УМФ Тихонов (965259), страница 81
Текст из файла (страница 81)
тле Хг = ро . дбоггди -- заданная функция; в) отраженная волна шо(М) на бесконечности ведет себя, как расходящаяся сферическая волна, т. е. удовлетворяет условию излучения з 4) ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 547 2. Рассмотрим более подробно дифракцию плоской волны на сфере П Пусть в направлении оси в из бесконечности падает плоская волна — св бо = Ае (17) на шар радиуса й с центром в начале координат. Ищем отраженное и преломленное поля в виде разложения по сферическим функциям; йо и у = ро . дбо7дг, входящие в правые части условий сопряжения, разложим по сферическим функциям. Положим з = гсовй; тогда можно воспользоваться следующим разложением плоской волны по сферическим функциям: е. с.гсов ~ ~(2т+ 1) ( с)т ф (Ьс) Р, (соей), (18) за=О где гт(кг) = с — Х, усд()сг) у 2)сг (ут зр (Ь ) - - функция Бесселя первого рода (т + 1/2)-го порядка), Р (с.овд) полипом Лежандра ги-го порядка.
В самом деле., слева стоит решение волнового уравнения, зависяшее только от в. Всякое решение волнового уравнения может быть представлено как сумма произведений сферических функций на ф„,(1т). Поскольку в нашем случае левая часть (18) обладает зональной симметрией,то = ~ С ф (Ь-)Р (ство), (19) где Ст неопределенные пока коэффициенты. Пользуясь ортогональностью полиномов Лежандра и их нормой (см.
Дополнение П, ч. П), получаем С фт(р) = ~ е ° ° (с) дс 2пз+ 1 /,у1 2 — 1 (20) (р = Ь, с = сов й) . 1) ) Аналогичные методы часто используются в квантовой механике в задачах о рассеянии частиц. 35* Найдем первый член асимптотического представления для интеграла, стоящего в правой части; сравнение его с первым членом асимптотичесхого разложения функдии сую(р) позволит нам определить коэффициент Су,. Проинтегрируем т раз по частям, интегрируя каждый раз е 'Уб и дифференцируя Рт (с). В результате получим разложение интеграла по степеням 1/р. Сохраняя только первый член разложения, будем иметь /- з -~-з е 'р1РшЯВВ = ~е зр1Р„,(С)~ — 1 (е ~РРш(1) — е'РР„,( — 1)) = (е зР— ( — Цш е~Р) = — 3Р— зр з — зр — ивя зр 1 ~е — е е — зр 1 — зтя/з — ~(р-шк/2) г(р — п~я/2~1 2, 'ш з(п(Р щх!2) — 1Р Р С другой стороны, как известно (см. Пополнение П, ч.
1, з Ц, я1п(р — тя7'2) Фт(Р) = ' Р Сравнивая эти выражения, находим из (20) 1) и что и доказывает формулу (18). Из (17) следует (2Ц бо ~„— д = ~~~ атРт(созВ), (22) тше а, = А(2гл-~- Ц ( — 1) фш(кой); дюа ро — = ~~~ БтРга(созВ), дг,— д лз=е (23) Ьп = Айоро (2щ+ Ц ( — 1)"'фш(йоЛ). Отраженное и преломленное поли являются решениями волнового уравнения н, так же как и падающее поле, обладают зональной симметрией.
Поэтому функции ез и шо мы ищем в виде оз = ~ ~отфт(ьгг) РоДсоьВ), (24) шо = ~~~ Лшьгт (йог) Рт (соз В), (25) т=о 6~(Р) = Н ю (Р). (26) 548 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) (ГЛ. УП 2 4) ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 549 Перейдем теперь к определению коэффициентов разложения соп и дш. Пользуясь условием сопряжения и сравнивая коэффициенты при 1тм(сов О)., получаем отфт(т 1Л) — дтСп((тоВ) = и,я — — А (2т + 1) ( — т)™ фт(йой), Ртйзоптф (йзЯ) — Ро(тодш~ (йоВ) = Ьтп = Айоро (2тп+ Ц ( — т)тп фтт(йой), откуда РО"О (ф ЯОЕ)~т(йОД) — ~ Ноюф~ МОД)~ от = А (2тп+ 1) ( — т)™ РО(тефпт(й1Е) ап(й011) Р1(т1фттт((т1Д) ~т(йоД) ' (27) )тер1ь1фттт(~0 т)фт(й11т) Рокофт(ттол)фш((т11т) Ройофтп(й1Ю ~' ((тоЮ вЂ” Рзйтф'тЯ1Ю ~..(йод ' (28) 3.
Рассмотрим в качестве примера задачу о рассеянии звука твердым сферическим препятствием. Пусть на абсолютно твердую и неподвижную сферу радиуса Й с центром в начале координат падает плоская звуковая вол- на, распространяющаяся в направлении оси ю Звуковое давление р(х, у, я, 1), как было установлено в гл. П, 2 1, удовлотворяст уравнению колебаний дР 2 2 РО 2 — =а ЬР, о =У вЂ”, дт Ро где а скорость звука, 7 показатель адиабаты, Ро и ро давление и плотность среды в невозмущенном состоянии.
Давление в падающей волне дается функцией Ро = Ае '("т ") (й = — ~ о/ где А постоянны. Рассматривая установившийся процесс Р(*,у,,о) =Р(,р, ) получаем Лля р(х, у, я) волновое уравнение ЬР-гя Р=О. На поверхности сферы Ял в силу ее абсолютной твердости должна равняться нулю нормальная составляющая скорости и. Проекция скорости на направление нормали и связана с давлением следующим ураннением: ди„1 др де р дп' которое в стационарном случае дает 1 д11 ип =— тетр дп Отсюда получаем граничное услоние д11 — = О. зя 550 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) (ГЛ. УП Полагая р = ро -1- ю, где ю(я, у, г) -- давление рассеянной волны, получаем для определения ю следующие условия: а) функция ю(х, р, я) удовлетворяет волновому уравнению Ью+1г и=О: б) на поверхности сферы дд выполняется граничное условие дю дро д. з, д в) рассеянная волна и ведет себя на бесконечности как расходящаяся сферическая волна,т.
е. удовлетворяет условию излучения при г -г ош ю(М) =0( — ), — +Йи~=о( — ). Нетрудно видеть, что эта задача является частным случаем рассмотренной выше задачи дифракции и соответствует значению параметра рз = = О. Полагая в формуле (28) рз = О, из (28) и (25) получаем )Зт = — А(2ш+ 1) ( — г) (29) нонне П, ч. 1, 3 1 и 3) ( — я — ( (кЛ(2) Уг (йЛ(2) !г ) Н 2яЛ ( Г(3(2) Г(5(2) / ' / я (1гЛ(2) 1г У 2яЛ Г(5(2) я (кЛ(2) 2кЛ Г( — 1(2) ;я (йЛ(2)-'уг Так хак Г(1(2) зУя Г(3(2) , Г(5(2) = — угя, то получаем фо(кЛ) = 1 — угз(кЛ) = (ЕЛ)г 6 Г( — 1(2) = — 2 угя, ьо(ЙЛ) —— кЛ' ~,(йЛ) = (яЛ)г ' г ю = — А ~ ~(2т-~-1) ( — г),'" б ()сот) Рп,(соед).
(ЗО) т=о Если длина волны велика по сравнению с размерами шара, т. е. ЙоЛ « « 1, то в формуле (29) можно воспользоваться разложениями функций у1т(ЙЛ) и бт(ЙЛ) в ряды., которые следуют из разложений функций э г, (кЛ) и Н, (кЛ) по степеням малого аргумента йЛ (см. Допол(з) т' '~г 3 4) ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 551 откуда следует чзо(Йд) = —— Й11 3 1 фз(т)  —, 3' 21 (Йд)з ' Со(Й11) — = — ( ) Подставляя в формулу (29) найденные выражения для ф'„, и С', нахо- дим зе = до~о(Йг) + дзСз(Йг) сов 9 [Ро(созВ) = 1, Рз(созр) = совр).
(ЗЦ На больших расстояниях от возмущающей сферы (Йг» Ц в так называ- емой «дальнейь, или «волновой», зоне для функций (о(Йг) и Йг(Йг) имеем асимптотические представления Со(Ь ) — — е ЫЙг) — — — е з" Ь. Йг (32) которые вытехают из асимптотических представлений функций Ханкеля. Подставив в формулу (31) выражения (32) для Со(йг) и Сг(Ь ) и заменив ~до и )1з их приближенными значениями, получим Ю=— (1 — — совр) е 3г (, 2 (33) Обратимся теперь к вычислению интенсивности рассеянной волны; эта величина определяется как среднее значение потока энергии (вектора Умова), равного произведению избыточного звукового давления и~ на скорость и, причем под ш и и следует понимать действительные части соответствующих выражений.
В нашем случае ш = шо соз(оМ вЂ” Йг),~, и = ио соз(ы1 — Йг),1' (34) где юо и ио . соответствующие амплитуды. Вычислим интенсивность звука 1 в волновой зоне, сохраняя при этом главные члоны асимптотических разложений: Т 1 = соз (ыс — Йг) ~й = Т / 2 е (Т = — период) . Из уравнения движения ди 1дш дс р дг до = 1 — (Й11), дз = — — (Й11) . .А з .4 з 3 ' 2 Нетрудно видеть, что следующие коэффициенты пропорциональны (ЙЯ)~, поэтому при рассеянии длинных вали (ЙД «1) возмущение и> приближенно представляется двумя первыми членами ряда (30); 552 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) (ГЛ.
УП и формул (34) находим шо ао =— ар Таким образом, ,2 ~2с4 ое 3 2 Х 2 4 1 соя В) Обозначая мощность, рассеянную сферой в конус 48, через 2яг Е(8) 61п841а, будем иметь Полярная диаграмма интенсивности рассеянного шаром звука приведе- Рис. 83 на на рис. 83 (масштабы не соблюдены). Если 2 созр =+ —, 3' 8 = о 48'10, то в направлении В = о рассеяние отсутствует.
ЗАЛАЧИ К ГЛАВЕ УП Ьи — и и=б, 1. Найти функцию влияния стационарного точечного источника газа, предполагая, что газ распадается в процессе диффузии. Решить задачу для диффузии в пространстве и на плоскости. 2. Решить задачу 1 в полуплоскости у ) О, считая, что при у = 0 концентрация равна нулю. 3. а) Решить внутреннюю и внешнюю задачи для уравнения ЗАДАЧИ К ГЛАВК 1гП если на сфере г = го задано граничное условие и ~г=-ге = А соз О. В случае внешней задачи сформулировать условия на бесконечности, обеспечивающие единственность решония.
Рассмотреть аналогичные задачи, предполагая, что = РЖ. б) Решить аналогичные задачи для уравнения с двумя независимыми переменными, когда граничные условия заданы на окружности радиуса го и имеют вид и),=,„= Асоззз и, соответственно, = Р(зэ). 4. Решить задачи За и б для уравнении Аифй и=О. В случае внутренней задачи исследовать вопрос о том, при каких значениях го существует единственное решение (й считать заданным).
Сформулировать условия, гарантирующие единственность решения ках для двух, так и для трех независимых переменных. б. На глубине Ь под поверхностью земли находится среда, в которой с постоянной плотностью распределено радиоактивное вещество. Найти концентрацию эманации, считая, что концентрация ее на поверхности равна нулю. 6. Найти собственные частоты мембраны, имеющей форму кольца, радиусы которого равны а и Ь (а ( Ь), считая, что е)г — в = О и е ~с Ь = О. Показать, что предал первого собственного значения при а — э О равен парному собственному значению круглой мембраны радиуса Ь с закрепленной границей.
7. Найти собственные колебания и собствонные частоты для эндовибратора цилиндричесхой формы, считая его стенки идеально проводящими. Рассмотреть ту же задачу в акустической интерпретации. Указание. В случае эдектромагнитных колебаний ввести поляризационный потенциал (см. Приложение 1 к гл. 1гП). 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
