УМФ Тихонов (965259), страница 71
Текст из файла (страница 71)
ГЛАВА Ч1 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ З 1. Распространение тепла в неограниченном пространстве 1. Функция температурного влияния. В гл. 1П было показано, что процесс распространения тепла в однородном изотропном пространстве определяется уравнением теплопроводности ис=а сли ~а = — ), 2 2 (1) ср) где и(М,1) . температура точки М(х, у, х) в момент 1, р. плотность, с коэффициент удельной теплосмкости, к = сопзь и а = й,с(ср) коэффициенты теплопроводности и температуропроводности. Уравнение (1) допускает также диффузионное истолкование.
В этом случае и— концентрация диффундирующего вещества, ая = Р коэффициент диффузии. Рассмотрим в неограниченном пространстве следующую задачу. Найти решение неоднородного уравнения теплопроводности ис — — а Асс+ — 1а = — ), — оо(хух<оо., с>0 (2) 2 с 2 ср ~з ср) О плотность тепловых источников) при начальном условии и(х, у,г,0) = |р(х, у, х). Решение этой задачи может быть представлено в виде суммы и = ис + из, где ис решение однородного уравнения (1) с неоднородными начальными условиями, из решение неоднородного уравнения (2) с нулевыми начальными условиями.
При изучении соответствующих одномерных задач мы видели, что для их решения достаточно определить функцию источника. Построим функцию источника для уравнения теплопроводности в неограниченном пространстве. 478 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ (ГЛ. Ч1 Предварительно докажем следующую лемму, которая будет нами использована в дальнейшем. Если рвизенив уравнения Ьи — 1/а~ и, = 0 завашлп тполько отп т и 1, тао срункиия о = ти удовлетаворяета уравнению дги 1 ди дтг аг д1 (4) В самом деле, записывая оператор Лапласа в сферической системе координат, видим, что функция и = и(т, 1) удовлетворяет уравнению дги 2ди 1 ди + — — — — — = О., дт' т дт аг д1 1 дг(та) 1 ди или — — — — =0; д~г аг д1 полагая затем ти = о, получаем для и уравнение (4) (ср. с гл.
Ч, ~ 1, п. 1). Пусть в начале координат помещен непрерывно действующий тепловой источник постоянной мощности д, а в остальном пространстве начальная температура равна нулю: и(т',О) = 0 при т в О. Так как нормальная производная ди/дп = ди(дт в силу симметрии постоянна на поверхности Ял,то ди — к †.4ят — э д при в -+ О, дт что означает наличие у производной ди/дт при т = 0 особенности ви- да — д/(4кйтг). Следовательно, сама функция при т = 0 должна иметь особенность вида Д и 4яйт так что произведение ти = о остается ограниченным при т = О.
Очевидно, что в этом случае температура и является функцией только тий Наличие теплового источника при т = 0 означает, что тепловой поток в единицу времени через сферу Я, с центром в т = 0 и радиусом в при в — > 0 равен у, т, е. 479 НЕОГРАНИЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО Функция о, определяемая условиями дзо 1 до дтз пз Я (5) о(0,1) = = оо, о 4нк о(т,О) = О, выражается формулой (см. формулу (33) из гл. 1П, .з 3).
Следовательно, решение задачи о распространении тепла при непрерывно действующем источнике мощ- ности о, помещенном в начале координат (т = 0), имеет вид 1 1 2 и(т,1) = дЮ(т,о) = о — — / е до, 4яй т,/х / (6) температура, соответствующая единичному источнику и,(т, г) = о [У(т, 1) — П(т,1 — т)). За промежуток времени т выделяется количество тепла г2 = ут, поэто- му и (т, 1) = — [У(т, 1) — П(т, 1 — т)). т Переходя к пределу при т — г 0 и считая Ц постоянным, находим ио(т,г) = 1ш1 и„(т,г) = Я вЂ” = — е э -~ а, тэо ' до 4хйт |Уя 4аз ътаз1з или ио(т,о) = — С(и,р,я 1'СО 0 1) ср где П(т,1) (4 = 1).' Чтобы перейти к случаю мгновенного источника, рассмотрим источник мощности д, помещенный в точку (С, и, () и непрерывно действующий в течение промежутка времени т. Такой источник эквивалентен двум источникам мощности: +о и — о, первый из них включается при 1 = О, второй при 1 = т.
Распределение температур при этом выражается формулой где 1 С(х,у,х,1;(,у,() = ) е 4 зс, (7) з з 2 ъгяпз1 ~ Функция С(х,у,з,1;(,у,() есть функция температурного в л и я н и я мгновенного источника тепла. Она представляет собой температуру в точке х, р, з в момент времени 1, вызываемую точечным источником мощности Я = ср, помещенным в момент 1 = 0 в точку (6у () Нетрудно убедиться в том, что ~~~ С(х,у,з,1;(,у,() д(г1г1й( = 1.
(8) В самом деле, тройной интеграл (8) можно представить в виде произведения трех интегралов, каждый из которых равен единице; Из формулы (7) видно, что функция влияния С обладает свойством симметрии С(х,у,х.,1;(,у,() = С((,у,(,йх,у,х), являющимся выражением принципа взаимности: действие в точке (х,у,х) источника, находящегося в точке ((,у,(), равно действию в точке ((, у, () такого же источника, помещенного в точку (х, у, з).
Однако относительно переменной 1 такая симметрия не имеет места, что является выражением необратимости тепловых процессов во времени. Определим вид функции влияния С в случае двух измерений. Пусть на прямой, параллельной оси з и проходящей через точку ((, у), расположен бесконечный линейный источник; обозначим через 1~ = = сопз1 мощность источника, отнесенную к единице длины. Функция влияния Сз такого источника не будет зависеть от з и вполне характеризуется своими значениями в плоскости (х, у). Вычислим функцию Сз. Пусть на элементе Н( выделяется количество тепла й~ = Ян(, тогда распределение температуры в пространстве дается интегралом 480 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ (ГЛ.
Ч1 481 1 1) НЕОГРАНИЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО Вычисляя интеграл оо со (-. — (Р р е ыз( (((, = 2ь2а21 с а(о = 2з(тазг получаем О Сз; ср где ( †п в †Сз(х,у,г;С,г() = ) е а 'с ~,2 з(сяа212) (8') Сопоставляя эту функцию с формулой (7), видим их сходство по структуре. Аналогичным способом можно получить выражение для функции источника в одномерном случае. Рассматривая бесконечный плоский источник с постоянной плотностью (.,),получаем й = / / С(х,у,я,(;~,у,~) = — С((х,1„.~), (" (" Я с((1(1(, (з где удовлетворяющее начальному условию и(х, у,2,0) = (о(х,у,з). (3) Начальное температурное состояние, очевидно, можно представить как результат суперпозиции действия мгновенных источников, создающих начальную температуру.
Рассмотрим элемент объема д~йц(4~, содержащий точку ((,ум ~). Для создания начальной температуры ус((,(ь Д) необходимо в объеме 0~(1у(1(', поместить количество тепла й,) = ср(р(с,у, Д((с йуа(С 31 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский 1 ('-Св С((х,.г;~) = 4 ~( 2 ~/яа21 функция источника для одного измерения. В гл. Ш были даны графики, характеризующие поведение функции влияния С(х, 1; ~). Качественная характеристика функции источника, данная там же, имеет место и для пространственного случая. 2.
Распространение тепла в неограниченном пространстве. Используем теперь функцию источника, полученную в предыдущем пункте, для решения задачи о распространении начальной температуры в неограниченном пространстве. Пусть требуется найти решение уравнения и( = а Ьи, -оо < х, у, 2 < сю, 1 > О, (1) 482 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ (ГЛ. Ч1 Это сосредоточенное количество тепла создаст в точке (х, у, я) в момент 1 температуру — С(х, у, я, 1; ~, ц, ~) = О(х, у, я, 1; б ц, ~) ~р(6 ц, ~) сК ду д(. (9) сй1 ср В силу принципа суперпозиции решение нашей задачи может быть получено интегрированием (9) по всему пространству: и(х,у,з,.1) = ~~~С(х,у,е,1:с,ц,С)у((,О,Д)д~сЩдС. (10) Формула (10) получена нами в результате наводящих рассуждений, не опрЕделяющих границы ее применимости и не имеющих доказательной силы. Покажем следующее утверждение.
Если функция ~р кусочно-непрерывна а ограничена, ~~р~ < А, то функция и, определяемая выражением (10') 1) ограничена во всем пространстве: (и! < А,: 2) является решением уравнения теплопроводности при 1 > 0; 3) при 1 = 0 непрерывна в пшиках непрерывности функции р и удовлетворяет условию и(х, у, я, 0) = 1о(х, у, я). Пня доказательства того., что (10') удовлетворяет уравнению (1), воспользуемся известной леммой (см. гл. 1П, й 3).
Пусть П(х, у,е,1;С) при любом значении парамегпра ~ является решением уравнения ь(и) = О, еде Ца) линейный дафференци льный оператор. Тогда функция а(х, у, я, 1) = /П(х, у, я, 1:, ч) ~7(6 ач также будега решением уравнения Е(и) = О, если производные функции и, входяи1ие в оператор Е(и), можно вычислять дифференцированием под знаком интегралш В нашем случае У = С удовлетворяет уравнению теплопроводности при любых (, ц, ~ и 1 > О. Как известно, дифференцирование по параметру под знаком несобственного интеграла возможно, если: 1) производная по параметру от подынтеграпьной функции непрерывна и 2) интеграл, полученный после формального дифференцирования, равномерно сходится. 483 НЕОГРАНИЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО Произведя формальное дифференцирование интеграла (10') по х, получим Подынтегральная функция непрерывна при 1 > 1 > О, а наличие мной — О ок — мы: — О жителя е 4 -~ обеспечивает равномерную сходимость, если у ограничено: ~ф < А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
