УМФ Тихонов (965259), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Для определения УУ+ из (101) получаем задачу (72) с 3 Сг=А,+А, -Ь вЂ”, 2т которая решается методом прогонки (см. и. 10). 1 Аз = — ог у2 4уз — уз л, + г т 622 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Дпя уравнения гиперболического типа , 4 Ви-'ет, Ои = — (Ь(*;1) — ), (102) и(0,1) = иН1), и(1,$) = из(1), и(я,О) = ио(я), — (я,О) = ио(х) (103) ди дс разностные схемы должны содержать не менее трех слоев. Симметричные схемы уУтз — 2уз -Е уз = Лз (пуз~ Ч- (1 — 2а) уз -1- пуз ) Е ~з (104) имеют аппроксимацию О(Ь + т ) и устойчивы при 2 2 1 Ь и) —— 4 4тсз В частности., явная схема (а = 0) условно устойчива при Ь Хотя все устойчивые схемы (104) имеют один и тот же порядок точности, но на реальных сетках, как показывают численные эксперименты, точность схемы увеличивается с уменьшением а.
Поэтому можно рекомендовать пользоваться бозусповно устойчивыми схомами при а = 1/4. 10. Решение систем разностных уравнений. Метод прогонки. Неявные схемы дпя уравнения теппопроводности приводят к системе алгебраических уравнений для значения искомой функции у,. на новом слое 4 = 12я.ы у-~-1 Эта система уравнений имеет нид Ау;,-з — С у; + В у е, = — р'„0 < з < )у, (105) где г', заданная функция. Дпя уравнения с постоянными коэффициентами С, = 1 + 2о'у, А;=ау, Дпя уравнения с переменными коэффициентами С, =А,+Аыз+1. В; = (гуаьы = А„ы А, = а'уа„ В случае неравномерной сетки оа; А,= т, Краевые условия 1-го и 3-го рода, рассмотренные нами в 2 1 и 2, можно записать в виде (106) уо = зтзуз + пы ул = згзул — з + пз.
з 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 623 При яц = О, згз = 0 отсюда следуют условия 1-го рода уо = гз, ун = из. Итак, рассмотрим уравнение (105) с краевыми условиями (106) и предположим, что А,>0, В,>0, С,>А,+В;, или С;=А;+В;+Р„Р,>0\ (107) 0<яг <1, а=1,2. При этих условиях, как будет показано ниже, задача (105) -- (106) разрешима. Для нахождения ее решения можно применять обычные методы линейной алгебры. В методе прогонки, или методе факторизацииз1, учитывается специальный вид матрицы системы уравнений (105): она трсхдиагональна.
Будем искать решение задачи (105) (106) в виде у, = аьыу,~г + (1гьы з = О, 1, 2, ..., 1У вЂ” 1, (108) где а; и(1, неизвестные пока функции. Подставляя у, г = а,у, +(3, в (105), исключим у; з и получим (А,а, — С,) у;+ В;уьгз + (АО9, + Е;) = = О, после чего при помощи (108) исключим у;: [(А,а, — С,) аьы + В,]у;тг+ [(А;а; — С;) В,.ы+ (АлЗ, + К)) = О.
Уравнение (105) будет удовлетворено, если выражения в квадратных скобках равны нулю. Из этих двух равенств находим рекуррентные фоРмУлы длк опРеделениЯ а,чч и В,тЕ В, А,А+Уф (109) Сравнивая формулу уо = аз уз + Вз с краевым условием (106) при 1 = О, находим аз =згы д~ =пм (110) Решая (109) с начальныкзи условиями (110), найдем а,, 19о з', = = 1, 2, ..., 117. Чтобы пользоваться формулой (108) начиная с1 = 1У вЂ” 1, надо знать уи. Определим ун через аи и,ВУ из краевого условия (106) при 1 = = А1.
Исключая Уи з из формул Ун = изую — 1+ из~ Ун — 1 = с"иуи+ Ач, находим мз + ягз()н Ун = 1 — хзад (111) при условии,. что 1 — иза,ч ~ О. 0 Смс Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М., 1978; Марчук Г. И. Численныс методы расчета ядерных реакторов. М, 1958; Годунов С. Кч Р ябенький В. С. Разностные схемы. Введение в теорию.
М., 1977. 624 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Покажем, что из условий (107) следует 0 < си < 1 для всех г = = 1, 2, ..., 1У. Из формулы о, ьз — — В,((В, + А, (1 — о,) + В,) видно, что 0 < о,т~ < 1., если 0 < о, < 1, и, следовательно, 0 < н, < 1 для 1 = 1, 2, ..., Х, так как оа = ма < 1. Таким образом, 1 — ляов > 0 при 0 < лз < 1 и формула (11Ц имеет смысл. Решение задачи (105) (106) состоит из двух этапов: 1) по начальным данным (110) и формулам (109) последовательно определяются оо затем д, для г = 1, 2, ..., Х (счет идет слева направо от 1 к 1+ 1); 2) из (111) находится уь и затем по формуле (108) последовательно (справа налево от з+ 1 к!) определяются ум ы ум ., уа, уа.
Счет по формулам (108) устойчив, так как 0 < сп < 1. Отметим также вариант формул прогонки: (112) В,п,.ы + Р, вл =, г' = 1, 2, ..., 1У вЂ” 1, ря = из,. С, — В,б~з ' (113) иа + лзуа У, з=6+~У,+О,.ы, 1=1 2,...,1У вЂ” 1., Уа= . (114) 1 — м~ ~~ ди д Г дий с(и) — = — ( 1(и) — ) + У(и), с(и) > О, й(и) > О.
(115) дг дт, (, дх~) В общем случае с = с(х, 1, и), 1 = 1(х, 1, и), 1" = 1'(х, 1, и). В неоднородной среде к и с могут быть разрывными функциями аргументов х и и (для разных веществ зависимость Й, с от температуры различна). Уравнение вида (115) встречается также при изучении проникновения магнитного поля в среду, коэффициент магнитной восприимчивости которой зависит от магнитного поля. Порядок счета: 1) по формулам (112) и (113) последовательно от 1+ 1 к 1 (справа налево) определяется сначала ~о затем пл для г = и†— 1, Я вЂ” 2, ..., 1, 0; 2) по формулам (114) последовательноот1 к1+ 1 (слева направо) находятся уа, уз....., ун.
Нетрудно убедиться в том, что число арифметических действий, производимых при решении задачи (105) (106), пропорционально числу уравнений. 11. Разностные методы регпення квазнлннейных уравнений. При изучении высокотсмпературных процессов необходимо учитывать зависимость коэффициентов теплоемкости и теплопроводности от температуры. Могцность тепловых источников также может зависеть от температуры, если, например, тепло выделяется в результате химической реакции. В результате мы получаем для описания процесса распространения тепла квазилинейное уравнение тсплопроводности з 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 625 (116) дз'(~) д и в( ) д1 дл + (117) В самом деле, введя, например, функцию е = )о с(и) с1и, получим для нее уравнение (116).
В настоящее время метод конечных разностей позволяет эффективно найти решение квазилинсйных уравнений. Рассмотрим простейшие двухслойные схемы для уравнения (115). Они могут быть получены методом баланса по аналогии с и. 7, если учесть, что И' = — Й(и) ди/дл. Для квазилинейных уравнений использование явных схем нецелесообразно, если й(и) является быстроменяющейся (например, степенной) функцией,так как условие устойчивости йз т< 2 шах й(и) требует очень мелкого шага т по времени.
Позтому применяя>тся неявные схемы линейные и нелинейные относительно у1 ~. В случае нелинейных схем применяются итерационные методы для нахождения ~ зе1 Рассмотрим некоторые неявные схемы. а) Неявные схемы с погрешностью аппроксимации 0(Ь~ + т): (118) зез (119) где (120) При т = О, т. = 1 ставятся краевые условия, например уо = иы ум = из.
40 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский Уравнение (115) заменой искомой функции приводится к одному из видов; 626 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Первая схема линейна относительно у» значения у на новом »'т» слое Г = Г г». Решение разностной краевой задачи для у» находится »т» методом прогонки (см. и. 10). Вторая схема (119) нелинейна относительно у»т . Для решения получающейся системы нелинейных уравнений применяются итера- ~-г» ционные методы. Напишем уравнение для определения итераций У, в случае простейшего итерационного метода: 8 »т» 5 »т» 8 8-~-1 8 А» У» — » — С» У, + А»-:,»Угг» = — Р», (121) где Р.=У,'+ 11У,) О,бт = Ау+ УЬ») ЛУ = Укм в = О, 1, 2, ...
— номер итерации. В качестве нулевого приближения обычно берут значение у» с о предыдущего слоя, полагая У,= у»; иногда применяют зкстраполяцию с использованием у» (если у» как функция у монотонна). Решение »-~-» уравнений (121) относительно У, с краевыми условиями при»'. = О, г = = 1У 1-го или 3-го рода находится методом прогонки (см. и. 10). Для ~т» окончания итераций используется условие шах ~ У» — У; ~ < е или же »<»<л' — 1 задается определенное число итераций.
Обычно уже две-три итерации заметно повышают точность. Итерационные схемы (119) позволяют для обеспечения заданной точности использовать более крупный шаг по времени по сравнению с безытерационными схемами (П8), что часто приводит к значительному уменьшению объема вычислительной работы. б) Симметричная шеститочечная схема 0(Ьз + тз): = — ((,ц,-)',+,' + ьц-,)',,) +» ("' "'), (!22) У» — » + У» »-~-1 где а, = к . Это нелинейная схема, и для опрсделения у» нужны итерации. В случае слабой квазилинейности, когда к нс зависит от и, а правая часть»" 1и) нелинейна, можно строить безытерационные схемы 2-го порядка аппроксимации.
Напишем такую схему (при к = сопзс = 1): »т», » = 0,6 А (у»+' + у») + Пд), (12З) з 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 627 где у промежуточное значение. Сначала применяется с шагом 0,5т и правой частью Щ) чисто неявная схема, затем с шагом т и правой частью 1(у) симметричная шеститочечная схема. В результате получается схема 2-го порядка аппроксимации по 5 и т.
Иногда для решения квазилинейных уравнений используются симметричные трехслойные схемы (93); в этом случае й(и) и г(и) берутся на шаге зб Однако предпочтения заслуживает нелинейная схема, аналогичная схеме (101). Пример. Приведем результаты численных расчетов по схеме гзи (119) для случая к(и) = згои, зго > О, и > О, 7 = О. Уравнение — = д / диз~ = — ~мои — ) имеет решения, производные которых в точках, дх ~ дх~) „ди где и = О, разрывны, а поток мои" — непрерывен, т. е, существует дх фронт температуры, который распространяется с конечной скоростью (рис.
87). Примером такого решения является функция )псх„(с1 — х)) С, х < с1, и(азг) = б С О,. х > с1, где с -- скорость температурной волны. Эта функция является решением задачи и х>0, 1>0, и(0,1) = ио1С, и(х,О) = О, цо где х цо Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
