УМФ Тихонов (965259), страница 70
Текст из файла (страница 70)
ЬА —— 3 сз д1з с (24) где р и з — плотности заданных зарядов и токов. Подставляя выражения (20) и (21) в уравнение (1) 1 дЕ 4к. гогН = — — + — 1 сд1 с и пользуясь векторным тождеством го1 го1 А = Егас1 с1ги А — ЬА, будем иметь 1 дсрзс 1 дзА 4я . кгас1 с11гА+ — — ) — ЬА = — — + — З, с д1) с' д1з с откуда в силу условия (22) и следует уравнение (24). Подставляя затем выражение (21) в четвертое уравнение Максвелла с11чЕ = 4яр 1 дА т. е. вектор Е + — — является потенциальным и потому может быть с дг представлен в виде градиента некоторой скалярной функции ~р; 470 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч и учитывая условие (22), получаем уравнение (23) для ~р.
В случае однородной проводящей среды (и у. -0) потенциалы вводятся с помощью соотношений 1 дА В = гоФА, Е = — 8габу — — —. с д1 (25) А и у связаны между собой соотношением ед дд 4ядп 61г А + — — + ~р = 0 с дг с (26) и удовлетворяют уравнениям гр дзА 4трп дА 4яр . сз д1з сз д1 с (27) ед дзу сз д1з 4хра ду 4яр (28) д1 йтА = О. В ряде случаев электромагнитные поля можно описывать с помощью векторного потенциала, у которого отлична от нуля лишь одна компонента. Некоторые из примеров будут рассмотрены в дальнейшем (см.
также Приложение! к гл. ЧП), 3. Электромагнитное поле осциллятора. 1. В теории излучения электромагнитных волн часто пользуются понятием осциллятора или вибратора. Это понятие тесно связано с представлением о линейных токах. Осциллятор представляет собой линейный ток бесконечно малой длины. Рассмотрим прямолинейный ток Л, сила которого меняется во времени. В простейшей модели предполагается, что сила тока неизменна по длине проводника. Ток, постоянный по длине проводника, связан с наличием на его концах зарядов., меняющихся во времени.
По аналогии с электростатическим диполем, представляющим совокупность двух зарядов +е и — е, осциллятор можно характеризовать моментом р(1) = е(1)1. Сила тока в осцилляторе, очевидно, равна (20) э'(1) = с(1), к которым относится все сказанное выше по поводу уравнений (23) и (24) . Если свободных зарядов нет (р = 0), то потенциал р = 0 и векторы поля выражаются через один вектор-потенциал А, удовлетворяющий дополнительному условию П.
УРАВНКНИЯ ЭЛККТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 471 так что (30) Произведение 1(1)1 = Ле(1) называют моментом тока. 2. Найдем электрическое поле, возбуждаемое осциллятором с мо- ментом (31) р = р0111) в неограниченном пространстве, предполагая, что а = О, е = 1, р = 1 (вакуум) . Рассмотрим задачу о возбуждении электромагнитного поля прямолинейным током ь, предельным случаем которого является осциллятор. Вне тока Х электромагнитное поле определяется из уравнений Максвелла 1 дЕ го1Н = — —, сд1' 41нН= О, (32) 1 дН го1Е = — — —, с д1 г11нЕ = О.
На линии тока Ь векторы поля Н и Е должны иметь особенность, ха- рактеризующуюся тем, что циркуляция по бесконечно малой окруж- ности К„охватывающей линию тока ь, имеет следующее значение; 4х 1пп зэ Н,сЬ= — 1, г — ~0,/ с К. (33) где 1 =,7ф . —. сила тока. Из этого условия следует, что составляющая Н, на токе имеет особенность типа 21 Н ср (34) 1 дА Е = — — — — 8гаг1~р, с д1 Н = гогА (35) где р = ~МеР~ (Ме точканалинии ь, Р точканаК, (при р= е)).
Пля однозначного определения поля надо добавить начальные условия, которые мы предполагаем нулевыми. Пля решения этой задачи целесообразно ввести потенциалы А и р, через которые, как мы видели (см. с. 468), поля выражаются следующим образом: 472 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч причем 1 д~р с11ч А+ — — = О. с д1 (36) Векторный потенциал вне тока Ь удовлетворяет однородному уравне- нию колебаний дЯА ДА — " д1з — — О. (37) Введем декартову систему координат, направив ось г вдоль тока 1. Положим А = А(х.у,г) хо, ДА-1 д А О. сз д1з (38) Чтобы выяснить особенность вектора А на токе, воспользуемся усло- вием (34). Из уравнения (36) следует, что дА Н„= —. др Пользуясь далее условием (34), находим, что функция А(х, у, з) должна в точках линии Ь иметь особенность вида 2,7 А - — 1пр.
с (39) Будем искать потенциал А в виде А(Р1) = ~А1(Р,М,1)61м (Р=Р(х,у,з)), (40) где Ао(Р, М,1) = А1(Р, М,1) д1м вектор-потенциал элементарного тока осциллятора, момент которого равен Ло = 741. Для того чтобы потенциал А имел нужную особенность, функция Ао(Р, М, 1) должна иметь особенность вида Ао(Р,М 1)— СГСРЗГ (41) В самом деле, предполагая, что Ао имеет указанную особенность, и вычисляя по формуле (40) значение А вблизи тока Ь (О < х < 1), полу- где х - единичный вектор оси ю Функция А(х, у, х), очевидно, удовлетворяет вне линии тока 7, однородному уравнени1о колебаний П. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 473 чаем А 1 НГ=— 1 1/ дГ о о с о с я+ /~г~ ~зя (1 — з) — 1+ 1+ +... 2 (1 — з)з = — 1п = — 1пр+ ..
с /р2 + яз где точками обозначены члены, не обращающиеся в бесконечность при Р=О. 3. Таким образом, функция Ао(Р, ЛХ, 1) должна удовлетворять по переменным Р~:с, у, з), 1 уравнению колебаний 1 дзАо ЬАо —— сз д1з (42) 3~(С) Ао СпМР (43) Начальные условия в силу сказанного выше —. нулевые. Решение этой задачи, как мы видели в гл. Ч, представляется в виде запаздывающего потенциала Ло(1 — Нмг(с) сдмг (44) Как было отмечено выше, момент тока ровен 3о(г) = Ю(1) п1 = —, = Роу(г). (45) Таким образом, вектор-потенциал осциллятора можно также предста- вить в виде о роу(1 — г(с) Ао = сг (46) Часто вместо вектора-потенциала пользуются поляризационным потенциалом, или вектором Герца П, полагая 1 дП с д1 (47) всюду, кроме точки М, а в этой точке она должна иметь особенность вида ПРИЛОтККНИЯ К ГЛАВЕ У Вектор П также удовлетворяет уравнению лп 1дП 0 гд д12 и связан со скалярным потенциалом соотношением зз = — Йгп.
(48) (49) Векторы поля Е и Н выражаются через поляризационный потенциал с помощью формул дзП Е = 8гас1 г11н П вЂ” — = гос гос П, (50) сз По = По соз д1„— По я1п д1ш и =~п ~. (53) Подставляя выражение (53) в формулы (50) и (51), пользуясь выраже- нием дифференциального оператора гоФ Е в сферической системе коор- динат ~ д дГе). гоФЕ =, ~ — (з1пдРи) —, ~ 1, + тзшд '1дд дзз ~ 1~ 1 дК„д 1. 1~д „дР). + — ~, — —, гтги) 1е+ — ~ — ~ттз) — ~ й„, '1япд ду дт ~ т ~1дт дд ~ и учитывая, что Пе = Пе(т, Г), получаем 2созд дПо т дт (54) япд д / дПе'1 ~д = — т дт~, д~(' дП Н = — гоз (51) с дг Учитывая соотношение (46), получаем следующее выражение поляризационного потенциала для осциллятора: Реу(г — т/с) Р(1 — т(с) т т Рис. 77 (52) 4. Пля вычисления полей Е и Н перейдем к сферической системе координат (т, д, у), в начале координат которой поместим осцнллятор и направим ось з (д = О) вдоль вектора ре (рис.
77). Обозначим через 1„, 1ш 1, единичные векторы сферической системы координат. Вектор Пе, параллельный вектору р, может быть представлен в виде П. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 475 Н„=О, Н =О, 1 ДзПо Н, = — япд— с дгд1 (55) Из уравнений (54) и (55) следует, что электрическое и магнитное поля осциллятора взаимно перпендикулярны. 5. Рассмотрим частный случай, когда момент диполя периодически зависит от времени: р(1) = рос ' В этом случае формулы (54) и (55) дают ,г 1 1й'1 Е„= 2созд [ — — — ] По, [гз г) Ео = яп д [ — — — — й ) По 1;гз г ) с (56) 11 Н = гйяпд гй — — ) По, где мг По =ро е T (57) Ео = Н„= — йз яп дПо, (58) Е„= О, т. е.
поле становится поперечным относительно направления распространения. Такие удаленные области поля, где поле излучения становится поперечным, называются волновой зоной осциллятора. Чтобы подсчитать поток энергии через поверхность сферы радиуса Н с центром в осцилляторе, надо вычислить вектор Умова - Пойн- тинга Н = — ] [ЕН]] = — ЕН 4я 4я и проинтегрировать это выражение по сфере. Исходя из формул (56), легко установить особенности строения поля осциллятора. На расстояниях, малых по сравнению с длиной волны Л = = 2ягг1г (йг « 1), в формулах (56) можно ограничиться одним членом. Получающиеся при этом формулы для напряженности электрического поля соответствуют полю статического диполя, электрический момент которого р равен мгновенному значению момента осциллятора р(1). Для напряженности магнитного поля получается выражение, соответствующее закону Био и Савара.
На больших расстояниях от диполя Н» Л (кг» 1) в формуле (56) можно пренебречь всеми членами более высокого порядка чем 1гг. При этом получим 476 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч Из формул 157) и (58) следует, что в волновой зоне вещественная часть векторов Нт и Ео определяется выражением ыг сйпд т Ни = Ео = — ро совы ~г — -), с г с откуда Роо2 з1н д г ( ") 2 4 . 2 о'= соз ы 4я ггсо с Поток энергии через сферу радиуса Н за время одного полного периода Т = 2к/о2 будет определяться выражением Т и 2я т Х = — 1 сй ~ ~ ЯН з1пдддд2р = — ~1 соз о2 ~ 2 — — ) д1 2ргы41 / 2 9' Ю Т1 // Зсз Т/ ~, с( о о о или г роы 3сз Энергия, излучаемая гармоническим осциллятором, пропорциональна четвертой степени частоты: Х о2 4 или 1 Х А4 ' где Л длина волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
