УМФ Тихонов (965259), страница 75
Текст из файла (страница 75)
При х = Х1(1) она разрывна, и ее предельное значение при х = Хз(Ц -е 0 должно быть равно р(1): 507 8 4] ТЕПЛОВЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ равны рс(С) и дг(С), что дает систему уравнений с ° ('), С (')- (), "~.'(„'!;0 „,,)„, 2а- 4 иск / [ г (С т)]зсг о (х Сс) х ,г () — ( ),— и г'Э вЂ” „,(,), „(,). 4 уся,/ [ог (С вЂ” т)] сг о с (х (с) — х(0 г с г) С .()- (.) —; —.;;=;,— ( ),, 2аг 4 ися / [ог (С т)]з)г о )хг(0 — хг( 0 .г () — (),-~(,, —,(,)г, „,() 4;/я,/ [аг (с — т)]з)г о Эта система является системой интегральных уравнений типа Вольтерра, всегда имеющей решение. 3. 'Условия локализации граничных режимов с обострением ).
1) В этом пункте тепловые потенциалы используются для исследования довольно тонкого (и весьма необычного) свойства локализации решений уравнения теплопроводности ис=а и г (1) Рассмотрим для (1) первую краевую задачу в области х ) О, 0 ( С < < Т (Т фиксированная положительная постоянная) с заданным при х = 0 граничным режимом с обострением и(0, С) = Сс(С), О < С < Т; Сс(С) — с -Ьоо при С вЂ” ) Т, Т = Т вЂ” О. (2) 1) Смс Самарский А.
А. О новых методах исследования асимптотичесхих свойств параболических уравнений О Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1981. Т. 108. С. 153 — 102. Там же дан список литературы. Без ограничения общности положим и(х, 0) = О. Напомним (см. Приложение П1 к гл. П1), что решение задачи называется локализованным (или, другими словами, в задаче (1) - - (2) сусцествует локализация тепла), если рошоние неограниченно возрастает при С вЂ” с Т в конечной по своим размерам части пространства (например, при всех 0 ( ( х < хО < Ьоо и, быть может, в точке х = хО), несмотря на бесконечный рост решения на границе. Часть пространства 0 < х < хо, где и(х, С) — с +ос приС вЂ” с Т, будем тогда называть областью локализации, а величину хо < +оо †.
глубиной локализации. Если же и(х, С) — с +ос при С вЂ” ) Т во всем пространстве х 3 О, то локализация в задаче отсутствует. 508 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ (ГЛ, т'1 Естественно, наличие локализации тепла или ее отсутствие определяется видом краевого условия (2) (подчеркнем,что свойство локализации могут проявлять только граничные режимы с обострением). Для выяснения условий локализации воспользуемся интегральным представлением решения задачи (1) (2) в виде теплового потенциала двойного слоя. Он имеет вид с ,г 1 с х и(х,«) = / . е л 'С' "г«л(т)с)т. 2а лсля / (« — т)зсг о (3) Переходя в (3) к пределу при « — л Т, получим выражения для «предельных> значений решении в момент времени « = Т: и(х Т) = / е 4 гст — С«л(т) аст.
2а ьск 7 (Т вЂ” т)7« о (4) Напомним, что, по предположению, «л(«) — л +со при С вЂ” с Т . Поэтому интеграл в (4) является несобственным. В тех точках х > О, где интеграл в правой части (4) расходится, решение неограниченно возрастает при С вЂ” л — с Т . Напротив, во всех точках х > О, где и(х,Т) < +со, решение и(х,«) ограничено сверху (например, величиной и(х, Т)) в течение всего времени. Вид подынтегральной функции в (4) указывает на то, что наиболее интересным является анализ семейства «экспоненциальных» граничных режимов с обострением вида «л(с) = ио(т — «) е о( — «)' О < с < т (5) Здесь и < О, и, ио > О, Ьо > О фиксированные постоянные. Подставив (5) в (4), получим следующее выражение: т г 2а зск / (Т вЂ” т)злсг — т о г 3 и(.,Т) = ' ..
".—. 4., ио 2а,lк,/ (Т вЂ” т))г-" о (7) где введено обозначение хо = 2а зс«Ьо. (8) Из (7) непосредственно следует, что решение задачи является локализованным и величина хо в (8) определяет глубину локализации: при всех которое подвергнем дальнейшему исследованию.
Покажем, что свойства решения рассматриваемой задачи (1) (2), (5) существенно зависят от величины параметра и. < О. Именно, возможно три случая. а) Пусть и = — 1. Тогда (6) приводится к такому виду; 509 ТЕПЛОВЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ О < х < хо интеграл в (7) расходится (т. е. и(х,1) — з +со при 1 -э Т ), а для любых х > хо решение ограничено сверху «предельным распределением» , 2 3 хо (выражение (7') получается из (7) заменой з — — г1 под знаком инте4а (Т вЂ” т) трала).
Таким образом, сравнительно простой непосредственный анализ теплового потенциала показывает, что рассматриваемый процесс диффузии тепла проявляет необычное свойство тепловой «инерцни»: накапливающееся в конечной по своим размерам области О < х < хо неограниченно большое количество энергии практически не растекается в окружающее пространство к моменту времени 1 = Т. С помощью теплового потенциала можно определить также другие, более тонкие свойства решения задачи, например характер нарастания решения в граничной точке области локализации х = хо.
Оказывается, он существенно зависит от величины параметра и в режиме с обострением (5). Полагая в (7) х = хо, получаем, что в случае и > 1/2 функция и(хо,с) ограничена сверху величиной 1'Ь, Т -'7з и(то Т) = ио ~/— < -~со. '1/ я. и — 1/2 Если жо и < 1/2, то и(хо, Т) = -1-оо, т. е. в этой точке решение неограниченно возрастает при 1-э Т Вычислим производную и«(х, Т) в точке х = х, .
Дифференцируя выражение (7), получаем, что при и > 3/2 она конечна и определяется по формуле ио Тг з7з ~ 2Ьо Т 2а и/я '(и — 3/2 и — 1/2 и — 1/2 (если и < 3/2, то их(хо, Т) = — оо). Отметим, что при Т > 2Ьо прои — 3,12 изводная и«(х, Т) положительна, т. е. «предельное распределение» и(х, Т) в области х > хо носит немонотонный характер. Это связано с возникающей в этом случае немонотонностью граничного режима (5) (проверьте этот факт).
Граничные режимы с обострением, порождаюпзие локализованные решения с глубиной локализации, отличной от нуля, называются Я-режимами (ср. Приложение ГП к гл. П1). б) Пусть — 1 < и < О. Тогда интеграл в (б) сходится при любых значениях х > О (докажите это), т. е. решение растет до бесконечности только в граничной точке х = О.
Тем самым в задаче существует локализация теп- 510 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ ~ГЛ. Ч1 ла, причем по определению глубина локализации хо = О. 'Такие граничные режимы с обострением мы называем ЬЯ-режимами (отметим, что ЬЯ- режимы с обострением степенного вида реализуются также в случае п = О, о<О). в) Пусть теперь л < — 1 в (5).
Тогда, наоборот, интеграл в (6) расходится при всех я > О (докажите). Это означает, что решение неограниченно возрастает прн 1 — > Т во всем пространстве и локализация в задаче отсутствует. Такие режимы с обострением называются НЯ вЂ” режимами. ЗАЛАЧИ К ГЛАВК Ч1 1. Сфера радиуса Ло в начальный момент заполнена газом концентрации ио; вне сферы концентрация равна нулю. Найти функцию и, характеризующую процесс диффузии газа в неограниченном пространстве. Решить ту же задачу для полупространства прн наличии газонепроницаемой границы з = О.
2. Решить задачу о нагревании сферы радиуса Ло, если начальная температура равна нулю, а на границе поддерживается постоянная температура. 3. Найти температуру шара, на поверхности которого происходит теплообмен со средой нулевой температуры, если начальная температура постоянна н равна ио. 4.
Оцнородное твердое топо ограничено двумя концентрическими сферами с радиусами а и 2а. Внутренняя поверхность тела теплоизолирована, а на внешней поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Найти распределение температуры в теле в момонт й если начальная темпоратура тела равна ио. 5. Вывести уравнение диффузии в среде, движущейся с постоянной скоростью.
Написать выражение для функции точечного источника в неограниченном пространство. 6. Рассмотреть стационарную задачу диффузии в подвижной среде, считая скорость движения постоянной и пренебрегая диффузией вдоль направления движения среды (задача о газовой атаке). Написать функцию источника для полупространства, считая, что плоскость я = О газонепроницаема.
7. Построить функцию теплового источника для слоя, ограниченного плоскостями з = О и з = 1, а также для клина с раствором я/л (гз — целое число) при нулевых граничных условиях. Решение исследовать. 8. Найти функцию влияния мгновенного источника тепла мощности с), равномерно распределенного на поверхности сферы радиуса а. 9.
Решить задачу о нагревании бесконечного цилиндра, начальная температура которого равна нулю, а на поверхности поддерживается постоянная температура. Пользуясь таблицами функций Ьесселя, найти профиль температуры (взяв на радиусе десять точек) и среднюю температуру по сечению для больших моментов времени. Построить соответствуюпзие графики. 10. Рассмотреть задачу о намагничивании бесконечного цилиндра постоянным магнитным полем, параллельным оси цилиндра. Пользуясь таблицами бесселевых функций, подсчитать величину потока индукции через поперечное сечение цилиндра. 11.
Построить функцию мгновенного точечного источника тепла для бесконечной цилиндрической области произвольного сечения при граничных 1. ЛИФФУЗИЯ ОБЛАКА условиях первого рода. Рассмотреть частный случай поперечного сечения круглой формы. Указавиа Представить решение в виде гле й„(М) собственная функция поперечного сечения цилиндра. ПРИЛОлкЕНИЯ К ГЛАВЕ зг1 1. Диффузия облака Рассмотрим процесс диффузии газового облака, образующегося при разрыве снаряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
