УМФ Тихонов (965259), страница 87
Текст из файла (страница 87)
В частности, при и = 1/2 получаем цене о-л1 — е — л тральную разностную производную Ало, = ., которая, как 26 нетрудно показать, при о(и) Е С~з1[0, 1) аппроксимирует п'(и) со 2-м порядком. В дальнейшем будем пользоваться обозначениями п~,— 1 о,ы — е; вял= 6 ' ' 6 Ок; = ) о1з-1 с1 — 1 о = = — (ои,+ц л). лл 26 2 В тех случаях, когда номер 1 узла не имеет значения, будем его опускать и писать ея, е... о . Рассмотрим теперь вторую производную Ье = о". На двухточечном шаблоне, очевидно, ее аппроксимировать нельзя.
Выберем трехточечный шаблон, состоящий из узлов и, ы т„т,.лы и рассмотрим разностный оператор 1 е;,.з — 2о, + ог — з ~лел сияя (окл пяп) 62 Если е 6 С~~0 ~0, Ц, пл > 4, то можно написать 2 з 4 елл1 = е; т6е. + — о. ~ — и. + — е +о(6 ). ПУ) Отсюда следует (индекс 1 опускаем), что 2 (6) 589 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ т. е.
ея, аппроксимирует ьп со 2-м порядком. Для аппроксимации четвертой производной Ле = ср" ~ выберем пятиточечный шаблон, состоящий из узлов х, + ЙЬ (Ь = О, х1, х2), и положим е, г — 4е,, + бе; — 4гд ~г + глтг Твн = еяяягл— 6Я (7) В этом слУчае ея,гя — ец~ ~ = 0(6г) длЯ н(т) Е С1Ю.
На пЯтиточечном шаблоне (х, + ЙЬ), Ь = О, х1, х2, можно добиться аппроксимации 0(64) для с", если е б С~е~. В самом деле, из (б) и (7) слецуст, что оператор г Ь 4 Лье = йгя — — ея,я, = н + 0(6 ) 12 (8) ди да Ли= —— де дх где и = и(х,1) функция двух аргументов х и 1, меняющихся в области Д = (О < х < 1, 0 < г < Т). Введем сетку ьгьт=((х;=гЬ, Ц=ут), г'=0,1,...,Х, с шагами Ь = 1/Ж и т = Т(Мв. Произведем замену с дги'1 и~ — 2иг + и,' = ий дхг ( Ьг — з*.. г с , 1-~-1 г ег ди и, — и, г = и д1 т й' В результате получим разностный оператор и, „— 2и,.+и, 1 4 1 г -~- 1 1 и , — иг 'м ггг т (10) имеет 4-й порядок аппроксимации.
На практике аппроксимация производных на многоточечных шаблонах используется редко, так как при увеличении шаблона обычно увеличивается объем вычислительной работы и ухудшаются качества получающихся разностных операторов (в смысле устойчивости). Еще раз отметим, что порядок аппроксимации разностного оператора Ль зависит от порядка пг дифференцируемости функции е(х).
Мы везде фактически говорили о максимальном порядке аппроксимации, который не меняется при увеличении номера т класса С~ ~, считая, что г(х) любая функция из С1в'~. Очевидно, что при специальном выборе е(х) порядок аппроксимации может повыситься. Если, например, е(х) = и(х) есть решение уравнения и" = х, то и~гч1 = 0 и и;, = и", т. е. сгк аппроксимирует вп точно при е = и.
Рассмотрим более сложный оператор 590 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ который можно записать в виде Ььги = иг — й;.„где й = и,, и = и, 1-.-1 Этот оператор определен на шаблоне, состоящем из четырех точек: (хо 1, 81), (х„г,), (х, 1,11), (х,т1,1,) (рис.
85, е). Оператор Лас определен не во всех узлах ойь„, а только при 0 < 1 < Аг и у > О, т. е. в тех узлах,в которых шаблон состоит только из узлов сетки 1уь,. Узлы (х01 ), 0 < 1 < А1, 1 > О. назовем внутренними и обозначим шь, = = 1(х1,1;), 0 < 1 < гу, 0 < у < )уо) множество всех внутренних узлов.
Таким образом, оператор 5ь, определен на ыь,, т. е. во внутренних узлах. В остальных узлах, называемых граничными, должны быть за.- а=1 а=о (аз+1) (1 — 1,1рр1)(ь14-1) (1+1,1+1) (1 — 1,1+1)(ь1+1) (оь1,1-~-1) (1 — 1,1) (51) (о81,1) (1 — 1,1) 0,1) (1-~-1,1) а Рнс. 85 даны краевые и начальные условия.
Оператор Ьь„имеет 1-й порядок аппроксимации по т и 2-й по 6: гпах ~Ььти~ — (ьи)~~ = 0(Ь + т), мь так как ия, = ип + 0()гз). иг = й+ 0(т) (й = (ди/д1)1 ). Здось штрихи означают дифференцирование по х, точка дифференцирование по К Рассмотрим оператор — и4~ — 2и~~ + и1~ и, — и, и1 1 — и, иаег 5а;и т ьг или акти = ир — ив (12) определенный на четырехточечном шаблоне (х; 1,1,,1), (х„с,аг), (х,т1,1 ьг), (хи 11) (рис.
85, б). Он аппроксимирует Ьи с тем же порядком,что и оператор (10). В 8 2 будет рассмотрено однопараметрическое семейство разностных операторов, аппроксимирующих оператор (9). Это семейство содержит операторы (10) и (12). До сих пор мы оценивали величину погрешности аппроксимации ф = Йь и — Т и для оператора 51, (или 5ь,) как пгах ~ф~, т. е. по норме' ) ) Каждой сеточной функции у ставится в соответствие некоторое неотрицательное число су~~, называемое нормой н представляюшое собой аналог расстояния от начала координат в обычной геометрии. Норма удовлетворяет требованиям; 1) буу = О только прн у(х) = 0; 2) усу(! = (с! )(уб, с = солей 3) ~ ~у 4- 4 ~ < Ь ~ ~ + ~~ к)! (неравонство треугольника) (емл К а н т о р о в н ч Л 'Н, Авилов Г.
П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М... 1984). 591 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ («в норме») Иг[[0 = 111ах [гЬ[ти. (13) Г1 — 1 [[Ф[[2 = ~ Мзгу г [[ф[[1 = ~ 6 ф,[ и т. и. [14) г=1 Пусть [[уг[[ некоторая норма для функций г)г, заданных на сетке юг. В дальнейшем будем говорить, что разностный оператор Ль1 1) аппроксимирует дифференциальный оператор Ь по норме [[ [[, если [Ц[ = [[Лье — Ае[[ — ~ О при 6 — 1 О; 2) аппроксимирует Л с порядком и > О [Ьь имеет и;й порядок аппроксимации), если [[г)г[[ = 0[Ь,")г или [[г)г[[ < МЬ", где М = сопз1 > О не зависит от 6. Если е †- достаточногладкая функция, а ьгь †. равномерная сетка, то все рассмотренные выше разностные операторы имеют один и тот же порядок аппроксимации в любой из норм (13), [14).
Иначе обстоит дело в случае неравномерной сетки. Пусть Ыь = 1т1,1= О, 1, ..., Хг те = О, ти = 1) неравномерная сетка с шагами 6, = х, — т1 1, 1 = 1, 2, ..., Ьгг на отрезке О < и < 1. Рассмотрим оператор Ье = е". Ему поставим в соответствие разностный оператор ЕЬЬ1 Ег Ег Ег-1 -Ь, ~ 61„61 [Рй) где 6, = (6, + 611.1) гг2, определенный на трехточечном шаблоне (Иг-1, тг, Хг1-1). Вычислим погрешность аппроксимации уг1 = Тье, — Ае1. Предполагая, что е[т) Е СОН [О, Ц и пользуясь разложениями 2 Егеаз = П1 + Ьгт1Е, + Е, + Ь,«1Е; + 0(61»1) находим 61,— 6; Отсюда взгдно, что [Щг = 0(6е), Ье = шахЬп где [[. [[„при з = = О, 1, 2 любая из норм [13), (14). Отсюда следует, что Аь имеет 1-й порядок аппроксимации в нормах [[ [[о, [[ ' [[1, [[ [[2.
Лля оценки величины сеточной функции уг можно использовать и другие нормы, например 592 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Покажем, что при надлежащем выборе нормы, а именно ггг ~ Ьг ~ ХЬгф, Из = оператор (15) имеет в этой норме 2-й порядок аппроксимации: Ыз = 1!7ьп — 7п!!3 = 0(Ье). Ь, + Ь;,, ТаК КаК Е,"' = П,"' + 0(Ьгт1)г тО (Ь1т1— = — (Ьз и,"~ — Ь~п,г) + 0(Ь2 ) и поэтому фг представится в виде 2Ь; г)гз = 0(Ь; + Ь, 1), Ф =Ф,+Ф;, И вЂ” 1 22 — 1 2 Ь И вЂ” 1 г ! 11252. = ~ Ь' ~ Ььгрг: 511152.
= ~~', Ь ~ЬьФ1 11 11г гг 1=1 Отметим, что 5ф52 < ))ф()г з = О, 1, 2. В дальнейшем будем пользоваться обозначениями Егт1 П1 Си,г— Ьге1 ПЬЬ1 Пя,г— 61 Пг Пг — 1 пеэ = И,, (1б) Пг-~-1 ггг ггг Пг — 1 Пяя,г = Ь (Пмг Птзг) = Ь Ььь1 Ьг Если сетка ага неравномерна, то при аппроксимации оператора (9) используется оператор (15), так что вместо (10) и (12) будем иметь разностныс операторы 7 1г и = нг — йягм Ьь,и = иг — ия-. В этом случае вместо (11) получим оценку шах~~йкг.
и — 7иДз = 0(Ье + т), (17) где максимум берется по 1 = 1г 2, ..., А1е. а Фг = — „ММ- — Ц1), а Вычисляя 2 '„' Ььг)гг — — 2 ' (911, — бя) = пг~.1 — п1 и учитывая, что ~ц~ = 0(Ьэз), получаем Йг(гЙз = 0(Ьез) иг следовательно, ИФз < Йз + ~1Ф*1!з < 5155, где М = солей > 0 не зависит от сетки, т. е. (15) имеет 2-й порядок аппроксимации в норме 5 . '52 на любой неравномерной сетке агы Этот результат сохраняет силу и для норм 593 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Сетка Ы, также может быть неравномерной с шагом т /ди'1 изхз — из /диз~ — 1з му=1,.2,...,Асс.Приэтом1 — ) =1 — ) + д1 (, д1) на равномерной сетке соответствует разностная краевая задача у,,тз — д. = банд„уо = ио Ьз =Л = Пх)) 00 получаемая при замене оператора и' разностным оператором Ььи = ия.
Пример 2. Краевой задаче для уравнения 2-го порядка и = — з (х), 0 < х < 1, и(0) = ры и(1) = рз, (19) на равномерной сетке соответствует краевая задача усю — 2у'+у'-З = -й уи уО = рм УА' = ро (У = у(Х )), 3 получаемая при замене оператора и" разностным оператором ияи. П р и м е р 3.
Краевой задаче для уравнения теплопроводности ди дзи — + Д(х,1)., д1 дх 0<х<1, 0<1<Т, (20) и(х,О) = ио(х), (21) 0<х<1, и(О,Г) = ра(1), и(1,1) = дз(1), 0 < 1 < Т, (22) на равномерной сетке Ыа, = (х; = Нц 1, = у'т (1 = О, 1,..., Л, у = = О, 1,..., Асс)) соответствует разностная краевая задача у~~ — у~ = у(у~ — 2у~-Руз )+ту~~, 0 <1 < Лс,,1 > 0 (23) З', = У(х,1,)), у =ио(х); уо дз(Ь)~ ух рз(11) (24) 38 А. Н. Тихонов, А. А.
Самарский + 0(т,,з); тогда в (17) т = 1пах т . з<з<но 3. Разностная задача. До сих пор мы занимались аппроксимацией простейших дифференциальных операторов разностными операторами. Обычно требуется решить дифференциальное уравнение Ли = — у с некоторыми дополнительными (начальными, краевыми) условиями. Поэтому кроме построения разностного оператора нужно аппроксимировать на сетке правую часть и дополнительные условия, после чего можно поставить разностную задачу, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
