УМФ Тихонов (965259), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Возьмем простейшую аппроксимацию (и = сопзс = и;, при х; ~д < х < х, ьз~ ): *, ~ 1( ц(х) и(х) дх Ьд,и„ я Проинтегрируем равенство Ни/йх = — Иг/й на отрезке х;, < х < т;: и,; з — и;= ) — дх. ) Так как И" входит в (55) в полуцелых точках х,.т1,, то, полагая И' = сопя1 = Иг, 1~,, при х, з < х < хо будем иметь или и; — и, И' 5 = — а, = — а ив,' 6 (57) (57') (54) здесь д(х) и -- мощность стоков тепла (при д < О -- источников), пропорциональная температуре и(х). Выберем на отрезке О < х < 1 сетку юь = (х, = 16, 1 = О, 1, ..., А1) с шагом Ь. Напишем уравнение баланса тепла на отрезке х, 1~, < х < < х, л1~,, х„1,, = (х, з + х;)/2 = х,, з + А/2: 612 ДОПОЛНЕНИЕ 1.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 1~16х 1 1/'дх 1(1 1) Ь,/ й(х) й, г,, ' )г,/ й(х) 2 г,й, г йг/ ' г' — г 2й; гй; получаем а; = й, г~,„а, = и т. д. Эти коэффициенты отличаг — 1+ ются друг от друга на величину 0(1гг). Подставляя в (55) выражения (56) и (57) и обозначая искомую функцию у„получаем разностную схему, выражающую закон сохранения тепла на сотке (консервативную схему): 1 ~агтг (угег уг) а; (у; — у, г)1 где -';гй *,)гг д, = — / д(х) дх, 1 /' гг, = — 1 1(х)г(х, 1 Р (59) ' -г,гг * — уг которую можно написать в виде (58') (ауя), — г1у = — ~р. Метод баланса, таким образом, позволяет получать схемы, коэффициенты которых во всех узлах сетки вычисляются по одним и тем же формулам как средние значения коэффициентов дифференциального уравнения в окрестности узла сотки.
Сами схемы (58) пишутся одинаково во всех узлах сетки и для любых й(х), д(х), 7"(х). Такие схемы называются однородными. Для практических целей целесообразно находить коэффициенты схемы а, 4, у по более простым формулам, используя значения й, Ч, 7 в отдельных точках. При этом а, г1, уг определяются как срсднис значения й, 9, 7 в одной или нескольких точках, т. е. лг а(х) = ~~ с,й(х+з,1г), — 1<ау <О, ~ ~с, =1, с, ) 6, г=пг (60) и аналогично для д, ~р. Совокупность точек (э:1г) называется коэф- фициентным шаблоном.
Обычно используют шаблоны из одной или из двух точек, полагая, например, аг = й; Угг ггг = Ч ~ Эгг =.16 (61) Отметим, что ) ' Нх,гй(х) есть тепловое сопротивление отрезка * — 1 (х, и х,). Заменяя интеграл, входящий в (57'), по одной из формул з 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 613 '+' = 6, + О(62), сн — 6' + О(62) (62) р; =У,+о(6').
6 = у, + О(6'), В самом деле, погрешность аппроксимации для схемы (58) на решении и = и(т) уравнения (54) равна 1 гР, = (Лгл — Ни+ гР), = — (игы (ил л — иг) — а, (из — и, л)) — лЛ,и, + гРо 62 Подставляя слода 2 з 6 „6 4 илгл =и,хби,-~- — ил х — и, +0(6 ) и учитывая, что ((Йи')' — г1и+ 7), = О, получаем Отсюда видно, что глг = 0(62), если выполнены условия (62). Нетрудно убедиться в том, что коэффициенты а, л(, сг, написанные выше, удовлетворяют этим условиям. Таким образом, метод баланса приводит к однородным схемам 2-го порядка аппроксимации. Эти схемы сходятся в классе кусочно- непрерывных коэффициентов и имеют по крайней мере 1-й порядок точности (схема (58) с коэффициентами (57'), (59) 2-й порядок).
Разностные схемы для уравнения (54) можно писать, исходя из требования 2-го порядка аппроксимации. Однако иногда оказывается, что схема порядка 0(62) расходится в классе разрывных коэффициентов. Примером может служить схема Уг — л 2Уг + Угел ки-1 кг — 1 Увел Уг' — 1 122 + 21 26 ~~~~ ли (63) соответствующая уравнению (Ки')' — г1и = йи" + Й'и' — ди = — 7. Имеется примерлл (при д = Ог Л" = О, и(0) = 1, и(1) = 0), показывающий, что решение уравнения (63) при 6 — ~ 0 стремится к функции гл(и), не являющейся решением исходной задачи.
Если вопрос о сходимо- л Тихонов А. Н.„Самарский А. А. Об однородных разностных схемах О ЖВМ и МФ. 1961. Т. 1, 1гг л1. С. 5 — 63. ~г См. там же. если й, Уг 7' непРеРывны. Если й, Ль 7 РазРывны, то в этих фоРмУлах следует брать полусумму предельных значений слева и справалг. Схема (58) имеет 2-й порядок аппроксимации, если 614 ДОПОЛНЕНИЕ!. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [и(х,1 г1) — и(х,1 )] Их = [И.(х, 1,„1)-И.(хге1,~г:1)]«+ /' /' ~(х,1)~х,«,.
(64) х 1! Д где И' = — й ди7дх. Возьмем простейшие формулы; ' э'Л [п(х, 1зе,) — и(х, 1Д Дх - Л [и(х„11.гд) — и(х„11)], (65) и * — д [И'(х; д,1) — Иг(х; д,1)] г11- тст [И'~~ — И'~1, ~ +т(1 — и) [Иг~~,, — И;~ „~, (66) где п -- произвольное число. Пользуясь для И', 1~ формулой (57) и подставляя (65), (66) в (64), получаем двухслойную консервативную схему У~ У = с (ЛУ)',т' + (1 — и) (ЛУ)',.
+ ~Р',~', ЛУ = (ауи)„(67) 64-1 -г18 уз~~ = — ~ 1(х,1)г1хг11, Ьт,/ (68) х сти схемы выяснять путем сгущения сеток (что часто делается на практике), то можно прийти к ошис = 641 бочному выводу о ее сходимости (она «сходится», но не к решению исходной задачи).
8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. Рис. 86 Обратимся теперь к нестационарному уравнению теплопроводности (53). Для простоты положим с = 1, и = О. Напишем уравнение баланса для прямоугольника (х; 1~,, < х < < х,„18, 1, < 1 < 1зез) (рис. 86): з 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 615 где и вычисляется (при фиксированном 1) по формулам предыдущего д 1' ди1 пункта, так что Ли = — ~й — ( + 0(Л~). Для 1о можно пользоваться и дх дх другими формулами, эквивалентными (68) с точностью до 0(ЛЯ + тз).
зт'~з Если 1 непрерывная функция, то полагаем рз По аналогии с и. 3 убеждаемся в том, что схема (67) имеет аппроксимацию 0(ЛЯ + (а — 1/2) т+ тз). Если заменить а (Лу)ле + (1— — о ) (Лу) » выражением Л~+ д (аузтз + (1 — а) уз) = (а'~ Д (ау~~ + (1 — а) у~~)) то получим схему того же порядка точности: ухы — у' = Л~+ ' (ау~+ + (1 — а) у ) + ф'+, т или уг = Л (ау + (1 — а) у) + у. (69) Так как уравнение баланса может быть написано для любой области 0 на плоскости (х,1), ограниченной кривой Г: (си г1х + И' И) = ~~ 1 (х., 1) йх <И, г а то его можно использовать для получения консервативных разностных схем в случае тепловых задач с подвижными внутренними и внешними границами на произвольных неравномерных сетках. Аналогично можно получить консервативные схемы для уравнений газодинамики, упругости и т.
д. Во всех случаях необходимо у полученных разностных схем проверять порядок аппроксимации, устойчивость, сходимость и другие свойства, так как эти качества схемы не следуют из ее консервативности. Метод баланса, или интегроинтерполяционный метод (см. ссылку на с. 613), широко применяется на практике 1. Получающиеся при этом схемы сквозного счета сходятся в классе разрывных коэффициентов. Рассмотрим теперь первую краевую задачу для уравнения теплопроводности в области (О < х < 1, 0 < 1 < Т): ди д / ди1 д1 — = Ди -~-1(х,1), 0 < х < 1, 1 > О, Ьи = — ~ Й вЂ” ), дх дх (70) и(0,1) = дз(1), и(1,.1) = дз(1), и(х,О) = ио(х), 0 < сз < Й(х,1) < сз, П См, например: Самарский А. А., Попов Ю.
П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М., 1992, Марчук Г. И. Численные методы расчета ядерных реакторов.М., 1958. 616 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ где сы сг постоянные. Для ее решения на сетке ого, (см. з 1, и. 1) воспользуемся двухслойной схемой (69), полученной методом баланса: уг = Л (ну+ (1 — а) у) + ~р, О < х = Ъ < 1, 1 = зт ) О, у(0,1) = рг(Г)., у(1,1) = дг(1), 1 ч иг,-, у(х,О) = ио(х), х 6 ага (71) где Лу = (и (х, 11зз~,,) уя), есть оператор 2-го порядка аппроксимации по И,. Для определения у = у(~ из (71) получаем краевую задачу 1-~-1 А,.гзд,з.г — С,У, + А;У; г = — Уо 0 < г < Я,1 (72) Уо=рг Ум=гзг где А, = пт~йг а„С, = А, + А,, г+ 1, а г) выРажаетсЯ чеРез Уг.
Оценим погрешность аппроксимации схемы (71). Пусть у(х,1) решение задачи (71), а и = и(х,1) . решение исходной задачи (70). Подставляя в (71) уг = зг + иг, получим для разности з = у — и условия гг= Л(пг-~-(1 — п)й)+Уб го = ам = О, г(т,О) = О, (73) зг — (а — 0,5) тЛзг — 0,5Л(я+й) = зг, го = ггч = О. (74) Будем предполагать, что г(х,О) = го(х), (75) 0 < сг < а < сг, ~аг( < сз, или ~а — а~ < тсз (76) Действуя так же, как в и. 3, напишем энергетическое тождество для задачи (74) (76), аналогичное тождеству (33): 2т~Щг — 2т (и — 0,5) (Лг;,гг) — (Л(я+ й),з — й) = 2т(убг;). (77) где уз = Л (пи + (1 — и) й) + ~р — иг -- погрешность аппроксимации для схемы (71) на решении и = и(х, 1) уравнения (70). Учитывая, что Ли = = Ли+0(Ьг), ог= гг' ",и-= (ди(дз)'' й+0(тг),.
пи+(1 — и) й = (и+ + (и — 0 5) ти)уз д + 0(тг), получаем ф = (п — 1,12) т (Дй)гз Д + 0(тг + + Ьг), если и(х,г) и й(х,1) достаточно гладкие функции (и б С~за~, ь с С(з,о)) Отсюда видно, что симметричная схема (и = 0,5) имеет 2-й порядок аппроксимации по Л и т. Перейдем к исследованию устойчивости схемы (71) по нюзальным данным и по правой части. Так как пг + (1 — и) г = 0,5 (г + г) + (а— — 0,5) тз;, то (73) можно записать в виде з 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 617 2т[)521П 4-(о — 4/г) т (а,гг11) + (а,гг~ < (1+ с4т) (а,йг~ +22(4Р,.21). (78) Исследуем сначала устойчивость схемы (74) по начальным данным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
