УМФ Тихонов (965259), страница 88
Текст из файла (страница 88)
е. написать разностные (алгебраические) уравнения и дополнительные условия на сетке. Получающуюся таким образом систему разностных уравнений и дополнительных условий называют разностной схемой. Рассмотрим несколько примеров постановки разностной задачи. Пример 1.
Задаче Коши для уравнения 1-го порядка и'(х) = Х(х), х ) О, и(0) = ио, 594 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ получаемая при замене оператора теплопроводности разностным опе- ратором (10). Определим уз~~: у(~ = (1 — 27)у~+7(у( „+ у',т,) + т7э~~ . (25) Если р~ известно, то по этой формуле можно определить у~~ во ~--1 всех узлах з = 1, 2....., Х вЂ” 1 (на слое у + 1). Так как при у' = 0 задано начальное условие р,". = п(т,), то формула (25) позволяет определить от слоя к слою значения у,, во всех узлах сетки ыь„используя при з--1 этом краевые условия (24).
Схема (23) называется явной. Пусть Т,ь, определяется формулой (12). Тогда уравнение принимает вид д, — у у, — 2у,. +у,„ 14-1 1 , этз , зтз , зез р;=ря +~э или ' ' = ' ', ' +~р~ . (26) т йя Для определения у~ + на новом слое 1 + 1 получаем систему алгебраут1 ических уравнений уу',~, — (1+ 27)р,'~ + уу,'~, = — у,' — т~р',~', 0 <1 < Х. (27) Такая схема называется неявной или схемой с опережением.
4. згстойчивость. После того как разностная схема написана, т. е. сформулированы разностное уравнение и все дополнительные условия, возникает прежде всего вопрос о разрешимости полученной алгебраической системы уравнений. Если эта система неразрешима, то такую схему следует признать непригодной. Пусть разностная задача разрешима. Тогда естественно требовать, чтобы при неограниченном сгущении сетки решение разностной задачи стремилось к решению исходной задачи для дифференциального уравнения (схема сходилась). В этих рассуждениях мы предполагаем, что разностнзя задача решается точно и решение может быть найдено с любым числом знаков.
Практически же все вычисления ведутся с конечным числом знаков и на каждом этапе вычислений допускаются ошибки округления. Если малые ошибки округления, допускаемые на промежуточных этапах вычислительного процесса, при сгущении сетки приводят к большим искажениям решения, то такую схему называют неустойчивой. Она непригодна для практики. Ошибки вычислений можно рассматривать как возмущение начальных данных или правой части уравнения. Отсюда следует, что от схемы надо требовать, чтобы решение разностной задачи мало менялось при малом изменении входных данных задачи (правой части, краевых и начальных условий), или, иными словами, чтобы решение непрерывно зависело от входных данных при сгущении сетки. Если это требование выполняется, то схема называется устойчивой, в противном случае схема неустойчива. Ниже приводятся примеры неустойчивых и устойчивых схем. 595 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Пример 4. Устойчивая схема.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения и' = — аи, х > О, и(0) = ио, а > О, (28) имеющую решением и(х) = иое а'. и заменим ее разностной схемой уг уг — т 6 ауг г г = 1, 2, ..., уо =ио Из разностных уравнений получаем у, (1+ аЬ) = у; т нли у, = ву; 1 = з уо, где о = ( 1. Преобразуем выражение для з: 1+аЬ 1, = — 1п(1+ аЬ) = — Ь+ 0(Ьз) = — 6(а+ 0(6)), — Ь(а, О(~)) или агу у е — ь (а-)-О(ь)) х)ь у е — ах-)-О(ь) у [е — ах + 0(6)) откуда и следует сходимость разностной схемы. Отсюда видно, что при малом изменении начального значения уо решение у, разностной задачи также меняется мало (непрерывно зависит от уо). Пример 5. Неустойчивая схема.
Рассмотрим ту же задачу (28), что и в примере 4. Аппраксимируем уравнение и' = — аи разностной схемой и' +(1 — о) ' ' +ау;=О, г=12,..., (29) где гт произвольный параметр, не равный единице. Так как схема трехточечная, то начальныс значения надо задавать не только в точке х = О, но и в точке хт = Ь: уо = ио, ут = ио Из (29) следует (гт — 1) у, ы — [(2)т — 1) + аЬ) у, + оу) т = О.
(30) Будем искать частные решения этого уравнения в виде уг = з'. Зля з из (30) получим квадратное уравнение (гт — 1) зз — (2)т — 1 + аЬ) з + и = О, (31) дискриминант которого равен Ь = (2о — 1+ аЬ) — 4о (о — 1) = 1+ 2 (2п — 1) аЬ+ а'6~ 38* Рассмотрим какую-либо точку х. Зля простоты будем предполагать,что эта точка является узлом последовательности сеток ма при Ь э О. Номера (г соответствующие этой точке для сетки агь, равны г = хтгЬ.
Очевидно, что 596 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ так что /Ь = 1+ (2п — 1) а6+ 0(6з). Отсюда находим выражения для корней з1 и зз уравнения (31); гч = (1+ а6+ 0(62)), зз = 1 — баб+0(6~). и — 1 Общее решение уравнения (30) имеет вид д,= з1+В ',, (32) где постоянные А и В определяются из начальных условий при 1 = 0 и г = 1. Учитывая, что 1п(1 ж а6+ 0(6~)) = ж6 (а + 0(6)), находим ь (ж-(-о(ь)) — ь (в-(-о(ь)) гч е, зз=е о — 1 Пусть й фиксированная точка, являющаяся узлом сетки ыа, так что й = 16.
Из (32) следует з яуь я( +о(ь)) + П вЂ” я( то(М) (,и — 1 Отсюда видно, что поведение решения зависит от значения параметра и. Если и > 1, то > 1 и первое слагаемое при любом и — 1 значении А ~ О неограниченно возрастает при 6 †) О. Коэффипиент А зависит от уе, ум Если при некотором выборе начальных значений А = О, то при сколь угодно малом возмущении начальных данных, хотя бы за счет ошибки округления, мы получим А у'. -0 и соответствующее решение будет неограниченно возрастать при 6 -э О. Таким образом, при и > 1 схема (29) неустойчива н неприголна для вычисленийз). Приведенные выше примеры показывают, что если схема устойчива, то малые изменения начальных данных или правой части уравнения приводят к малым изменениям решения разностной задачи; если же схема неустойчива, то малые изменения начальных данных и правой части могут приводить на достаточно мелкой сетке к сколь угодно большим изменениям решения. Поэтому неустойчивая схема расходится.
Пусть ищется решение уь некоторой разностной задачи с шагом 6 на сетке ыю удовлетворяющее разностному уравнении~ с заданной правой частью ~р и дополнительными соотношениями (например, начальным, краевым условиями), заданными в граничных узлах сетки. Правую часть уравнения и известные функции, содержащиеся в дополнительных условиях, называют входными данными.
Решение разностной задачи зависит от входных данных и от параметра 6 шага сетки. Меняя 6, мы получаем последовательность 1рв) решений разностной задачи. О При и = О,б схема (29) также неустойчива. з 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 597 Говорят, что разностная задача поставлена корректно (разностная схема корректна), если ее решение у" при любом достаточно малом 6 ( 6о 1) существует для произвольных входных данных; 2) непрерывно зависит от входных данных, причем зта зависимость равномерна относительно шага 6. Свойство непрерывной зависимости решения разностной задачи от входныхданных называетсятакже устойчивостью разностной задачи (схемы).
Решение разностной задачи у" рассматривается не при одном фиксированном значении 6, а при любых Ь, < 6о, т. е. на любых последовательностях достаточно мелких сеток. Равномерная по 6 непрерывная зависимость ул от входных данных означает, что свойство непрерывной зависимости сохраняется при 6 з О. Иными словами, если решение оценивать по норме ~~ (~ОН а входные данные, например правую частыр, по норме ~~ . ~~~гр то устойчивость (равномерная по 6) схемы по правой части означает существование такой постоянной гИ > О,не зависящей от 6, что ((р")(~П ( М )Щ~г~ при любых 6 ( 6о.
Данное выше определение корректности разностной схемы аналогично определению корректности задачи для дифференциального уравнения, с которым мы неоднократно встречались в курсе. Различие между этими определениями состоит в требовании равномерной по 6 устойчивости решения разностной задачи. З 2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности 1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности. Найти непрерывную в прямоугольнике Д (О < х < 1, 0 < 1 < Т) функцию и = и(х, 1), удовлетлворяюгцую условиям ди дги — — + 1(х, 1), 0 < х < 1. 0 < 1 < Т д1 дхг (1) и(х, 0) = ио(х), и(0,1) = и,(1), и(1,1) = иг(1).
Введем в Д описанную в З 1 сетку фь, = Ыо х ф, = ((х, = 16, 1 = ут), г = О,. 1, ..., Х, у = О, 1, ..., гав) с шагами 6 = 17гч, т = Т7ло. Проведя замену ди' и, з — 2и,+ины г 6г 598 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ и введя произвольный вещественный параметр и (вес верхнего слоя 1 = 1з г1), получим однопараметрическое семейство схем уез + (1 — и) у() + Оз'; ' (2) 1 = 1, 2, ..., 1У вЂ” 1, у — д Уг = т д=у 'у=у., В этих обозначениях схему (2) перепишем в виде дг = Л (ну + (1 — и) д) + оз, (т,1) б ша,, Присоединяя сюда начальные и краевые условия (3) у(и, 0) = ио(и),,т б йь д(0,1) = из(1), д(1,1) = из(1), .1 Е Ы„ (4) получаем разностную задачу (3) -- (4), соответствующую задаче (1). Требуется найти сеточную функцию д(и,1), определенную для (т,1) Е ол„и удовлетворяющую уравнению (3) во внутренних узлах о~о = ((т„1 ), 0 < з < 1з', 0 < у < Л'о) и условиям (4) в граничных узлах уь = ((тг 1з) ° 1 = О, 0 ~< з ~ ~ЛГо', 1 = 'з ., 0 ~ ~7 ~ ~Ло', з = О, 0 ~ ~1 ~ ~Я) сетки оэа .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
