в видо тг г / ог гга = о яво [~1 (р~,",~)] (гда = тсЬ ггд), (38) 2 где /~~пг.~пгопг,~пг™ М 2 при п= О,. 1 при пф.О. 460 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. я' Возвращаясь к исходной задаче колебания мембраны при заданном начальном отклонении и начальной скорости, можем написать ее решение в виде СЮ / (и) ар~ ~ и(г,О,1) = ~ оппп(т,О) ~ Апю соз 1+ Вппп з1п 1) + го го и:п=е пп ( (и) ад„, ад + ~ оп т(г,В) Сппп соя 1+ 11п п~ счп го го зьт=о Коэффициенты Ап пм В„, Сп, Х1„определяются из начальных условий и(г,О,О) = ~ (А„„бп,„+Сп„,бп,„) = (,(г,В), п,п1=0 сс (п) ис(г, О, О) = ~ ~(В ип „, + ТЛп,„,йппп) = Ыг, О) го п,т=о цо формулам зп ге / (з(г, О),7„(/Л„„, г) созлОгсЬ сИ о о Ап,т— ' е„~У„(,/Л„тД зп ге / (з(г,О) Уп (,/Лап,г) ешлВей.йО о о Сп т ягз "' „[,т„'(,ГЛ„..)~ Аналогичные формулы имеют место для а „/Л„м Вппп и, соответственно, для а зуЛ„„, Вп,пз.
ЗАЛАЧИК ГЛАВЕ я' 1. Решить задачу с начальными данными для уравнения колебаний им = а Ьп в пространстве, предполагая, что начальная скорость всюду рав- 2 на нулю, а начальные отклонения ий — О = Ю имеют вид (1 внутри единичной сферы, ) 0 вне единичной сферы 1. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 461 или Асов — г внутри сферы радиуса го, б) р= 2го О вне сферы радиуса го.
2. Решить задачу о колебании полупространства г ) О при однородном граничном условии первого или второго рода, если заданы: а) локальное возмущение, т. е. начальная скорость и начальное отклонение в некоторой области То; б) сосредоточенная сила, действующая по произвольному закону. 3. Решить задачу 2 для слоя — 1 ( я ( 1. 4. Решить уравнение колебаний в области, представляющей собой клин, угол раствора которого равен х/2 и вообще х/гз 1п — — целое число), если заданы однородные граничные условия первого или второго рода, а также начальная скорость и начальное отклонение. 5. Вывести аналог интегральной формулы ГЗ) из 1 2 для уравнения шз =а Ьитси, где с=солей 2 Рассмотреть случай с ( О и найти решение задачи с начальными данными для неоднородного уравнения.
Дать физическую интерпретацию получен- ных результатов. 6. Найти функцию и(р, зз,1), характеризующую колебания мембраны под действием импульса К, сосредоточенного а) в центре круглой мембраны, б)в произвольной точкекруглой мембраны, в)в произвольной точке прямоугольной мембраны. 7. Найти собственные частоты и собственные функции мембран,.име- ющих форму: а)полукруга, б) кольца,. в) кругового сектора, г) кольцевого сектора.
Рассмотреть первую и вторую краевые задачи. 8. Найти установившиеся колебания круглой мембраны (мембраны ми- крофона) под действием периодической силы, распределенной по мембране с постоянной плотностью 1 = Асбпь й Решить ту же задачу, если 1 = А11— — г )с ) зш ый где с -- радиус мембраны.
9. Вывести уравнение распространения звука в среде, движущейся с постоянной скоростью. Преобразовать полученное уравнение, перейти к си- стеме координат, движущейся вместе со срелой. ПРИЛОхКЕНИЯ К ГЛАВЕ У 1. Приведение уравнений теории упругости к уравнениям колебаний Теория упругости ставит своей целью изучение возникающих в упругих телах деформаций и движений при помощи математических 462 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч методов. Возникающие под действием внешних сил деформации и движения можно характеризовать с помощью вектора смещений и, проекции которого на координатные оси и, у, э будем обозначать и(т,у,з,с), в(х,у,з,с), ш(х,у,з,1).
Эти смещения возникают в упругом теле под действием внутренних сил (напряжений), которые образуют симметрический тензор напряжений тэх сакэ т„, где п„т,ю т, составляющие силы (напряжения), действующей на Единицу площади поверхностного элемента, перпендикулярного к оси т; аналогично т„,, сгю т„, и т„, т.„, сг, компоненты напряжений, действующих на единицу площади поверхностных элементов, перпендикулярных к осям у и ю Компоненты п„пкг и. называют нормальными напряжениями, а т.,„, т,, и т. д. называют скалывающими напряжениями. Рассматривая элемент объема и составляя для него уравнение движения, получаем дсг, дт„дт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
