УМФ Тихонов (965259), страница 80
Текст из файла (страница 80)
УП (17) условия излучения на бесконечности принимают вид ° =я( †), (18) г'до 11пг зги — + гйг/ = О. — ~,дг Простейшими решениями этого уравнения являются функции Ханкеля нулевого порядка Но~ ~(кг) и Но ~(йг) (см. Дополнение 11, ч. 1, 8 3). Из асимптотических формул Н(1)(й ) г (Я~ — я(2 — я/41 1 + О ляг г НОО(пят) = ~/ е Н"" ' ~2 ~ ~ ~1+ О ~ — ) яЬ. т и рекуррентных соотношений дн" Дно от (2) г'Но Н(2)( ) Ит видно, что условиям излучения удовлетворяет лишь функция Но (ят). 12) (2) Таким образом, функция Но 1(Ь ) удовлетворяет уравнению (17), условиям излучения (18) и имеет логарифмическую особенность при (21 г = О.
Поэтому функция Но (йг), как уже отмечалось в 8 2, играет роль функции точечного источника для волнового уравнения (7) в случае двух независимых переменных. Решение неоднородного урав- нения А2О+ я Г~ Г выражается формулой 'о(М) = — — Но ФН21Р) 1(Р) г)пР, 4уу о где Н -- область, в которой функция 2" отлична от нуля. г ~ 1 8 и а с о и я 1г у ЪЧ. г, Вейех1ог1 е!е1гягоша8пея1яс11ег %'ейеп ап ешеп Огайо О Апп.
РЬуяНс 1905. Вг1 18, Н. 3. 8. 495 — 522. пользованы В. С. Игнатовскимг~. Принцип введения бесконечно малого комплексного поглощения легко применим для неограниченных областей различной формы и для более сложных задач. Для задач на плоскости, связанных с уравнением ,его+1 о=О, в 4) ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 541 $4. Задачи математической теории дифракции — р — + — р — -ь — р — + р 'и = -У (р > б), (1) где р и р параметры среды. Наибольший интерес с точки зрения физических приложений представляет случай кусочно-постоянных параметров р и р. Соответствующая математическая задача состоит в следующем.
В неограниченном пространстве имеется ряд ограниченных областей Т; с постоянными параметрами р, и рб часть пространства То, внешняя по отношению к областям Т„также однородна (ре = сопвг, ре = сопвг). Волновое уравнение внутри каждой области Т; принимает обычный вид ~1п, + й,,'пг = — ~, в Т, (2 = б, 1г ..., и), (2) где и; - значение искомой функции и внутри Т„ 2 рг в области Т,. На поверхностях Еь ограничивающих области Т; з~, диф- ференциальные уравнения заменяются условиями сопряжения на Ео на Х, (1=1,2, ..., и). пг — пе (3) ~2гг ~2ге На бесконечности функция пв, являющаяся решением волнового уравнения гзо -~- кэе = — уо в То. должна удовлетворять условиям излучения 22е(м-)=о (4) + гл2гэ=е П При этом мы рассматриваем Лля простоты тот случай, когда неоднородности Т, имеют общую границу только с окружающей средой.
1. Постановка задачи. Распространение волновых процессов (электромагнитныхг упругих, акустических и т. д.) сопровождается целым рядом типичных явлений (дифракция, преломление, отражение и т. д.). Решение задач, связанных с этими явлениями, проводится непосредственно или имеет много общего с решением волнового уравнения в неоднородной среце 542 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) 1ГЛ. УП 2.
Единственность решения задачи дифракции. Локажем, что задача математической теории дифракции, сформулированная в и. 1, имеет единственное решение. Лля упро2пения записи будем предполагать, что однородность среды нарушается только одним телом Ты ограниченным замкнутой поверхностью Еы вне которой расположена область То. При этом мы не делаем предположения об односвязности области Ть Покажем следующую теорему. Может существовать только одно функция, удавлетввряююцая: а) уравнениям ос+ново = — Уо в То 2 2 +йзоз = — )з в Т;, 2 (2') б) услввнвм сопряжения на поверхности Ез оз =оО д., д„ Рь — = Ро — ' дп дь (3) в) условиям излучения на бесконечности (4) оо = О ( — ), Лопуская существование двух различных решений о = Иыио) и б= Е1л,бо), получаем, что их разность ю = 1юы и~о), где юз = бз — Оы юо=бо оо удовлетворяет однородным уравнениям и прежним дополнительным услови- ям: (2') Со(юо) = О в То, Ез(юз) = О в Ты диц дюо ил =и'О Рз =РО на Еы дп дн (3') /11 дюо, /11 юо = О ~ — ), +гйюо = о ) — ) при г — ь со.
)х)' дг ~,г) (4') Ниже будет показана достаточность условий сопряжения и условий излучения для однозначного определения функции о во всем пространстве. Поставленная выше задача является простейшей задачей математической теории дифракцнн. г 4) ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 543 юо =О(-'), ' -Гйю„=о(-'). (4*') Пусть Ед сфера достаточно большого радиуса Я, охватывающая область Ты и Тд область, ограниченны поверхностями Ег и Ед. ПРИМЕНяя фОрМуЛу ГрИНа К фуНКцИяМ иц, Юг В ОбЛаСтИ Тг И ~яе, Юее В области Тн, получаем ~юзЕз (ий) — юзЕз (пц)1 дт = з ( 1гг — юг ) Ва = О, // аю; „бпла / (, дш диг) ~ювао (ьзо) — юозас (юо)1 Вт = где ио нормаль, внешняя к области Тд, иг Ты Очевидно, д/дио = — д/диг на Еы Умножая первое равенство на ры второе зуясь условиями сопряжения (3 ), находим нормаль, внешняя к области на ро, складывая их н поль- Выражая из условий излучения производные =гйюо+о( — ), = — 1кн~о+о( — ), приходим к следующему равенству: 2ГВ / юо юо Ва -1- / [юо о ( — ) — юо о ( — ) ] Ва = О.
Второй интеграл при гс -э со стремится к нулю, поэтому юоюо «а 1 ~Люо! ВП вЂ” т О, й -э оо (ВП = ыпВВВВЗг). (5) В Дополнении П, ч. П, г 4 показано, что функция Р~ (т,В,1г) = Г Ую(В,Зз), (г) Для функций юо, юг, комплексно сопряженных к функциям юо и юю оче- видно, будут удовлетворяться однородные уравнения (2'), условия (3') и условия излучения 2 4) ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 545 Однако согласно асимптотической формуле (р) — е (21 1 — ~ (р — --2 — х) Р произведение гС,„(йог) остается по модулю больше некоторого положитель- (2) ного числа при больших значениях г; следовательно, аю = О, т. е, аю(хоЛ) = = О; отсюда в силу уравнения замкнутости 16) вытекает, что юо = О на сфере Его. Таким образом, если сфера Е,е некоторого радиуса го охватывает область Тз, то вне этой сферы функция ю = О.
Отсюда в силу аналитичности решения уравнения Д = О заключаем, что функция юо = О 1) всюду в области То. Далее из условий сопряжения следует, что на поверхности Ег ю1 =О и =О. дюз дп (7) Основная формула Грина, примененная в облж:ти Тз к функции юы показывает,что (где Л = ЛИР) в любой точке М области Ты Итак, мы убедились, что ю(М) г— в О во всем пространстве; это и доказывает теорему единственности, 3. Дифракция на сфере. 1.
Практически важным классом решений уравнения колебаний 1 Ьи — — им =О а2 1 ия — — им =О а2 и имеет вид В случае установившегося режима, когда зависимость от времени определя- етСя множителем ез, плаская вОлна имевт вид и(т,з) = Ае ~ где й = ю/а волновое число, ~А~ амплитуда. (О) г) Аналитичность функции ю в области Тг следует из формулы (7) 2 2 для комплексного значения и = 1й и для поверхности Е, целиком лежащей внутри Ты 35 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский являются плоские волны. Плоской волной, распространяющейся в каком- нибудь заданном направлении, называется решение, зависящее от времени и от одной пространствонной координаты, отсчитываемой в направлении распространения. Например, плоская волна, распространяющаяся вдоль оси т, удавлстворяст уравнению с двумя нозавиеимыми персменными 54б УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) 1ГЛ. 4гП Плоская волна, распространяющаяся в направлении 1, где 1 = = Д«, !о, П) единичный вектор, может быть записана следующим образом: гг(к р я 1) Аег'гьгг — ь(е' +у!оьыг)] 4ег!»! — Иг) (10) Функции ,о(х) = .4е гьг о(к,у,я) = Ае гьзг (1Ц являющиеся решениями волнового уравнения Ьгг -~ йзо = О, (12) обычно также называются плоскими волнами.
В математической теории дифракции обычно изучаются возмущения поля в однородной среде, создаваемые наличием включений Т„нарушающих однородность среды. Пусть В(М) поле в однородной среде, создаваемое заданными источниками, которые мы считаем расположенными вне области Т, (г = 1, ..., л); в частности, это могут быть достаточно удаленные источники, вызывающие появление плоских волн: В!к, Хг я) = Ае (13) Лействнтельное поле оо, имеющее место в области То при наличии неоднородностей, можно продставить в виде суммы оо(М) = шоРХ) -~- Во(М), где Во(М) «падающая волна», шо(М) дифрагированная, или отраженная, волна, представляющая возмущение внешнего поля В неоднородностями Т. ' Будем искать в области То дифрагированное поле юо(ЛХ), а внутри Т, «преломленное поле» оь Установим условия, определяющие искомые функции гоо н о, (г = 1, 2, ..., и)г а) функции ого и о, удовлетворяют уравнениям Агоо+)гоше = О в То, 2 (14) Ьо, + й, о; = 0 в Т, (г' = 1, 2, ..., и); б) на границах раздела Е, областей Т, и То выполняются следующие условия сопряжения: о, = ого.~- Во на Ем (10) где Во заданная функция, дгоо р, — =ро 4- Хг на Е„ ди ди (16) ого(М) = О ~ — ), + гйгоо = о ( — ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
