УМФ Тихонов (965259), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Определить электромагнитное поле точечного диполя в неограниченном пространстве, считая, что воличины поля пропорциональны е' Исследовать асимптотическое поведение решения на больших расстояниях (в волновой зоне). Решить ту же задачу для диполя, находящегося над идеально проводящей поворхностью (вертикальный диполь). Указание. Ввести поляризационный нотенциал. 9.
Поставить задачу о распространении электромагнитных волн внутри бесконечного цилиндрического радиоволновода произвольного сечения с идеально проводящими стенками. Рассмотреть волну электрического типа, распространяющуюся вдоль круглого цилиндрического волновода и имеющую наибольшую длину. Найти поле, вычислить поток энергии через сечение, перпендикулярное к основанию (см.
Приложение 1 к гл. ЧП). 10. Решить неоднородноо уравнение Аи -Е й и. = — 1" в неограниченной цилиндрической области круглого сечения,на поверхности которой имеют место однородные граничные условия 1-го или 2-го рода, и построить функцию источника (см. Приложение П к гл. АгП). ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ з'П 11. Построить функцию источника в случае первой краевой задачи для уравнения йш-~-й и=О а) в полупространстве э > О; б) на полуплоскости д > О:, в)внутри слоя — 1 ( з ( 1. 12. Решить задачу о дифракции плоской электромагнитной волны на бесконечном идеюзьно проводящем цилиндре. Решить эту же задачу в акустической интерпретации.
13.Найти собственные электромагнитные колебания сферического энцовибратора с идеально проводящими стенками. Рассмотреть случаи колебаний типа ТЕ и ТМ 1см.Приложение П к гл. УП). 14. Найти собственные электромагнитные колебания эндовибратора, представляющего собой область, заключенную между двуми коаксиальными цилиндрическими певсрхнаетями и двумя плОСкОСтями, перпендикулярными к оси цилиндров. Указание. Лля поляризационного потенциала Па,,а воспользоваться формулой, аналогичной формуле 114) из Приложения П к гл. 1'П.
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1~П 1. Волны в цилиндрических трубах 1. При конструировании различного рода радиоустановок приходится решать важную задачу о передаче электромагнитной энергии от передатчика к передающей антенне или, наоборот, от антенны к приемнику. Вопросы трансляции электромагнитной энергии встречаются также в ряде других практических задач современной радиотехники. До последнего времени эта задача удовлетворительно решалась с помощью двухпроводной линии, представляющей собой два металлических провода, между которыми распространяется электромагнитная волна. Но оказывается, что наряду с недостатками, свойственными вообще передающим линиям, такая двухпроводная линия излучает электромагнитную энергию, причем это излучение увеличивается с повышением частоты радиоволн. Поэтому такой вид передающей линии становится малоудобным в области ультракоротких радиоволн.
В последние годы в технике ультракоротких 1сантиметровых и дециметровых) радиоволн для передачи энергии применяются совершенно другие передающие устройства — полые металлические трубы 1радиоволноводы), внутри которых происходит распространение радиоволн. Такие передающие устройства, обладая малыми потерями, являются очень удобными линиями псредачз), ) Введенский Б. А., Аренберг А.
Г. Радиоволноводы. М.; Л., 1946. Ч. 1. 1. ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБАХ 555 гос Н = — 11сЕ, гоСЕ =1кН, 41гН = О, ЖяК= О Поскольку стенки волновода являются идеально проводящими, тангенциальная компонента Ес на стенке волновода равна нулю: К ~н = О. (2) Покажем, что внутри волноводи льогут, раснростронятвся осгрнзис электромагнитные волны. Будем искать решение уравнений (1) в виде К = ягабйг П+ й'П, Н = — 1кгоФП, (3) где П .-- поляризационный потенциал. Рассмотрим случай, когда век- тор П имеет лишь одну компоненту, направленную вдоль оси г (Н.
= = О). В этом случае уравнения (1) после подстановки в них выражений 13) даду д'П ЬП+ к~П = О, или ЬзП+ +к~П = О дяз (4) (П = П1,). Условие (2) будет выполнено, если потребовать, чтобы П~ =О. (5) Математическая теория распространения радиоволн по трубам была заложена еще Рэлеем, изучавшим распространение акустических волн в трубах. Интенсивное развитие теория радиоволноводов получила в последние годы, особенно в работах советских ученых.
В настоящее время свойства, круглого, прямоугольного и других типов волноводов изучены достаточно хорошо. Рассмотрим сначала свойства радиоволноводов произвольного поперечного сечения, а затем проиллюстрируем их рядом конкретных примеров. Итак. рассмотрим цилиндрическую трубу, неограниченно простирающуюся вдоль оси г. Будем предполагать стенки трубы идеально проводящими.
Обозначим Е поверхность, Я поперечное сечение трубы и С контур, ограничивающий это сечение. Предположим, что: 1) характеристики среды, заполняющей такой волновод, с и д равны 1, о = О; 2) внутри волновода отсутствуют источники поля; 3) поля периодически меняются по закону е Уравнения Максвелла в этом случае принимают вид 556 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ ЧП Ищем решение в виде П(М, з) = ф(М) Дз), (6) где М вЂ” точка, лежащая в поперечном сечении В. Подставляя (6) в (4), приходим к выводу, что ф(М) является собственной функцией задачи о колебаниях мембраны, закрепленной по контуру, т.
е. Ьзф+ Лф = 0 внутри Я, Ф 1, = 0. (7) дз дз Здесь сгз = + двумерный оператор Лапласа. дт др Обозначим через (Л„) и (фп) систему собственных значений и собственных функций этой задачи. Частное решение задачи (4) имеет вид П„(М, з) = фп(М) 7"„(з), где функция (п(з) опрсделяется из уравнения ~н + (йз — Л„) 7п = О. Общее решение уравнения (8) дается формулой (8) 7'„(з) = А„е'эх" +Впе ''"= ('уп = ЬЙ~ — Л~~) . (9) у,(з) = А„е'", тогда получим решение в виде П„(М, з) = А,„фп(М) е""', (10) где А„постоянная, определяемая из условий возбуждения полей.
Подставляя выражение (10) в формулы (3) и восстанавливая множитель е '"', находим составляющие поля в виде г„(М) с' ~'" (11) где Г„функция, выражая>щаяся через собственную функцию мембраны ф„(М) или ее производные. Если йз > Л„, то у„вещественно и выражение (11) представляет собой бегущую волну, распространяющуюся вдоль оси з с фазовой скоростью ы с % — Х,, Т:л,дг Нетрудно видеть, что первый член в формуле (9) соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси з, второй же член-- волне, бегущей в обратном направлении. Рассматривая лишь волну, бегущую в одном направлении, поло- жим 557 1. ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБАХ Групповая скорость волны, очевидно, равна сз с т. с.
в пустом волноводе имеет место дисперсия. Если йз < Л„, то У„= 1зг„(згв > О) и вместо выРажениЯ (11) получаем затухающую волну 7г (Л4) — ки — х г (12) распространяющуюся вдоль оси з в положительном направлении. Так как собственные частоты Л„мембраны неограниченно возрастают с увеличением номера и, то, какова бы ни была частота ы, начиная с некоторого номера п = Ж будем иметь й'<Л„. Следовательно, в волноводе может распространяться лишь конечное число бегущих волн.
Если хз < Лы то в волноводе не может существовать ни одной бегущей волны. Для того чтобы в волноводе заданной формы и размеров могла распространяться хотя бы одна бегущая волна, должно, очевидно, выполняться условие 2х Лз </с, или Л< где Л длина волны, распространяющейся в трубе. Для волновода прямоугольного сечения со сторонами и и Ь имеем Лп — Лжи — я — + —, (13) и, следовательно, бегущая волна может существовать лишь при усло- вии П 1 /П вЂ” 1 (14) Решениями уравнений Максвелла могут быть также поля с равной нулю з-составляющей электрического поля (15) Вводя вектор П = П1, и полагая Е = гйгосП, Н = ягас161гП+ Ь~П (16) 558 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВК УП убеждаемся, что функция П(М«я) должна определяться из уравнения ЬП+й П=О, или ««яП+ +к П=О, (17) 2" д П дяв и граничного условия дП вЂ” =0 на Е, дм (18) Повторяя приведенные выше рассуждения, найдем решения этой задачи: и.
= «,Фяи)..'~= («„= «««' — «„) «(19) которым соответствуют решения уравнения Максвелла вида ««г (М) « '«б — иц Здесь ч«„(М) и Л„означают собственные функции и собственные ча- стоты мембраны 5 со свободной границей: «-«кап + Л««ф««0 в дфи =0 на С. ди И, = — '0[ЕН ), дд, (20) где Н* вектор, комплексно сопряженный вектору Н, Е перпендикулярное сечение волновода. «Тихонов А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
