УМФ Тихонов (965259), страница 67
Текст из файла (страница 67)
т Отсюда после преобразований, аналогичных тем, которые использу- ются при выводе второй формулы Грина ~, получаем В силу граничных условий и,„ = О и и„ = О на Х (Л вЂ” Л„)фи и рйт=О, т откуда и следует, что при Л„, ф Л„ ~~ и„,и„р г1т = О 1тл ф и), т т. е. собственные функции, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны между собой с весом р(М). При изучении аналогичной краевой задачи для одного независимого переменного Х" +ЛрХ =О., Х(О) = О, ХЯ=О было доказано, что каждому собственному значению соответствует одна нормированная собственная функция. Пля двух и трех независимых переменных это обстоятельство не имеет места.
Как видно из примеров собственных функций прямоугольника и круга, рассмотренных ниже (пп. 2 и 3), одному и тому же собственному значению может соответствовать несколько собственных функций. Однако каждому собственному значению, как это следует из теории интегральных В эту формулу входят нормальные производные собственных функций на поверхности Б. Обоснование этой формулы для поверхностей типа Ляпунова смз Смирнов В.
И. Курс высшей математики. Т. 1У. М... 1981. 448 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. У уравнений, может соответствовать лишь конечное число собственных функций, линейно независимых между собой. Пусть некоторому значению Л соответствует система линейно независимых функций е,, ц„ Рб (вб ..., е„.
Очевидно, что любая линейная комбинация этих функций — х также является собственной функцией для того же собственного значения Л„. Пользуясь известным приемом о р т о г о н а л и з а ц и и, мож- П но построить функции б„, ..., .б„, являющиеся линейными комбина(ц рп~ циями исходных функций и ортогональные между собой. Таким образом, если собственные функции, соответствующие некоторому Лте не ортогональны между собой, то мы можем ортогонализировать их и получить новую систему собственных функций, ортогональных между собой и соответствующих тому же Л„.
Совокупность таких систем собственных функций для разных Л„ образует ортогональную систему собственных функций рассматриваемой краевой задачи йн(йпгадц) — де+ Лри = О, и=О на Х. Число называется нормой собственной функции. Умножая каждую функцию цв на 1/~~цв9, получим систему собственных функций, нормированных к единице. Пля доказательства положительности собственных значений (свойство 2) достаточно воспользоваться первой формулой Грина: = — ~~~ее„йт+ Л„~о ц„рйт.
Отсюда видно, что при д > 0 собственные значения Л положительны. ~ См., например; Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 1У. М., 1981. КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ 449 ~(М) = ~ аппп(М). п=1 Отсюда обычным способом., используя условие ортогональности (7), находим коэффициенты разложения: ~~~ Р(М) еп(М) рог т Яи„рот т (8) Вернемся теперь к уравнению в частных производных.
Решение уравнения Т„п -~ ЛпТ„= 0 имеет вид ТпЯ = А, соззУЛ„~+ Вп ЯшзУЛ„й, так что решением нашей основной вспомогательной задачи будет про- изведение ип(М, й) = Т„Я ип(М) = (Ап соз ЬУЛ„й+ Вп Яш З/Лп й) и„(М). Общее решение исходной задачи с начальными данными естественно искать в виде суммы; и(М,~) = ~и„(М,2) = ~~ (А„соз „/Л„~+ Впаш ЗУЛ„~)ип(М). (9) п=1 п.=1 Удовлетворяя начальным условиям (2) и(М,О) = сс(М) = ~~ Аппп(М), п=1 ис(М, 0) = чЬ(М) = ~ ~В„з/Лп и„(М) п=1 и пользуясь теоремой разложимости 4, находим Ап = 1Рп, Вп ~Л„= У1„, где уп и 1рп коэффициенты Фурье функций у(М) и у1(М) в их разложении по ортогональной с весом р(М) системе функций ип(М).
Тем самым формальное построение решения исходной задачи закончено. 29 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский В дальнейшем мы будем пользоваться теоремой разложимости (свойство 4), отсылая за доказательством к соответствующему разделу интегральных уравнений. Пусть 450 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. У Физическая интерпретация полученного решения вполне аналогична случаю одного переменного. Частные решения и„(М, 1) = (Ав соз ЪУЛ„1+ Вв з1п,УЛ„1) е„(М) представляют собой стоя ч не волны, которые могут существовать внутри ограниченного объема Т. «Профили» стоячих волн, определяемые функцией е„(М), для разных моментов времени отличаются лишь множителем пропорциональности. Линии или поверхности (соответственно для двух или трех переменных), вдоль которых е„(М) = О, называются узловыми линиями (поверхностями) стоячей волны е„(М) .
Точки, в которых е„(М) достигает относительных максимумов или минимумов, называются пучностями этой стоячей волны"1. Общее решение представляется в виде бесконечной суммы таких стоячих волн. Возможность представления общего решения в виде суммы слагаемых подобного типа и означает возможность представления произвольного колебания в виде суперпозиции стоячих волне). Таким образом, задача о колебании мембран или объемов сводится, по существу, к нахождению соответствующих собственных функций. В пп. 2 и 3 мы рассмотрим колебания прямоугольной и круглой мембран, обращая при этом главное внимание на построение собственных функций.
Как уже отмечалось выше, нахождение собственных функций в явной аналитической форме сопряжено с большими трудностями для областей более сложной формы. В случае произвольных областей для построения собственных функций могут быть использованы приближенные методы. Существуют различные приближенные методы, основанные на использовании интегральных уравнений, вариационных принципов, конечных разностей.
2. Колебания прямоугольной мембраны. Процесс колебаний плоской однородной мембраны, как было показано в гл. П, 8 1, описывается уравнением колебаний (10) им = а-Ьп. Пусть в плоскости (т, у) расположена прямоугольная мембрана со сторонами Ьз и Ьз, закрепленная по краям и возбуждаемая с помощью 1 Если возбудить колебания мембраны, посыпанной песком, то песок из пучностей будет сбрасываться к узловым линиям, образуя при этом так называемые хладииевы фигуры, воспроизводящие узловые линии собственных функций. ~~ Обоснованию метода разделения для случая многих переменных посвящены работы О. А.
Ладыженской (О сходимости рядов Фурье, определяющих решение смешанной задачи для гиперболических уравнений О ЛАН СССР. 1952. Т. 85,. йй 3. С. 481 — 484) н В. А. Ильина (О разрешимости смешаняых задач для гиперболических и параболических уравнений О УМН. 1960. Т. 15, вып. 2. С. 97 — 154). Ь з) КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ 451 начального отклонения и начальной скорости. Для нахождения функ- ции и(х, у,Ь), характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия, мы должны решить уравнение колебаний (10') при заданных начальных условиях и(х, у, 0) = ~р(х,у), ди — (х,у,о) = ф(х,у) и граничных условиях и(0, у, Ь) = О, и(Ьм у,1) = О, (12) и(х,о,г) =О, и(х,Ьг,Ь) =О.
(13) Мы ищем, как обычно, решение методом разделения переменных, полагая и(х, у, 1) = о(х, у) Т(г). (14) Подставляя (14) в (10) и разделяя переменные, получаем для функции ТЯ уравнение То+а ЛТ = О, () а для функции о(х, у) следующую краевую задачу: о„+ о„о -~- Ло = 0; о(о,у) =О, о(Ьыу) =0:, о(х, 0) = О, о(х,, Ьг) = О. (16) о(х, у) = Х(х) 1 (у). Проводя разделение переменных, получаем следующие одномерные задачи на собственные значения: Х +ох=о,( х(о) =о, х(ь,) =о;)' 1'о + д1' = О, ( 1 (0) = О, 1'(Ьг) = 0,~ (18) Таким образом, сама задача для собственных значений состоит в ре- шении однородного уравнения в частных производных при однородных граничных условиях. Будем и эту задачу решать методом разделения переменных, полагая 452 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ.
Лг где и и лл постоянные разделения переменных, связанные соотношением р+ и = Л. При этом граничные условия для Х(т) и У(у) вытекают из соответствующих условий для функции ю Например, из о(0, у) = Х(0) У(у) = 0 следует Х(0) = О, так как У(у) ~ 0 (мы ищем нетривиальные решения). С решением задач, подобных (17) и (18), мы уже встречались при изучении колебаний струны. Решения уравнений (17) и (18) имеют вид пл тгг Х„(т) = ялп — и, У (у) = ялп у; Ь, ' Ь, и„= —; лл Собственным значениям '-=Ф' (.')' таким образом, соответствуют собственные функции пгг тя о, „, = Ап,~ яш — и яш — у, Ь1 Ьг где А„некоторый постоянный множитель.
Выберем его так, чтобы норма функции о„„, с весом 1 была равна единице; Ьл ь, ь, О.- = и-à — Г 2 2 .2пя .2лт ( о„галл г1у = Ап,„( ялп — т л1т ул ялп у ду = 1. 1 о о Отсюда / 4 \г' ь,ь, Ортогональность функций (е„„„,) очевидна и не нуждается в доказательстве. Следовательно, функции Г4, пгг, тгг п„,„(т,у) = ~/ гйп — т яш у (19) 12 Ь1 Ьг образуют ортонормированную систему собственных функций прямоугольной мембраны. Число собственных функций, принадлежащих Л„(кратность Л„ „,), зависит от количества целочисленных решений и и т урав- нения КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ 453 з 3) Найденная система собственных функций е„такова, что любая функция г'(и, у), дважды непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая граничному условию, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по е„.
Это утверждение можно обосновать, сославшись на теорию кратных рядов Фурье. Покажем, что система (19) содержит все собственные функции нашей задачи о собственных значениях. Предположим, что существует собственная функция ие, принадлежащая собственному значению Ле. Так как функция ие ортогональна всем собственным функциям, принадлежащим другим значениям Л, то в ее разложении по системе (19) останется лишь конечное число членов, соответствующих собственным функциям, принадлежащим собственному значению Л„= Ле. Поэтому ие является линейной комбинацией лишь тех функций (19), которые соответствуют Л„„, = Ле. Таким образом, все функции прямоугольной мембраны даются формулой (19). 1'З,З зз,з + из,з З1 и + 2Н1 Ряс. 7б Возвращаясь к исходной задаче для уравнения (10), мы видим, что частные решения и„= е„(т, у) (В„,„, соз з72Л„а1+ В„сйп 277Л„а1) представляют собой стоячие волны, профиль которых определяется собственными функциями е„.
Геометрические места точек внутри прямоугольника, в которых собственные функции обращаются в нуль,. называются узловыми линиями. Рассмотрим для простоты квадрат со стороной 6 (Ь1 — — бз). Узловые линии функции 2, пк пзя с„„, = — ьйп — кззп у являются прямыми, параллельными осям координат (рис. 76, а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
