УМФ Тихонов (965259), страница 84
Текст из файла (страница 84)
(5) Выберем на поверхности Х локальную прямоугольную систему координат (в, и, (.), где и --. единичный вектор, направленный по нормали к поверхности, а в по касательной к контуру С, ограничивающему перпендикулярное сечение Н цилиндрического эндовибратора. В силу граничных условий (2) имеем дзп Е,)п = =О, да дя (6) Е, (и = '( + и П ) = О. д'П дя оба эти условия, как нетрудно показать, эквивалентны.
Приведем расчет собственных колебаний для эндовибратора, представляющего «отрезок» цилиндрического волновода произвольного сечения, ограниченный двумя боковыми стенками г = Н (ось я параллельна образующей цилиндра). Так же как и в цилиндрическом волноводе, в рассматриваемом эндовибраторе возможны колебания и электрического (Н. = 0), и магнитного (Е, = 0) типа. Для волн электрического типа положим Н. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В РЕЗОНАТОРАХ 567 Оба эти равенства будут удовлетворены, если потребовать, чтобы П~ =О. При я = Ы из (2) получаем условия (7) дзП Ев ~ь==ы— =О, дедя, „ дзП Еи ) — ~~:,: О~ доде, для выполнения которых достаточно положить = О.
дП =ы (8) Таким образом, мы приходим к следующей краевой задаче. Найти нетривиальные решения волнового уравнения дзП ЬзП -~- + к~П = О (6') с однородными ераничнь ми условиями (7), (8) П~ =О, = О. дП :=ы П(М, я) = ф(М) 1(я). Подставляя это выражение в уравнение (6') и используя условие (7), получаем для функции у (М) задачу о собственных колебаниях закреп- ленной мембраны: Ьз1У+Лф=О в Н, ф= О на С. (10) Для определения функции 7(я) после разделения переменных получаем уравнение У" + (йз Л) У = О (12) с граничным условием 7'(х1) = О, вытекающим из условия (8).
Как и в случае цилиндрического волновода (см. с. 556), решение ищем в виде 568 ПРИЛОЖКЕ1ИЯ К ГЛАВК ЛгП Следует иметь в виду, что здесь, в отличие от задачи для волноводов, Й~ не является заданной величиной, а входит в уравнение в качестве параметра. Мы должны найти те значения к~, при которых задача (6) (8) допускает нетривиальное решение. Решая уравнение (12) с условиями (13), находим собственные функции (х) = А„, сое 7Г™ (1 — я), 21 соответствующие собственным значениям р„,=( ) (ш=0,1,...), где р =Ь вЂ” Л.
Краевая задача (10) --. (11) дает спектр собственных значений (Л„) с соответствующей системой нормированных собственных функций (ул„(М)). Отсюда вытекает, что в эндовибраторе могут существовать только такие колебания, собственные или резонансные частоты которых равны = с Ъ' Л + 1л Этим частотам соответствует система собственных функций П, м(М, х) = А„и,л(л,(М) соя (1 — х)., (14) или П.~п(М, х) = Ат,гл1Ьгл(М) Хм(х), (14') где Х ( ) ем Ялгл(1 ) 2, ггл~О, --- нормированные к единице функдии. Решение определено с точностью до амплитудного множителя А„„„который находится из условий возбуждения колебаний данного типа.
Если собственные функции мембраны л)л, (М) известны, то по формулам (14) и (4) можно вычислить компоненты поля. Если поперечное сечение о эндовибратора представляет собой прямоугольник со сторонами а и Ь, то будем иметь 4 , хр , яу ф„(М) = л)лр„(х, у) = л1 — яп — хяп — у (р,д = 1, 2., 3, ...), аЬ а Ь гр2 2' Л„= Л„= ьгв ~ — + — ХЛ, и ~аз Ьз/ 2е яр, яу хт П„= А ри л„г яп — х зш — у соз (1 — х). '"'~ У аЫ а Ь 21 Н. ЭЛЕКТРОРИАГНИТНБ1Е КОЛЕБАНИЯ В РЕЗОНАТОРАХ 569 В этом случае наименьшей собственной частоте П 1 ы~с з з — с ьДз з — ся — +— соответствует максимально допустимая длина волны В частности, при 5 = а наибольшая длина волны А,=а 2 ы ) молл или длиной волны Л < Лв. Совершенно аналогично находятся собственные колебания магнитного типа (Е„.= О).
В этом случае полагаем Е = 1йгогП, Н = ягас1с11чН+ А~П, где П = П1„-. Для определения П(М, к) получаем уравнение (6') с граничными усло- виями =О, дП ди х (8') решая которые находим П„= А„ф (М) з1п — (1 — з). 21 (15) В этом случае под ф„(М) следует понимать собственные функции мембраны д при граничном условии дф/ди = 0 на С. 2. Электромагнитная энергия собственных колебаний. Вычислим энергию электрического и магнитного полей в стоячей волне в цилиндрическом эндовибраторе. равна диагонали квадрата, получающегося в перпендикулярном сече- нии. Следовательно, в таком эндовибраторе возможны лишь собствен- ные колебания с частотой 570 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ ЧП д2П Е„= соэ 222, дзП Ея = созы1, дэ дУ (16) /дзП Е. = + Й~П соэо21; дП Н, = — к — э|в о21, ду дП Н = к — з2п 221, дх (17) Для вычисления энергии электрического и магнитного полей восполь- зуемся известными формулами: е„э) = — 1)1 е' ы, т (18) б (1) = — ЯНзот, т (19) где интегрирование производится по объему Т эндовибратора.
Подставляя в формулу (18) выражения (16) и пользуясь формулой (14'), будем иметьИ ~~ Индексы пз, в мы временно опускаем. Пля простоты ограничимся случаем волны электрического типа. Учитывая в формулах (4) зависимость Е и Н от времени по закону е ' ' и беря только действительную часть, получаем 572 ПРИЛОЖЕНИЯ К 1'ЛАВЕ УП Из формул (23) и (24) видно, что в стоячей волне происходит взаимное превращение электрической энергии в магнитную и обратно, причем средняя за период энергия электрического поля 1 Агсвг 1 эк— 2 8я 2 (26) равна средней энергии магнитного поля — 1 Агскг 1 2 8я 2 (27) г д / доз рзшд дО (28) дН дд Остальные компоненты Е,,„Н„, Нэ равны нулю.
Так как диполь направлен по оси г (д = О), то поля, очевидно, не должны зависеть от угла 9г. ~~ Смс Р ы т о в С. М. Возбуждение полого сферического резонатора расположенным в его центре диполем 0 ЛАН СССР. 1946. Т. 51., Х" 2. С. 107 — 110. 3. Возбуждение колебаний в эндовибраторе. Лля возбуждения поля в эндовибраторе внешним источником надо ввести через щель в его оболочке элемент связи. Таким элементом связи может быть либо виток, либо стержень, действующий как маленькая антенна. Для того чтобы элемент связи не возмущал поля в эндовибраторе, необходимо, чтобы его размеры были много меньше длины волны. Возможны и другие способы возбуждения эндовибратора, например пучком электронов, пронизывающим полость эндовибратора (через отверстия в его стенках).
Решение задачи о возбуждении эндовибратора антенной, помещенной внутрь, или, в предельном случае, элементарным диполем требует учета конечной проводимости стенок, иначе установившийся процесс невозможен. Учет коночной проводимости стенок может быть произведен с помощью условий Леонтовича. Мы рассмотрим здесь задачу о возбуждении сферического эндовибратора диполем, допускающую простое аналитическое решение~~. Пусть в центро сферы радиуса гв помещен диполь, колеблющийся с частотой ы и амплитудой 1 и направленный вдоль оси г. Требуется найти поле внутри сферы, учитывая конечную проводимость стенок.
В этом случае поля Е и Н можно выразить через функцию Н: Н. ЭЛЕКТРОРИАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В РЕЗОНАТОРАХ 5) 3 Функция У удовлетворяет уравнению 1 д Г дС'1 1 д / дУ'1 — — ~рг — ) + — ~я1пд — ) + У = О, (29) рг др ~, др( ргя1пд дд ~, дд( где р = йг., причем У имеет при р — в 0 особенность вида )йгегр (30) На поверхности сферы (р = ро) должно выполняться условие Леонто- вича (31) Нв = аН„, где а = )зьг1 — )1 = (32) эффективная глубина скин-слоя. Из соотношений (31) и (28) вытекает граничное условие для функции У: ! д — (рс) ) — гроас) = О, д в=во или дУ ро — + (1 — 1роа) У = О. др (33) в — -во Веко Решением уравнения (29), имеющим особенность (30), очевидно, является функция у = — ) )) — )я )Р) +сь))Р)) Р ) )), где Р, (соя О) полинам Лежандра 1-го порядка, Нз 0) '~,'г келя 1-го рода, уз~,, - функция Бесселя, Р,(сояО) = сояд, функция Хан- )) я~р я1про — га ) — с ро Ро Н,, (р) = — е'в — — 1 Постоянная С определяется из 1 г ~-;." ( -,".) / 2 )'я1пр ,уз,,(р) соя р кр р граничного условия (33)) — +а — — 1 ПРИЛОЖКЕ1ИЯ К ГЛАВК УП Полученное решение можно использовать для определения величины потерь в стенках.
Мощность, поглощаемая в стенках, Я = ~)Н„,~~277рэз1пр4И 16я у о вычисляется непосредственно и равна й4 ~ 6 ~ — эаА~з ' где сйп ро соя ро 77 1 4 А= — сокро, В = + ~1 — — э~ з1пре. Ро Ро Ро Если диполь расположен не в центре сферы, то расчет полей сильно усложняется, однако решение может быть получено в виде рядов. Н1.
Скин-эффект Переменный ток в отличие от постоянного не распределяется равномерно по сечению проводника, а имеет большую плотность у его поверхности. Это явление называют скин-эффектом (от англ. зк4п кожа) ц. Рассмотрим для простоты бесконечный однородный цилиндрический провод (р = сопз1, а = сопэ$), по которому течет переменный ток. Будем предполагать, что полный ток 1 = Гое4'"4, протекающий через сечение провода, известен. Пренебрегая токами смещения по сравнению с током проводимости~~ и считая процесс установившимся, т. е. зависящим от времени по закону е' ', получим после сокращения на множитель е' ' уравнения Максвелла в виде 4ха го1Н = Е, с (2) гогЕ = — зйрН, 411гЕ = О, 411нН = О, (4) ~ Т ам м И.
К. Основы теории электричества. М., 197б. ~~ Отметим., что внутри проводников, в частности внутри металлов, плотность токов смешения ничтожно мала по сравнению с плотностью токов проводимости; усм « у = аЕ. В нашем случае последнее условие эквивалентно требованию сээ « а. Ввиду того что для твердых металлов проводимость а 10 абс. ед., токами смешения можно пренебречь для всех частот, упо- 17 требляеммх в технике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
