УМФ Тихонов (965259), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Приведенная ниже таблица содержит значения т для различных Д, в том числе и для 13 = О, при у = 10 позволяющим проследить за тормозящим действием тока на спадание поля в цилиндре. С увеличением Д, т. е, с увеличением тока в обмотке, скорость убывания потока уменьшается. При Д = 0 естественно приходим к выражению (6) для потока, являющемуся, таким образом, нулевым приближением.
В теории баллистического гальванометра важно знать время т спадания потока от Фо до значений., определяемых чувствительностью гальванометра, которое характеризует инерционность прибора. Пусть 7 относительная чувствительность гальванометра, т. с. гальванометр может регистрировать лишь значения Ф ) 7Фо. Величину т, очевидно, можно найти, полагая Ф = 7Фо в момент 1 = т в формуле ГЛАВА УП УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИг4ЕСЫОГО ХИПА (продолжение) $1.
Основные задачи, приводяшие к уравнению Ли+ си = 0 Рассмотрим в качестве примера мембрану о, закрепленную по границе С и колеблющуюся под действием периодических во времени сил. Соответствующее уравнение имеет вид 1 Азп = — Йм — Ее(г, у) соз йlй оя (2) При изучении периодических процессов удобно пользоваться комплекс- ными функциями, заменяя (2) уравнением Аза = — з он йо(и, У) е' (3) Функция и, очевидно, является вещественной частью функции и из (3). Будем искать установившиеся колебания, имеющие вид и=ее'". Для амплитуды установившихся колебаний и получаем следующее уравнение: (5) к которому надо добавить граничное условие е)о =О.
(6) 1. 'Установившиеся колебания. Весьма широкий класс вопросов, связанных с установившимися колебаниями (механическими, акустическими, электромагнитными и т. д.), приводит к так называемому волновому уравнению Ьп + к~п = 0 (й~ = с > О). (1) 520 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) [ГЛ. ЧП Если контур мембраны С не закреплен, а совершает периодические колебания с той же частотой ы, и]с = 7о е' ', [б') то для функции о на контуре С имеет место неоднородное граничное условие о ]с = уо. [бо) Как было уже отмечено выше, задачи об установившихся колебаниях характерны также для акустики и теории электромагнитного поля. Кроме того, часто встречаются зада~и об установившихся колебаниях в неоднородной среде, в частности в кусочно-однородной среде (когда, например,в пространстве имеются отдельные области, нарушающие однородность).
К этому кругу вопросов относятся задачи теории дифракции, на которых мы остановимся ниже. 2. Диффузия газа при наличии распада и при цепных реакциях. При диффузии некоторых газов (например, эманации радия) происходит реакция распада молекул диффундирующего газа. Скорость реакции распада обычно принимают пропорциональной концентрации газа. При написании уравнения диффузии это эквивалентно наличию отрицательных источников газа. В случае стационарного процесса диффузии мы приходим к уравнению РЬо+со= О [с(0), (7) где Р коэффициент диффузии. Как было указано в гл. Ч1, З 2, п. 3, большой интерес представляет случай с > О, соответствующий диффузии при наличии цепных реакций, ведущих к размножению диффундирующих частиц.
В стационарном случае мы получаем при этом уравнение Ьо + со = 0 [с > 0), так как цепная реакция эквивалентна наличию источников диффундирующего вещества, пропорциональных концентрации о[х,. у, х). 3. Диффузия в движугцейся среде. В гл. 1Ч была рассмотрена задача о диффузии газа в неподвижной среде. Рассмотрим задачу о диффузии газа в заданном стационарном потоке, скорость которого в точке М(х, у, з) имеет компоненты дз (х, у, х), дя [х, у, з), дз(х, у, х). Количество газа, протекающего через элементарную площадку йт в точке М[я, у, з), равно й~ = — Рпягабидо+ идиот, где и(х, у, з) концентрация газа в единице объема, и - единичный вектор, нормальный к площадке 4т, Р— — коэффициент диффузии в точке (х,у,з), д(х,у,з) вектор скорости потока.
Составляя уравнение сохранения вещества для некоторого объема Т с границей Х,получаем [ — Рпягади+ идп] да = О. з Ц ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЮ Ьо+ со = О 521 Преобразуем поверхностный интеграл в объемный, пользуясь формулой Остроградского - Гаусса: (йч(Р 8гас1 и) — йи(ид)) нт = О. Отсюда в силу произвольности объема Т вытекает уравнение диффу- зии в заданном потоке (8) йч(П дади) — йч(ид) = О, или, в скалярной форме, д д д — — (идз) — — (идз) — — (идз) = О.
(8') дт дц дя ди ПЬи — иа — = О, дл являющееся простейшим вариантом уравнения газовой атаки. Полагая и позбирал за~о~ р = ио/2Х> получим для функции о(и,у,г) уравнение 2 ио где с= — — <О. 41.1 Ли+со = О, 4. Постановка внутренних краевых задач для уравнения Ьи+ си ш О. Как было показано в гл. 1 в связи с изучением канонических форм уравнений с постоянными коэффициентами, всякое уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами может быть приведено к виду Ьо+ си = О.
(9) Свойства решения уравнения (9) существенно зависят от знака коэффициента с, что физически очевидно, если иметь в виду диффузионную интерпретацию этого уравнения. К такому же уравнению приводит задача о распространении тепла в движущейся среде. Рассмотрим следующий пример. Пусть в полупространстве я ) О имеется воздушный поток с постоянной скоростью ио, направленной по оси я. Считая коэффициент диффузии постоянным, получаем из (8) уравнение 522 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) ИГЛ.
УП Остановимся на вопросе единственности решения первой краевой задачи для уравнения (9). Для уравнения Ьо + со = 0 при с < 0 имеет место принцип максимального значения в следующей форме. Решение о(М) уравнения бзо + со = 0 (с < 0), определенное внутри нсь.отарой обласпт Т с криницей Х, нс может достиеать во внутренних точках области Т положительных максимальных (и отрицательных минимальных) значений.
В самом деле, допустим, что в некоторой точке Мо, лежащей внутри Т, функция о(М) достигает положительного максимального зна.- чения (о(Мо) > 0)). Тогда в точке Мо дзо дзо д'о <О,, <О, .<О дз-'дз-'дз и, следовательно, Ьо < О, что находится в противоречии с отрицательностью коэффициента с и положительностью о(Мо) П. Из принципа максимального значения автоматически следует единственность решения первой краевой задачи для уравнения (9). Может существовать только одно решение уравнения адьо+ со = = 0 (с < 0), определенное и непрерывное в замкнутой области Т+ Е, принимающее на границе Е заданные значения Действительно, допуская существование двух различных решений оз и оз, рассматривая их разность оз — оз и проводя рассуждения способом, изложенным выше (см. гл.
111 и 1У), мы приходим к противоречию с принципом максимального значения. Если с = О, то мы получаем первую краевую задачу для уравнения Лапласа, единственность решения которой была доказана. Если с > О, то единственность может не иметь места. Рассматривая в гл.
У задачу о собственных значениях краевой задачи Ьо+ Ло = О, о (и = О, мы убедились на примерах в существовании нетривиальных решений (собственных функций) при Л > О. Очевидно, что вопрос о множественности или единственности решения первой краевой задачи эквивалентен вопросу о том, совпадает ли Л с одним из собственных значений Лп в рассматриваемой области Т. $2.
Функции влияния точечных источников 1. Функции влияния точечных источников. Теория потенциалов, развитая в гл. 1Ъ' для уравнения Лапласа, может быть распространена и на уравнение ли + со = О. Для построения функций влияния П Ср, с доказательством принципа максимального значения для уравнения теплопровоцяоств. з 2) ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ ТОЧВЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ 523 точечного источника рассмотрим решение ое, зависящее только от г. Оператор Лапласа для функции оо(г) в сферической системе координат имеет вид Н ( зное) 1Л (гсо) гз Дг ( с1г,) з Дгз что приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению дяю + сю = 0 ~Ь.
(ю = оог) Вводя обозначение с = кз для с > 0 и с = — из для с < О, получаем Иг + йзю = 0 (с > 0), ~ г Иг — изв — 0 (с < 0). Из уравнения (1) находим ю = Сз е' ' + Сзе (2) и, соответственно, е'ы ,,— ов ое = Сз + Сз г (3) В случае вещественного и получаем два линейно независимых реше- ния е'ь" (г и е и" /г, которым соответствуют вещественные линейно независимые решения зш кг и соз Йг При с < 0 (с = — згз), пользуясь уравнением (1'), получаем два действи- тельных линейно независимых решения е елг и (зг > 0).
(4) Функции ,ям~ е~~' (с > 0) и (с < 0) при г = 0 терпят разрыв непрерывности, обращаясь в бесконечность как 1(г. Такой же характер особенности имела функция источника для уравнения Лапласа (с = 0), пропорциональная 1/~ . Рассмотрим поведение этих функций на бесконечности. Случай с < 0 соответствует процессу, сопровождающемуся поглощением (см. 524 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) (ГЛ. УП уравнение диффузии (7) из з 1). Одно из решений е и'/г экспоненциально стремится к нулю на бесконечности, что в терминах задачи диффузии означает убывание концентрации, вызываемое поглощением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
