УМФ Тихонов (965259), страница 76
Текст из файла (страница 76)
При разрыве снаряда выделяется некотороо количество дыма 63, который распространяется во все стороны, образуя облако. Облако сначала растет, затем оно светлеет по краям, его темная непрозрачная часть уменьшается, все облако светлеет, начинает «таять» и, наконец, исчезает. Эта картина особенно отчетливо видна в ясный день на фоне голубого неба. Процесс распространения дымового облака можно трактовать как процесс диффузии дыма. от мгновенного точечного источника мощности 11 в неограниченном пространстве. Такой процесс диффузии носит не молекулярный, а турбулентный характер; ему соответствует некоторый эффективный коэффициент турбулентной диффузии ьэ. Мы не учитываем здесь начальный разброс дыма, а также практически совершенно несущественное влияние земли. В этих предположениях концентрация дыма дается формулой и(т,у,к,1) = Я ) е зш (Р = аз), 1,2 АЖ если начало координат поместить в точку разрыва снаряда.
Остановимся на вопросе о видимости облака. Время, за которое облако полностью «растает», зависит от поглощения света в атмосфере и от порога чувствительности измерительного прибора (глаз, фотопленка и т, д.). Как известно, интенсивность света, проходящего через однородные слои газа, приближенно равна 1 =1ое где 1е первоначальная интенсивность света,а = аеи коэффициент поглощения, пропорциональный концентрации поглощающего газа (ае — — сопз1, и .- концентрация газа в слое), 1 -- толщина слоя. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч1 1 е — иоьггг е — поггЬ 1ое — ио)иггг+ыгг) Отсюда ясно, что интенсивность света, проходящего через облако с не- прерывно меняющейся концентрацией дыма, будет определяться фор- мулой Видимость облака определяется отношением 1гг1о, зависящим от величины ) исУ.
Пусть б порог чувствительности инструмента наблюдения; тогда при 1о — 1 <б, облако становится невидимым; при 1 или — > 1 — б, 1о 1о — 1 1 >1 — б, или — <б, 1о облако кажется совершенно непрозрачным. Если 1 ᫠— 1 — б, 1о то облако кажется наблюдателю частично прозрачным. Степень про- зрачности зависит от величины отношения т. е. от величины интеграла ) и г11. Направим теперь ось я по лучу зрения и будем считать,что наблюдатель находится в бесконечности. При атом облако проектируется на плоскость (и, у) .
Для оценки видимости различных участков облака, соответствующих точкам (и, у), вычислим интеграл ьг з ий= / и(х,у,я,1)г1з=гЗ ) / е гш г1з= ),2 ъгх1)1~ 2 зг%Ъ7 Если количество дыма по лучу зрения малб: игУ < —, оо ' Если имеется два слоя толщины 1г и 1г с разными концентрациями газа иг и иг, то 1. ЛИ4 ГРУЗИИ ОВЛАКА 513 то 1/1о > 1 — б и соответствующий участок полностью прозрачен. Если количество дыма по лучу зрения велико: Ь иЖ > —, ао то 1/1о < е д = б, т. е.
пРи надлежащелс выбоРе Ь = 1п(1/б) соответствующий участок облака совершенно непрозрачен. При б 1 — < / иб1<— ао ао условие ао / исП = б, или 2 аос1) е сиз = б (р = т~+ д~), 'л 2;IяР1 определяет границу облака, за пределами которой оно становится не- о ла Рис. 81 видимым. Радиус облака, очевидно, равен (рис. 81) б 4яР1 р = 2 — Ро 1п т При малых значениях 1 радиус облака р мал и растет вместе с 1; при г = ло = аос1 йяебР р достигает максимума: — ась Ртах = 2 хх'Р1о = ~/ Ч яеб ' при 1 > 1о радиус облака р уменьшается и при ск'ао б4иР обращается в нуль (облако исчезает).
33 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1г1 Наблюдая процесс расплывания облака, можно определить коэффициент турбулентной диффузии Р в свободной атмосфере (например, из формулы для гз или для 1э). 11. О размагничивании цилиндра с обмоткой Рассмотрим задачу о размагничивании цилиндра с обмоткой. Такая задача возникает в связи с теорией баллистического гальваномет- ран. При включении или выключении магнитного поля в обмотке возникает индукционный ток. При точной постановке задачи нужно учитывать обратное воздействие этого тока на поле внутри цилиндра.
Однако тормозящее действие обмотки обычно не учитывается и задачу решают с упрощенными граничными условиями. Познакомимся, прежде всего, с такой упрощенной постановкой задачи. Рассмотрим бесконечный цилиндр радиуса Н, на поверхности которого намотана проводящая обмотка. Цилиндр находится в однородном магнитном поле Нс, параллельном оси цилиндра Ож В момент 1 = 0 поле выключается. Внутри цилиндра, очевидно, будет удовлетворяться уравнение где ,г 2 а 4хдп В силу осевой симметрии поля Нэ = Н(г,1) и уравнение (1) может быть переписано в виде дзН 1дН 1 дН дгз т дг аз д1 Если пренебречь влиянием индукционного тока в обмотке на процесс размагничивания цилиндра, граничное условие на его поверхности будет иметь вид (2) Н(Н,1) = 0 (1) 0). При 1 = 0 Н(г, 0) = Нэ.
(2') 0 Введенский Б. А. Токи Фуко при анериодических процессах в железе; поверхностный эффект 0 Журн. Рус. физ.-хим. о-ва. 1923. Т. 55, Х 1.-3. С. 1-12. Н. О РАЗМАГНИЧИВАНИИ ЦИЛИНДРА С ОБМОТКОЙ 515 Решение уравнения (1') при граничном условии (2) без труда получается методом разделения переменных (см. с, 490): (о)з з в=1 рь .71 (/лл ) Здесь ле и 1л функции Бесселя нулевого и первого порядка, р <о> К-й корень уравнения Н(г,1) = 1:60 Нее ' гР Ус (2,4 — ) . — 577- — л л (5) Отсюда для потока индукции получаем Ф(1) = 2я (' ИН|г,1) гсЬ = — Фее о (6) где Фс .
начальный поток (при 1 = О), .ллл — — р, 50 Формулой (6) пользуются для практических расчетов при измерениях с помощью баллистического гальванометра. Чтобы определить область применимости этой формулы, следует решить указанную выше задачу, учитывая тормозящее действие обмо ки~~. Электродвижущая сила индукции в контуре (витке) Т, как известно, равна Преобразуем контурный интеграл, используя для этой цели теорему Стокса, второе уравнение Максвелла и уравнение (1): 5„„л = Огос.-ЕдЯ= — — ~~ л1Н = ~~ АН4Н ~ 41, 0 Эта задача была решена В. Н.
Никитиной. 33* Уо(р) = 0 (4) Так как аз весьма велико, то для достаточно больших 1 можно ограничиться в формуле (3) первым членом (регулярный режим); 516 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ Лг1 или (7) Н(Н вЂ” 0,1) — Н(Н+ 0,1) = — пЯ, 4к с где / индукционный ток в обмотке, и число витков на единицу длины цилиндра. Отсюда, учитывая, что Н(Н+ 0,1) = О, бддд р1 где р --- линейное сопротивление обмотки, 1 -- длина одного витка, получаем Н(Й,1) = Н(Н вЂ” 0,1) = — п (8) с р1 Сопоставляя соотношения (7) и (8), окончательно приходим к граничному условию Н(Н,1) + — Нг(Н,1) = О. ргг Таким образом, мы должны решить уравнение 1 1 Н„, + — Н„= — Н, т аз (9) при дополнительных условиях Н('г, 0) = Нс, Н(Н,1) + оНг(Й,1) = 0 о = — ~ . рп/ Решение будем искать методом разделения переменных, полагая Н(т,1) = Х(т) Т(1).
Для функций Х(т) и Т(1) получим условия Х" + — Х'+ЛзХ = О; т (10) Х(Н) + оХ'(Н) = 0 (Х(0) < со), Т'+Л а Т=О, Здесь Н поперечное сечение цилиндра, Т контур, ограничивающий о', и — - нормаль к контуру Ь. Граничные условия на поверхности цилиндра запишутся в виде условия скачка поля Н. О РАЗМАГНИЧИВАНИИ ЦИЛИНДРА С ОБМОТКОЙ 517 где Лз параметр разделения. Из второго уравнения сразу же находим у(с) — а л с Частными решениями уравнения (10) являются функции,Уо(Лг) и Ало(Лг) (см.
Дополнение П, ч. 1), однако условию ограниченности при г = 0 удовлетворяет лишь,Уо(Лг). Поэтому Х(г) = А Уо(Лг). Граничное условие при г = Н дает уравнение для определения соб- ственных значений или Уо(у) — сЗУ,Ул(у) = О, (12) где Д = а,сГс, у = ЛН. Корни этого уравнения могут быть найдены либо графически, либо разложением функций Бесселя в ряд по степеням у = ЛН. Обозначим через ул корни уравнения (12), так что Л =у 1Н. Общее решение нашей задачи будет иметь вид Н(г;1) = ~~', Ал: Уо (ул — ) е л"лцдс " '. Н с=1 (13) Коэффициенты Ал находим из начального условия Но Уо (г — ) гс(г А о ( Уо (г Н) """ о (14) 2НоЛл(ул) ус. [ Уо(ул) + Ул (ул)) 2Ноул(ул) Ло(улгУРл) — о," „с с (у.'( .) ~( .)) ' (15) Члены ряда (13) быстро убывают, так как аз = сзсс4хулп велико ( 10лз 10лл). Поэтому с достаточной степенью точности можно ограничиться первым членом 518 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч1 что приводит к следующему выражению для потока: 4 1Я(У,) яг Ы , Ф(1) кт Фо 2 (уз( ) 72( )) е Ы (16) где Фо = МНояП~ (Х полное число витков в обмотке).
Расчеты приводят к следующим формулам потока для различных значений параметра Д: Ф(1) = 0,804Ф е 4тов при Д = 0,1, 0,872 Фое з ов в при Д = 0.2, 0,912 Фее -з,зов при Д = 0.3, а 6 — — 1, Ф(1) = аФое Из сравнения полного решения (16) с грубым решением (6) видно, что коэффициент в формуле (6) завышен. Это означает завышенное значение чувствительности прибора при одном и том же значении т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
