УМФ Тихонов (965259), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Формулы (15) и (15') дают 584 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ УП деформации контура интегрированияЦ. При этом им была получена следующая приближенная формула для поля вблизи поверхности земли: егьог з Пе = 2 1+1',~яре "— 2,~ре / е да, (16) г о где величина р так называемое «численнос расстояние» связана с полюсом р подынтегрального выражения (15) соотношением Р = 1 (ко — р) г. Формула (16) совпадает с формулами, полученными совершенно иным путем рядом других авторов (Вейль, Ван-дер-Поль, Фок). ц Франк Ф., Мизес Р.
Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. МП Л., 1937. Т. П. ДОПОЛНЕНИЕ1 МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙС 8 1. Основные понятия Мы познакомились с аналитическими методами решения уравнений с частными производными. Однако явное представление решения в виде ряда или интеграла не всегда возможно.
Рассмотрим, например, уравнение теплопроводности ди д / ди'1 с(х,б) — = — ( к(х,1) — / . д1 дх (, ' дх,l Метод разделения переменных применим только в случае с(х, г) = = сд(х) сз(1), к(х,1) = йд(х) хз(г). Однако часто встречаются задачи, когда коэффициенты теплоемкости и теплопроводности непредставимы в таком виде или даже зависят от температуры (квазилинейное уравнение теплопроводности). Представление решений нелинейных уравнений в аналитической форме возможно в исключительных случаях.
Универсальными методами приближенного решения дифференциальных уравнений, применимыми для широкого класса уравнений математической физики, являются численные методы, среди которых выделим метод конечных разностей (или метод сеток). Метод конечных разностей состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов (например, х и 1) заменяется конечным (дискретным) множеством точек (узлов), называемым сеткой; вместо функпий непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определенные в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются (аппроксимируются) при помощи соответствующих разностных отношений; дифференциальное уравнение при этом заменяется системой алгебраических уравнений (разностными уравнениями).
С Смз Самарский А. А. Теория разностных схем. М., 1989. Хам же даи список литературы. 886 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Начальные и краевые условия тоже заменяются разностными начальными и краевыми условиями для сеточной функции. Естественно требовать, чтобы полученная таким образом разностная краевая задача была разрешима и се решение при увеличении числа А» узлов сетки приближалось (сходилось) к решению исходной задачи для дифференциального уравнения.
Ниже понятия аппроксимации, сходимости, точности и устойчивости иллюстрируются на простейших примерах. 1. Сетки и сеточные функции. Рассмотрим простейшие примеры сеток. Пусть область изменения аргумента х есть отрезок 0 < х < 1. Разобьем этот отрезок точками х, = 16 (1 = О, 1, 2, ..., А»; 6 > 0) на А» равных частей длины 6 = 1«Я каждая. Множество точек х, = »6, 1 = = О, 1, 2, ..., Х, называется разностной сеткой на отрезке 0 < х < 1 и обозначается а» = (х; = Ж, з.' = О, 1, ..., А»), а число Ь, расстояние между точками (узлами) сетки Ы» называется шагом сетки.
Отрезок (0,1) можно разбить на А» частей, введя произвольные точки 0 < хз < хя «... хм з < 1. Тогда получим сетку ы» = (хо 1 = = О, 1, ..., А», хо = О, хч = 1) с шагом 6; = х, — х, ы который зависит от номера 1 узла х,. Если 6, ~ 6,.е» хотя бы для одного номера г, то сетка Ы» = ы»* называется неравномерной. Если 6, = сова» = 6 = 1/А» для всех 1 = 1, 2, ..., А», то мы получаем построенную выше равномерную сетку.
Функцию у, = у(х,) дискретного аргумента хо 1 = О, 1,..., «т', называют сеточной функцией, определенной на сетке Ы». Всякой непрерывной функции «(х) можно поставить в соответствие сеточную функцию «~, полагая, например, «~ = «(х,). Впрочем, в некоторых случаях удобнее устанавливать это соответствие другими способами. Пусть область изменения аргументов (х,») есть прямоугольник Д = (О < х < 1, 0 < 1 < Т). Построим на отрезке 0 < х < 1 сетку Ы» = = (х, = 16, 1 = О, 1, ..., Х) с шахом 6 = 1/А» и на отрезке 0 < 1 < Т сеткУ ы, = (11 = «т, « = О, 1, ..., А»о) с шагом т = Т/«то.
Множество узлов (х„» ) с координатами х, = 16 и 1 = «т назовем сеткой в прямоугольнике Д и обозначим ы»„= ((х, = 16, 11 = «т1, 1 = О, 1, ..., А», « = О, 1, ..., А»о). Эта сетка равномерна по каждому из переменных х и й Если хотя бы одна из сеток ы» или Ы, неравномерна, то сетка Ы», называется неравномерной. Сетка »1»„, очевидно, состоит из точек порссечония прямых х = х„1 = О, 1, ..., А». и прямых 1 = 1, «=0,1, ..., А.. Пусть у сеточная функция, заданная на»1»,. Будем обозначать у~ = у(х„1 ) значение сеточной функции у в узле (хо 1 ) сетки»о»,.
Непрерывной функции и(х,1), где (х,») точка из Д, будем ставить в соответствие сеточную функцию и~ = и~ », — — и(х,, 1. ). Возможны и другие способы такого соответствия, на, которых мы здесь не останавливаемся. 587 1Ц ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Оператор Ьь, преобразующий сеточную функцию р в сеточную функции> г = Ььу, называют сеточным или разностным оператором.
Дифференциальный оператор Ь, заданный в классе функций непрерывного аргумента, может быть приближенно заменен [аппроксимирован) разностным оператором Ьм заданным на сеточных функциях. Для этого каждая из производных заменяется разностным отношением [отсюда и название «разностный оператор»), содержащим значения сеточной функции в нескольких узлах сетки. Посмотрим, как это дела.- ется для первых и вторых производных функции одного переменного. Пусть ь», = 1х; = 16) сетка с шагом 6 на отрезке О ( х < 1. Рассмотрим первую производную Ьо = о' функции о[х).
Заменить ее разностным выражением можно бесчисленным множеством способов. Простейшими являются замены о4 о1 — 1 Ьо ' =ало; 6 левая разностная производная, или левое разностное отношение, Ьо- ' '=Ф>, й правая разностная производная, Тоо оН> оь> 26 центральная разностная производная. Здесь о, = о[х,), знак означает соответствие или аппроксимацию. При замене Ьо = о' разностным выражением Ь„о; допускается погрешность Ь„о; — [Ло),; = уй, я называемая погрешностью аппроксимации оператора Л разностным оператором Дю Естественно требовать, чтобы при стремлении 6 к нулю эта погрешность стремилась к нулю.
Для оценки ф, надо пред- Ь положить, что о[х) гладкая функция. Будем говорить, что о[х) принадлежит классу [пространству) С1"О [О, Ц [о[х) Е Стб [О, Ц) функций, заданных на отрезке О < х < 1, если о[х) имеет т непрерывных на отрезке О < о < 1 производных. При т = О получаем класс Сф~[О, Ц непрерывных при О ( х ( 1 функций. Пусть о[х) Н Сро>(0, Ц, где т > 2.
Разложим о[х) в ряд Тейлора в окрестности то 1ки х = хб о㻠— — 'о; х М[+ 0[йз) и вычислим»>[' = й', о, — о,' = 0[6), >)>[' = 7»ь ц — о[ = 0[6). Будем говорить, что разностный оператор 1,ь. 1) аппроксимирует дифференциальный оператор Л на сетке ь>ь, если выражение >пах [у>,"[ = пуах [Ььо, — [Ьо),[ [где о[х) достаточно гладкая функяз и ция) стремится к нулю при Ь вЂ” > О; 2) аппроксимирует Ь с порядком 588 ДОПОЛНЕНИЕ 1.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ и > О, если щах Рйл~ = 0(6") (или щах ~ф~~ < М6", где М положиил ил тельная постоянная, не зависящая от 6). Обращаясь к формулам для Ь~~, видим, что А„о, и Це; аппроксимируют Ьп = о' с 1-м порядком при е Е С~ ~, где т > 2. Увеличение т не меняет порядка аппроксимации. Выражение для Ь„о, содержит значения о в двух узлах т = и, и и = тл г сетки. Говорят, что оператор 6,, является двухточечным, или оператором 1-го порядка. Множество узлов, значения сеточной функции в которых входят в выражение Алие называют шаблоном оператора Ьл в точке т,. Очевидно, что шаблон оператора Ь„состоит из двух узлов -- т,; и и,, ~, .а шаблон Лл из узлов х, и и,, ы Возьмем, например, трехточечный оператор, определенный на шаблоне тл ы т„т, оп,-л| + (1 — 2о) о, — (1 — о) о, 6 где о произвольное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
