УМФ Тихонов (965259), страница 73
Текст из файла (страница 73)
11, З 3) 494 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ 1ГЛ. Ч1 хотя все изложенное ниже может быть перенесено на случай многих переменных. Рассмотрим область ВАЕР 1рис. 78), ограниченную характеристиками АВ и ЕР 11 = сопзФ) и кривыми, определяемыми уравнсниями х = угу (для АЕ) х = Х211) 1для ВР). Первая краевая задача для этой области состоит в определении решения уравнения теплопроводности (1), удовлетворяюшего начальному и граничным условиям и = (р1х) на АВ, и~х=х)(з) = Рг((1) и~я хНО = РгФ.1( Из принципа максимального значения непосредственно следует, что эта задача не может иметь более одного непрерывного решения.
Аналогично могут быть поставлены и другие краевые задачи. Установим формулу Грина для уравнения (1) и интегральное представление решений этой задачи. Рассмотрим оператор М(е) = а где де дхг дг ' интегрируя выражение (РС М вЂ” рМ)э))) = 1()лр — (эФ.
)* — 1, рф) по некоторой области РАВ1) (рис. 78), где у)(х,г) н фр(х,г) произвольные, достаточное число раз дифференцируемые функции, и пользуясь формулой Грина, получаем где правый интеграл берется по замкнутому контуру РАНО.. Если ь1(р) = О и М((()) = О, то, преобразуя правую часть, получаем у)О)()х = / у))))()х+ ~ ~(рф()х+а ) (1) — — у) — ) Я~в дээ д(рз дх дх) Рс) лв вс) — ~ ~~рб)(1х -г а (й — — г) — ) (11~ . 14) АР Пусть (р(х, 1) = и(х) 1) какое-либо решение уравнения теплопроводности ь1и) = О, а ()) = Со1х,й~,т) функция источника для этого уравнения на неограниченной прямой, равная (5) З 8) ВЬПЬЧИ ППЯ ОВПЬС'гйй С ПОППИНС(т11ЫЬ4И РРЬПИПЬМР1 4ОО часто называемая фундаментальным решением уравнения теплопроводности.
Функция Со(х,(,4,г) удовлетворяет уравнению ь(Со) = О по переменным х, ( и сопряженному уравнению М(Со) = О по переменным 4, т. Пусть ЛХ(х,() некоторая фиксированная точка внутри области ВАЕР, в которой мы хотим определить значение функции и(х, (), а ЬХ( точка с координатами (х)(+ Ь), где Ь > О. Проводя через точку М характеристику РС, заменяя в формуле (4) т на 4) ( на т и применяя (4) затем к области АВАР (рис. 78) н функпиям (р = и(с,т) и 4)(с,т) = Со(х)(+ Ь)4)т)) (6) будем иметь ( — Оз РАВ(7 Переходя к пределу при Ь вЂ” ) О и учитывая непрерывность по Ь функции Со(х, (+ Ь,4, т) и дСо()д4 на РАВЯ, а также равенство (е ()2 Ре 4-Ь 1цп / и((с,()((4 = и(х,() ( о / 24('яозЬ РЯ (8) (см.
гл. П1, 8 3.), если (х) () лежит на отрезке РЯ, получаем основную инто- гральную формулу и(х,() = / и(з т) Со(х (,4~т)((ь 4- / а 1 Со д — и д ) ((г, (9) ди дСо 2( ВИТРА РАВЯ дающую представление произвольных решений уравнония теплопроводно- сти. Перепишем ее еще раз более подробно: ( -О~ ( — Оз 4(т((- ( д„ вЂ” ' ((г— 24 (Е- ) 2( 4 З(2— .(., ) = )' ' , ° (Ь Е 4( + ° ' 2 ( — ) 2 ВС(тРА ( — О д е 4 т((в — ((,.),— ", 4.. (2') 2( 2 (( — ) В(З+РА Эта формула не дает решений краевых задач, так как для вычисления пра- вой части надо знать значения не только и, но и ди((д4 вдоль дуг АЕ и ВР. к,(м = Г"" 2 4(к)созЬ РЯ и((с)т) Се((х)(+ Ь)с,т)((с+ а ~Со — — и ) ((т . ((7) з ( ди дСо'( 496 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ (ГЛ.
Ч1 При помощи преобразования, подобного тому, которое было выполнено для уравнения Лапласа при введении функции источника, можно исключить из этой формулы ди/дб. Пусть о -- какое-либо решение сопряженного уравнения М(е) = О, обращающееся в нуль на РО., и и решение уравнения теплопроводности Л(и) = О. Применив формулу (4) к функциям о и и для области РАВС, получим ) (.ке.~ея ° .— —.— '~). ,) д. д.~ дс дс у) (10) РАВО Вычитая из (9) равенство (10), будем иметь .э.)= )' ~.к,еээ,ч,.я ° (а — —.— )~.). эс , Г дп дС'1 [, д4 д4( РАВЯ где С(х,1,~.,т) = Со(х,1,4,т) — е.
(12) Если функцию о выбрать так, чтобы С=О на РА и ВС, то получим интегральное представление для и(х,1)ввиде и(х,с) = / и(С,т) С(х,Н4,г) ~Ц А-а / и — дт — а / и — йт. (13) I дС з / дС д~ / д4 Формула (13) дает решение краевой задачи (1) (2), в условиях которой задаются значения функции и на АР и ВО, а также на прямой АВ. Остановимся подробнее на рассмотрении функции С. Она определяется при помощи прелставления (12)., где функция о(4, т) характеризуется следующими условиями: 1) о(4, г) определена в области РАНО и для т < 1 удовлетворяет сопряженному уравнению М(е) = 0; 2) е = 0 на РО., т. е.
при т = Н 3) о(С, г) = — Со(х, Н 4, т) на РА и ЯВ. В силу этик условий функция е зависит от параметров х, Н так что о = е(х, Н 4., т), и для ее определения надо решить краевую задачу для уравнения М(о) = О, которая эквивалентна решению краевой задачи типа (2) для уравнения ь(и) = О, в чем легко убедиться изменением знака у т. Таким образом, при представлении функции и(х, 1) с помощью формулы (1Ц, дающей решение краевой задачи (2), основная трудность заключается в нахождении функции о(х, 1, 4, г). Рассмотрим функцию 6(х, Н б, т), определяемую условиями: 1) О(х,1,4, т) определена в области РАВЯ для 1 ) т и как функция переменных х., 1 удовлетворяет уравнению теплопроводности Л(о) = 0:, 2) О = 0 на АВ, т.
е. при 1 = т: 3) О= — СонаАРиВО. Покажем, что о(т,$,4, т) = 0(х,й4,т). ~ 3) ЗАЛАЧИ ДЛЯ ОВЛАСТЕй С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ 497 Рассмотрим функцию С(х,1,4, т) = Со + б. Очевидно, что для любого решения и уравнения М(и) = О имеет место формула, аналогичная (9): г с' дСо дий О(4,.т) = ~ иСойх А-а (и — Со — ) <й, д. дтпл' ' (9о) ВЕДРА а также формула, аналогичная (13): и(4,т) = й1 ОСйх -Ь а ~ б — йс — а й1 и йй (13 ) /' —, )' дС, /' дСо дх / дх АР С(х,й4,т) = д~ С(х',В,б,т) С(х,йх',В) йх', так как интегралы по зсР и Яв' в силу ) славия 3 равны нулю.
Применяя аналогично формулу (13 ) к области АВИВ и непрерывному в этой области решению и(4, т) = С(х,1, 4, т) уравнения М(и) = О, получаем С(х,й,4,т) = / С(х,с,х',В) С(х',В,(,т) йх', так как интегралы по ВЯ и АЛ равны нулю. Сравнение этих формул показывает, что С(х, йс,т) = С(х.,с,4, т). Из этого равенства следует, что функция С, рассматриваемая как функция х, с, имеот при 1 = т и х = б особенность, характерную для функции источника, равна нулю при С = т и х ф С, удовлетворяет уравнению В с(С) = О внутри АРОВ и обращается в нуль на АР и ВО. '1'акую функцию Рис.
79 естественно назвать функцией влияния точечного источника для уравнения теплонроводностив области АРОВ. Итак, любое решение уравнения теплопроводности может быть представлено формулой (13) при помощи функции испсочника. Если задано неоднородное уравнение ь(и) = 1(х, С), то в формуле (13) к правой части следует прибавить слагаемое / с(х, с, 4, т) 1'(4, т) й4 йт.
32 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский Эти формулы могут быть получены из формул (9) и (13) изменением знака у т, так как при этом уравноние М = О переходит в уравнонис б = О. Применяя формулу (13) к области РьсБК (рис. 79), где ЛЯ - отрезок прямой, соответствующий ординате В, (1 ) В ) т), и к непрерывному в этой области решению и(х,с) = С(х,1,4, В) уравнения б(и) = О, получим 2. Решение краевой задачи. Полученная выше формула (13) дает решение краевой задачи для ограниченного отрезка с подвижными концами. Если же концы отрезка АВ неподвижны, то дуги АЕ и ВЕ заменяются отрезками прямых, параллельных оси й Область Я в этом случае имеет вид прямоугольника со сторонами, параллельными координатным осям. Из обшей формулы (11) можно предельным переходом получить формулу Пуассона, дагопгую решение уравнения теплопронодности с заданным начальным условием на бесконечной прямой.
Предположим, что в части полосы, ограниченной двумя характеристиками 1 = 0 и 1 = б, проходяшими через точки А и Е (рис. 80)д функции 'и и иг удовлетворяют неравенствам )44(и,г)) е я < Аг А и (А) ди Кг — е ' <Адд Рис. 80 дт где К > 0 и Х > 0 - некоторые числа. Заменим дугу Вс1 отрезком прямой т = 1, где 1 положительное число, которое в дальнейшем будем неограниченно увеличивать. При этом мы будем исходить из формулы (9)д которую перепишем в виде 2 до т — Зд 4*,4= 1 )~44,444+.' — .— к,о д4 ' 2(à — т) РАВ42 Рассмотрим интеграл по отрезку ВЯ 1 -гН вЂ” ~.
)' ') .(1,) Вг2 =~ (1 '" /', ' ди е 4«' 14 — 4 4- -14:.~ < 1),Ь~ддг...д д( — о д ' 4 / ч — е( — о о о = 12 4-12 и покажем, что он стремится к нулю прн 1 — г оо. Оценим интеграл 14 при больших значениях 1: ~12~ < е ге гд/ ~если я< — и П вЂ” т) <д). 2 зд'яог / зддà — т 1 2 о Очевидно, что ~14) -4 0 при 1 4 оо, так как К- может быть выбрано как угодно малым числом, 1 К< 1багб фиксированное число, а б например так, что 498 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ 1ГЛ. Ч1 ~ 3) ЗАЛАЧИ ДЛЯ ОВЛАСтЕй С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ 499 Аналогично доказывается, что (1з) — ( О при 1 — «сю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
