УМФ Тихонов (965259), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Для определения д = ууз о из (3) и (4) получаем задачу туд, з — (1+ 2пу) д;+ тудььз = — ге 0 < 1 < Х, до=из, ул =иьь т г', = (1 — 2 у (1 — а)) д, + (1 — и) у (р, з + у, ы) + т~р„у = — . ьз Значения д = д~ и, следовательно, Е"; на нижнем слое (при 1 = = 1 ) известны. Счет идет от слоя у к слою у+ 1, начиная с у = О, при котором задано уо = ио(т). где Лук = дек ь Схема (2) определена на шеститочечном шаблоне, состоящем из узлов (и,;~„1 гя) (з = — 1, О, 1:, ь' = О, 1), расположенных на двух слоях 1 = 1 и 1 = 1зез (см. рис. 85, и).
Поэтому схему (2) часто называют двухслойной шеститочечной схемой или схемой с весами. Поскольку в (2) входит произвольный параметр и, то фактически мы рассматриваем не одну схему, а однопараметрическое семейство схем. В дальнейшем будет показано, что с помощью параметра п можно управлять устойчивостью и точностью схемы (2). Так как схема (2) пишется одинаково во всех внутренних (при 1 < 1 < Х, у > 0) узлах (т„г ) сетки юь,, то индексы г, у можно опустить и пользоваться безындсксными обозначениями, полагая з 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 599 х; = Л(пз+ (1 — а)й)+ф, (х,г) б ыь„ з(х, 0) = О, х(0,1) = з(1,1) = О, (5) где уз = Л (пи + (1 — и) й) + оз — и; представляет собой погрешность, с которой решение и = и(х,с) уравнения (1) удовлетворяет разностному уравнению (3).
Сеточная функция ф = ф(х,1,и; 6,т,п), определяемая формулой (6), называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (3) в классе решений и = и(х, 1) уравнения (1) (или «погрешностью аппроксимации для схемы (3) на решении уравнения (1)»). Для оценки величины функции ф мы будем пользоваться различными нормами (при фиксированном 1 б ы„), например Ио = ша,~М (7) 1(~см (6) (8) а также нормами шах ОЩо, пшх )Щз и т. д.
(9) Будем говорить, что схема (3) имеет по норме ~Щ т-й порядок аппрожсимации по 6 и и-й по т на решении и = и(х,1) (аппроксимирует уравнение (1) с порядком (пц п)) или просто имеет аппроксимацию 0(6"') + 0(т'), если )(ф)( < М (6"'+ т") (т > О, и > 0), (10) где М ... положительная постоянная, не зависящая от 6 и т. а !/ !/ -— некоторая норма (например, (7) или (8)). При и = 0 получаем явную схему (см. ~ 1, п. 2).
Для нее у, = Ро т. е. значения у определяются независимо в каждом узле сетки ыю При и ф 0 для определения у получаем систему алгебраических уравнений порядка Л' — 1 (такие схемы называются неявными). Метод решения этой системы, учитывающий специальный вид (трехдиагональность ее матрицы, у которой отличны от нуля только элементы, стоящие вдоль главной диагонали и двух соседних с ней диагоналей), указан в и. 10.
2. Погрешность аппроксимации. Пусть у = у(х,с) решение задачи (3) (4), и = и(х.,с) решение исходной задачи (1). Рассмотрим разность г,. = у, — и(хо1 з), или з = у — и, и подставим з-~-1 хы у = з + и в уравнение (3). Предполагая и = и(х, 1) заданной функцией, найдем 600 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 6з Ли=и + — и 1+... цп1 12 (см. ~ 1, и. 2), тз— и = и+ 0,5ти+ — и+ 0(тз), 8 тз— й = й — 0,5ти+ — и+ 0(тз), 8 и; = й+ 0(тз). Пользуясь разложениями для и, й, Ли, находим пи+ (1 — о) й = й+ (сс — 0,5) ти -~- 0(тз), Л (пи+ (1 — и) й) = стив + (1 — ст) йп + 0(6з) = = ио + (и — 0,5) ти + 0(6Я + тз). Подставляя полученные выражения в (6), будем иметь ф = ив — й + (ст — 0,5) ти + со + 0(6з + тз).
Так как и есть решение уравнения (1), то ин — й = — у и 4 = ~р —,(+ (сс 0,5) тип+ 0(6'+ тз) О. Выбирая со так, чтобы со = с' + 0(6з -~- тз), например у = у", если 1 е Сф1, получаем с), = (о — 0,5) тип + 0(6'+ т'). (11) Обозначим через С~~ ос (П) класс функций, имеющих т производных по х и и производных по 1, непрерывных в Д. Из предыдущего ясно,что й СРдз) (12) ° ~ Сбпз1. (18) (Що = 0(6з+ т) при ст ф 0,5 и (Що = 0(6Я + тз) пРи сс = 0,5 и Выбирая параметр и равным 1 6' о =о„= —— 2 12т и правую часть 6з дз~ ~+ 12 дхз ' (15) ~ Так кая ив + у — и = О, то (б) можно было бы сразу записать в видо ф = (Л (ои -> (1 — и) й) — ип) + (З вЂ”,~) — (ис — й).
Для оценки порядка з)с по 6 и т разложим и = и(х,1) в окрестности точки (хи 1 = 1 +сд — — 1 + 0,5 т) по степеням 6 и т. Будем предполагать, что и(хЛ) имеет нужное по ходу изложения число производных. Обозначив и = ди(д1, и' = ди(дх и т. д., и = и(х„1,', г), и = и(хор л16), получим з 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 601 получим схему повышенного порядка аппроксимации 1у = 0(6~ + тэ), если и Е С1а »1 1 б С1~ 1111 3. Энергетическое тождество. Чтобы выяснить, при каких значениях о схема (2) устойчива по начальным данным и по правой части, найдем оценку решения разностной задачи (3) (4) с однородными краевыми условиями (и1 = и» = О) через 1р и иа.
Для этого используем метод интегральных или энергетических соотношений, который без существенных изменений переносится на случай уравнений с переменными коэффициентами. Нам понадобится небольшое число предварительных сведений. Пусть и(т) = ио»(и) = произвольные функции, заданные на сетке Фь = (т, = 16). Имеют место следующие формулы. 1. Формула разностпного дифференцирования произведения (и»)хл — 1Ь»хд + ихл»хЬ1 ° (1б) В самом деле, .и,»,л + и,л»мь1 = [и, (»,л1 — »1) + (иы.1 — и,)»,т1)116 = = (и1, 1»1,.1 — о1»1)/6 = (и»),, Формула (16) является разностным аналогом формулы дифференцирования произведения (ии)' = и'и + ии'.
2. Формула суммирования ~о частям (и, ».) = — (», и.г) + (и») и — ио»1, (17) где (и,ю[ = ~и1ю16, (и,ю) = Х~ и,ю,Ь, 1=1 (18) являющаяся разностным аналогом формулы интегрирования по частям. Выразим из (16) и,»х, = (и»)х, — ихл»1е1 и преобразуем сумму (и, »,): тя — 1 (и,» ) = ~~, и1»,,6 = у [(и»)ы1 — (и»)1[ — ~~', и л»ьь16 = Х = (и»)н — и1»1 — ~1 иян 16 (их,а — — ихл-~.1). Затем, УчитываЯ, что и1 = со+ (и1 — ио) = па + Ьия 1, полУчим (и; »х) = (и»)1я — (иа + 1и1х,1)»1 — ~~' »~ихл11 = (и») м — иа»1 — (», их). 11 К пп. 1, 2 смл Самарский А. А., Гули н А. В.
Устойчивость разностиых схем. М., 197281 Саульев В. К. Интегрирование параболических уравнений методом сеток. М., 19бО. 602 ПОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 3. Первая разностная формула Грина (о, (ауя),) = — (ауя, ог) + ауяо ~м — ооагув ~м (19) В самом деле, полагая в (17) я = аую сразу получим (19). Из (19), в частности, следует, что (о,(ауя) ) = — (ауаоо-), если у = о = 0 при 1 = О, Ас; (20) (У,(адя),) = — (а,(дв)г!, если Уо = Ум = О. (21) Формула (19) является разностным аналогом формулы Грина 1 1 1 и(нш')'с1т = 'ниш — / ки'ш дт. о о о 4.
Вторая разностная формула Грина (о, (ауя),,) — (у, (аоя),) = асг (оу; — уоя)н — аг (оу, — уо,)о (22) получается из выражения (19), если в нем поменять местами у и о и вычесть из (19) полученное равенство. Нам понадобится также неравенство (23) где (У Я) = ~~', Уькьй, 1 = 2, 3,, Ас я=1 (24) Рассмотрим сумму (у+ Лг,у+ Ля)г = (у,у)'+ 2Л(у я)г+ Лг (я я) > 0 (25) где (, ) — скалярное произведение в пространстве сеточных функ- ций дается формулой (18), а 9уу норма сеточной функции у = у, равна (26) где Л любое вещественное число.
Если (я,я)' ф О, то (у + Ля,у + Ля)' > 0 при любых значениях Л только при условии, что дискриминант квадратного трехчлена ((у, я)'~г — (у, у)'. (я, я)' < О. Отсюда и следует (23). В частности, при г = Ас получаем неравенство Коши Буняковского з 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 603 Докажем следующие неравенства: 1 (ф( ( — Ояя1, если яо = ял = О, 2 (27) 1 'Оф)о ( — )Щ, если яо = яч = О, 2 (28) где !)яде = щах (я,(, ()я!) дается формулой (26), а о<ь'<и зз г е зз Замечая, что яз = (~„о яи ьЬ/ = (,'~,„ье ьв ьЬ/, представим яз в виде 2 2 з = (1 — я.) ~~~ зияЬ + т~ ~~~ зи ьЬ ь=1 ь= ее 1 Применив неравенство (23) для каждой из сумм, например < г ю $ Ф 1 ~ .
~ ( )2 Ь ~ 12 Ь Х~, ~( )2 Ь ь=-з ь=-1 ь=1 ь=-з получим з< (1 ) ~~~( )26+ ~ ( )ЯЬ (1 .)о зз (29) з ь=1 ь.=ее1 — (Ло,о) = — ((аоя)„о) > 4сз 'Оо~~~. (30) В самом деле, — (Ло,о) = (а,(еи)з) > с1 Цои1з в силу (21). Пользуясь затем неравенством (27), получаем (30). Укажем еще одно неравенство: 2 (аЬ! < соа + — д, 2 1 з со (31) Так как щах и (1 — я) = 1/4., то отсюда следует., что О я()о < )Щ/2.
о<~<1 Умножив (29) на Ь и просуммировав по 1 = 1, 2, ..., А7 — 1, будем иметь |ф)~ ( )Щ~/4, или ))я!) < )Щ/2, так как 2,. 16 = (Х вЂ” 1) 6 < < 1. Пусть Ло = (аоя),„а > с1 > О. Из (21) и (27) следует оценка 604 ПОПОЛНЕНИЕ 1.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ где а и Ь заданные числа, со произвольное положительное число. В самом деле,. 2)аЬ) = 2 (а.„/гео) 1 ) ( (а.„/соо) + ( ) ,/со ~, ) так как 2 )агЬ1 ) ( аз + Ьх1 при любых а1 и Ьь Перейдем теперь к изучению вопроса об устойчивости схемы (3) по начальным данным и по правой части. Напишем энергетическое тождество, соответствующее уравнению с однородными граничными условиями ха = Ля~ ~+уб хо = хм = О, х(и,О) = хо(и), (32) где х~ ~ = ох + (1 — а) й. Умножим уравненио на 2тхгоЬ = 2 (х; — й;) 6 и просуммируем по 1= 1, 2,..., Х вЂ” 1: 2т )Щ~ = 2т (Лхоч, хй) + 2т(1Ь, хг), Лх = хях. (33) Представляя хЫ~1 в виде х~ ~ = 0,5 (х + й) + (а — 0,5) (х — й) = 0,5 (х + х) + (а — 0,5) тхй и пользуясь первой формулой Грина (20) для а = 1, у = тхг = х — й, о = х+ х и а = 1, у = о = х-, имеемО 2т(Лх1 ~,хт) = — 2(а — 0,5) тэ (хяй, хя Г) — (хи + йя;хя — йети) = = — 2 (а — 0,5) т~ !)хяД~ — (Щ~ + )Щ~.
Подставив это выражение в (33), получим энергетическое тождество 2т ДЩЯ + (а — 0,5) т !!хД~) + Цхе1~ = Ййя1~ + 2т (ф, хй). (34) Отметим, что имеет место следующее неравенство: ~Оах"1з ( — Цо/!з, если оо = ом = О. (35) В самом деле, суммируя неравенство яз 2( ~ ~ 1) - х по 1 = 1, 2, ..., Х, приходим к (35).
(Л (х Ь х) х х) — (хе Ь хе хв хе) (Лхй хт) — (зяй хяг). з 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 605 4. 'Устойчивость. Как было указано в 3 1, п. 4, устойчивость схемы означает непрерывную зависимость решения разностной задачи от входных данных (от начальных данных, от правой части и от краевых условий в данном случае). Выясним, при каких значениях параметра о схема (3) устойчива по начальным данным и по правой части. Для етого рассмотрим задачу (32) с однородными краевыми условиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
