УМФ Тихонов (965259), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Для этого положим в (78) ф = О. Покажем, что выражение в квадратных скобках неотрицательно при о > 0,5 — 52/(4сгт). При о ) > 0,5 это очевидно. Пусть о < 0,5. По аналогии с п. 4 находим )(44(! — (05 — о) т (а, ог~) > ()о))~ — (05 — о) сгт )(иг()~ > ) 1 — (0,5 — о) )(ю(! ~ )0 при 1 — (0,5 — о) 4сгтй г > 0 (здесь и = г;). Поэтому из (78) следует С4Т', 2 ()г!)~41 < (1+ с4т) ))Ц~~41 < (1+ —,) )(Ц~гр где !)2)(~ц — — (а,г,'-), (79) !ф/!1ц < (1+ 0,.5с4т) !)21 ~Цыц < (1+ — ) 52 !l~ц < е ' 4 ' l!го/)14Р (80) Таким образом доказана следующая теорема.
Разностная схема (71) (или (74)) устойчива по начальным данным в ноРме ))г!)1ц — — ь/(а, 22) пРи 142 о) —— 2 4сгт (8Ц (76) при ф = 0 справедлива В этом случае для решения задачи (74) оценка (ф()<ц < Мг ))го)(ОН где М ео,ь 44т (82) Из (81) следует, что явная схема (о = 0) ге = Лг устойчива при т < 142/2сг, т. е, шаг по времени для устойчивости явной схемы должен быть тем меньше, чем больше максимум коэффициента теплопроводности. Поэтому явные схемы нецелесообразно использовать для уравнений с переменными коэффициентами. Докажем теорему. Для решения разностной задачи (74) (76) при о > 0,5 справедлива оценка (83) шах ((з))~ц < М4 !~го!~[ц + Мг шах )Щ, В силу формулы Грина (19) имеем — (Ло, и) = (а, ог), — (Л(2+ 2),г — г) = (а(за + йг),гя — гя) = (а, 221 — (азгг).
Представляя затем а в виде а = а + (а — а) = а + та; и пользуясь условием ~а;~ < сз, будем иметь а < (1+ тс4) а, с4 = сз/сг, (а гг] < (1+ с4т) (а йг). Подставим эту оценку в (77): 618 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ где ]]х]]П~ = фа,зД. (84) Обратимся к неравенству (78): 1 2т ]]хг]] + (а, .х-] ( (1+ слт) (а,й-] + 2т ф, хт) при а > —. (85) 2 Подставляя сюда оценку (46)„получаем (при со = 2) (а.,х-] < (1+ сл г) (а, х,-]+ — ]Щ . 2 Решив это неравенство (по аналогии с п. 4): ]] 1]],'„] ]]" ]]'„, + -,' Е]]йа]]з, приходим к оценке (83). Если учесть, что (а, зз] > с1 ]]хх]]з > 4с1 ]]хЯ, то из (83) для решения задачи (73)получим щах]]~]]е ( Мщах]Щ, (86) ег1 1 где М = ~/ —, ]]г]]в = п1ах]з].
)М( ]/ 8с1 ' хь Уг-гз Уа У~ Уг — 1 ] Лу, = (аух)ял = — аьез — а, сг1 ~3 1 Ь, = — (Ь, в-Ь, з). 2 (87) Погрешность аппроксимации для Л может быть представлена в виде 1 2 2 ф; = Ли, — Ьи, = — (п,зл — ц,) + 0(Ь; + Ь,х1), Ь; тле П = О(Ь, ), т. е. ]]т]]е = 0(Ьо), ]Щз = О(Ьо). Однако, как было показано в п. 2, для ]Щз верна оценка 2 ~ Ь; ~Ььй, ]Из = = О(Ьо). где Ьо = шах Ьо Схема может быть получена методом баланса. Тем самым доказана следующая теорема.
Если схема (71) устойчива (пра т > 0,5) и аппраксимирует уравнение (70), то она сходится, причем порядок ее точности совпадает с порядком аппроксимации. Пусть сетка ыь неравномерна, Ыь — — (хп 1 = О, 1, ..., .Ж), ее шаг Ь, = = х, — х; 1 зависит от 1. Тогда в (71) вместо Лу следует подставить выражение (ср. с (15) из з 1, и. 2) з 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 619 Если коэффициент Й(х,г) имеет разрыв 1-го рода на линии х = сопят (неподвнжный разрыв) илн х = 8(1) (движущнйся разрыв), то схема (71) по- прежнему сходится, однако порядок ее точности, вообще говоря, понижается.
В случае неподвижного разрыва (при х = соцзг) целесообразно выбирать сетку так, чтобы точка разрыва х = сопзг была узлом сетки ыы Это приводит к неравномерным сеткам. Однако порядок точности (2-й но А) схемы (71) на такой сетке сохраняется и в случае разрывного Й. Оценка порядка точности в случае разрывных коэффициентов и неравномерной сетки значительно усложняется. При этом справедлива оценка вида (86), однако в правой части (86) вместо )Щ стоит норма специального вида 9ЧЗЗз, указанная выше.
До сих пор мы рассматривали краевые условия 1-го рода. Они удовлетворяются на сетке ыв точно, и поэтому точность разностной схемы определяется порядком аппроксимации уравнения. Краевые условия 3-го рода аппроксимируются приближенно. Естественно требовать, чтобы порядок их аппроксимации совпадал с порядком аппроксимации дифференциального уравнения. Приведем разностные краевые условия 3-го рода без вывода1).
Рассмотрим сначала краевую задачу (ки')' — Ци = — 7(х), 0 < х < 1: (с(х) > О, д(х) ) 0; (88) й(0) и'(О) = р1и(0) — 1зП вЂ” 1(1) и'(1) = дзи(1) — 1зз, где д1 > О, дз > О. Уравнение заменяется схемой (58)., а условия при х = О, х = 1 разностными краевыми условиями 3-го рода азук,о = 1з1УΠ— Йы — азЦв.н = дзУм — 112; (89) где а1 = а(А), ан = а(хн) = а(1), ()з =()г+ О 5 йд(0),(уз = 1)э+О 5йц(1), рз = рз + 0,56з (0), 1зз = аз + 0,56Д1).
Эти условия аппраксимируют условия (88) на решении и = и(х) задачи (88) с порядком 0(лз). Разрешая (89) относительно уе и ум, получаем другую запись краевых условий 3-го рода: уо = згзуз + иы ух = нзух з + нз, (90) где згз — — аз((аз + Щ), нз = аь ((ад- + Ьдз), из = Ьд1 ((а, + Щ), из = — Арз/(ан т )чэз). Обратимся теперь к третьей краевой задаче для уравнения теплопроводности (70). Пусть при х = О, х = 1 заданы условия ди й — = ))з(1) и — 7зз(1) при х = О., дх (91) ди — Й вЂ” = дз(1) и — 1зз(1) при х = 1.
дх 1 Смс Самарский А. А. Однородные разностные схемы для нелинейных уравнений параболического типа 0 ЖВМ и МФ. 1962. Т. 2, № 1. С. 25-- 56. Условия (89) н (92) могут быть получены методом баланса. 620 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Разностные краевые условия 3-го рода в этом случае имеют вид пз (пу „о + (1 — и) ух,о) = 0 5 Лубе + ))з (оуо + (1 — и) уо) — ды 11з — — рз + 0,5 67" (О, .1), — ал (оуг и+ (1 — сг) уя и) = 0 5 Ьугн+))з (пуд + (1 — о) ул ) — 11з, )1з = дз + 0,5 Л 7(1, 1),. и ) 1/4.
(Оог) Для этого рассмотрим однородные граничные условия уо = О, ул = О. Введем обозначения у = уз+,. у = уз, у = уз и перепишем схему (93) в виде згз - з я з з у =Ау~ ),-з, 2т у ~ = ту Ч- (1 — 2 т) у т пу. (96) П Смз Рихтмайер Р. Д. Разностные методы решения краевых задач. М... 1972. (92) где оы ои, )ч,. Дз, .ры дз берутся в момент 1 =1, од, сг -- параметр, входящий в уравнение (71). Они имеют тот же порядок аппроксимации 0(йз + (и — 0,5) т + тз) на решении и = и(х,1) (уравнсния (70) с условиями (91)), что и схема (71). Учитывая, что у = уз известны для всех 1 = О, 1, ..., Х, нетрудно привести (92) к счетному виду (90).
Выражения для чы мз, и1 и нз не выписываем. В результате для определения у = уз ~ получим разностное уравнение (72) с краевыми условиями (90). 9. Трехслойные схемы. Помимо двухслойных схем, рассмотренных в и. 8., для численного решения уравнения теплопроводности (70) используются трехслойные схомы, связывающие значения искомой функции у для трех моментов времени С = 1 ..гю С, 1. 1 (на трех слоях) 1) Часто применяются трехслойные симметричные схемы з-;-1 у — 1 = Л(пуз + (1 — 2п) уз + пуз ) + Рз (1з~ = 7~), (93) где Лу = (а(х,с.) уя)х. Они имеют погрешность аппроксимации 0(Ь + т ) 2 2 при любом а. Для трехслойной схемы (93) помимо у(х,О) необходимо задавать значение у(х, т) при С = т.
Это можно сделать двумя способами: 1) используя ди 2 формулу и(х,т) = и(х, 0) + т — (х,О) + 0(т ) и уравнение (70), получить у(х, .т) = ио(х) + т [Ьи + 7]~ — о = ио (х) + т [(й(х, 0) ио)' + 7(х, О)]; 2) использовать для определения у(х,т) двухслойную схему 2-го порядка точности: уг — — 0,5 Л (у + у) + х при С = т. Итак, пусть заданы начальные условия у(х,О) = ио(х), у(х,т) = ио(х), х б йю (94) При х = О,х = 1 ставятся краевые условия, например, 1-го рода. Покажем, что схема (93) устойчива по начальным условиям и по правой части при 3 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 621 Умножим уравнение (96) на 2ту. Лг просуммнрусм по г' = 1, 2, ..., Аг — 1 и учтем тождества [2 (У + " ) ( 2 ) Ь У) ~ [~ (У + У ) + (а — 2 ) (У вЂ” у) -Ь +у ) =-Ь->у) ->-Ь-у) .
2 -2 1 -2 1 -2 2 4 4 В результате будем иметь 21 ьг,'„+ (,(!') ) =нг1„+ (, "), (97) где ~~2 1 )~ . у~(2 ( 1) ~) .~)2 (98) 4 1 при а3— 4 Пользуясь затем неравонствами 2т(Зг,у( )) < тсо ~(у~ г)~ -> — М( со и выбирая со = 8с1, получаем 8с (99) Отсюда следует оценка гггз '8У12(1) ( ))д(т)Ц1) -~- ~ ~т )(22 )( при сг ) —. (100) 1=1 Эта оценка позволяет доказать сходимость схемы (93) (94) со скоростью О(йв -~- гз) прн сг ) 1114. Укажем егде одну трехслойную схему: (91+1 1) 1 (, 1 1 — 1) Л зе1+ зт1 1.1 71+1 ) 2т 2т (10Ц Лу = (а (т, 2 Е1) уя) Она безусловно устойчива и имеет точность О(11~ -Ь тз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
