УМФ Тихонов (965259), страница 99
Текст из файла (страница 99)
К этому классу методов принадлежит и итерационный метод Якоби, который соответствует выбору в качестве В диагональной части оператора А и тя = т = 1. Задача оптимального выбора В в классе операторов (28) решена. Отношение с = 7з/~з в двухстороннем операторном неравенстве (16) для А = А* > 0 будет максимальным, если в качестве В выбрать диагональную часть оператора А. И в этом смысле метод Якоби является оптимальным. При 6(х) =2(Ь, +лз') (29) с учетом (7), (8) имеем ~ = — = 0()11/з), )Л,(з = Ьз+ йз. 72 Для числа итераций метода простой итерации с оптимальным значением т = тс = 2/(7з + тз) и метода скоРейшего спУска пРи выбоРе В согласно (28), (29) справедлива оценка нс(с) = О, 1п— (30) Тем самым, число итераций пропорционально общему числу узлов (не- известных).
Расчет итерационных парамстров трехслойного итерационного метода (23) в соответствии с (27) определяет метод сопряженных градиентов, который наиболее широко используется в вычислительной практике. Метод сопряженных градиентов (23), (27) при выполнении (15), (16) сходится в Нд, и для числа итераций и, необходимых для достижения точности е, справедлива оценка (20). 5. Пиагональный оператор В. Простейший класс итерационных методов связан с выбором диагонального оператора В. В этом случае 657 з 5) ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Для чебышевского итерационного метода и метода сопряженных градиентов вместо (30) имеем следующую оценку: 2г1 11 по(е) = О ( — 1п -) . )11( Е (31) 1 1 Аг = — Ю+ь", Аг = — Ю+Е*. 2 ' 2 (ЗЗ) С учетом выбора Юу= 1(т)В, б(я) =2(5 2+5,-2). (34) Для операторов А„, о = 1, 2, разложения (32)., (ЗЗ) имеем следующие представления на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на уь.
1 1 Агу = Уяг + Уяг; 11 2 1 1 Ау= — — у, — — у, . (35) ':сг А иг Оператор В в попеременно-треугольном итерационном методе является факторизованным и выбирается в виде произведения двух треугольных и диагональной матриц: В = (В + агА1) гг 1 (гг + агА2), где ог числовой параметр. Скорость сходимости итерационного метода (13), (15), (36) определяется постоянными энергетической эквивалентности 71, 72 в двухстороннем неравенстве (16). Найдем эти постоянные при априорной информации в виде неравенств бган<А, Ага Аг< — А, бг>0.
бг 4 (37) Для оператора В имеем В = (Ю+огА1) гг 1(Ю-ьогА2) = гг-~-ог(А1 г-Аг) +ог~А10 1Аг. (38) Принимая во внимание (37), получим 2с 1 2 бг'1 В< ( — +ог+аг — (А. 4,) 42 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский По сравнению с методом простой итерации метод с чебышевским набором итерационных параметров сходится значительно быстрее. 6. Попеременно-треугольный итерационный метод. Рассмотрим задачу (5) в условиях, когда самосопряженный и положительный оператор А представляется в виде А = А1+ Аг, .А1 — — А;. (32) Пусть оператор Ю соответствует диагональной части А,,С нижней треугольной матрице. Тогда в силу А = Д+ Ю+ Д* для операторов А, а = 1, 2, из разложения (32) получим 658 ДОПОЛНЕНИЕ 1.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Тем самым для уг имеет место выражение бз 1+ ыб+ оггбзбг/4 (39) Для получения постоянной уг представим оператор В на основании (38) в следующем виде: В = Ю вЂ” ог(Аз+ Аз) +ьг~АгЮ 'Аг+ 2ог(Аг+ Аг) = = (Ю вЂ” огАз) В ' ( — ыАг) + 2огА. Так как оператор В положителен, то отсюда получаем (Ву,у) > > 2ог (Ау, у), т. е. А < угВ, где (40) Сейчас мы можем выбрать параметр ог в (36) исходя из условия максимума с = с(ог) = уз/ уг.
С учетом (39), (40) получим уз 2ыбг 7г 1+ огб+ ог~бгбг/4 Максимум С(ог) достигается при ог = о/о = 2 (бгбг) (41) и он равен (В Рз— (с определяется согласно (42)). Учитывая малость ц, для числа итераций можно получить более простое выражение: гю(е) =!п(2е ~)/ (2зГ2ц'~4) ц бг/бг (43) Попеременно-треугольный метод может реализовываться и в варианте метода сопряженных градиентов. И в этом случае число итераций характеризуется оценкой (43). 2цВг с = с(ого) = (42) 1 + г19г ' бг На основании полученных оценок можно сформулировать соответствующий результат о сходимости попеременно-треугольного итерационного метода при оптимальном выборе параметра ы. Попеременно-треугольный итерационный метод (13), (32), (36), (37), (41) с чебышевским набором итерационных параметров сходится в Нл и Нв, причем для числа итераций справедлива оценка и > > по(е) = 1п(2е ~)/1п(р ~), где 659 з 5) ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Найдем теперь постоянные д1 и дг в неравенствах (37).
На основе выбора (34) и оценки (7) - (8) имеем д1 — — 0(~6~2). Принимая во внимание (34), (35), получаем (А1Ю 'Агу.,у) = г' г (Агу, Агу) 1+ 2 Пля правой части имеем (.42У,-'12У) = г (У21~ 1) — (У~1)у*г) + г (Утг 1) Принимая во внимание, что 2 /' 1 1 '1 1 получаем /1 11 (Агу,Агу) ~ ~( ~ г ь лгу) (.4у у). 51 2 Тем самым приходим к неравенству (А1Р 1Агу, у) ( 0,5 (Ау, у). Сопоставляя со вторым неравенством (37), имеем дг = 2. С учетом этого для чебышевского итерационного метода верна оценка числа итераций (44) Таким образом, число итераций пропорционально корню квадратному из числа узлов по одному направлению (в нашей двумерной задаче корню четвертой степени из общего числа узлов). Оцснка (44) показывает, что рассмотренный метод значительно предпочтительнее рассмотренных ранее других итерационных методов.
Параметр ю в попеременно-треугольном методе (13). (36) можно включить в оператор Р и использовать (13) с В = (Ю + А1) Р 1 (Р + + Аг). Оптимизация итерационного мстода достигается только за счет выбора оператора Р. Это особенно важно при рассмотрении задач с переменными коэффициентами. Заслуживает внимания попеременно- треугольный итерационный метод в форме В = (Р + ь) Р ' (Ю + Д*). (45) Если в качестве Р взять 0Р, где 0 постоянная, а Р диагональная часть А, то выбор (45), как и в случае треугольных итерационных методов. эквивалентен ранее рассмотренному выбору. Конечно, если Ю ~ 0Р, то эквивалентности между этими вариантами попеременно- треугольного итсрационного метода уже нот. ЛОПОЛНЕНИЕ П СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 1дгт деЛ 1дго Аго+Ле — г + +Ло О, О<с<то т дт ~, дт) т' дуг (1) о(„— „=О, ох:О.
Функцию о ищем в виде е(т, ~р) = Л(т)Ф(~о). Подставим о = НФ в урав- нение и разделим переменные; т(т Н')' + Лт'Я Фо Н Ф = — — = рв где л = сопке. Отсюда следует, что Фо+дФ = О, — ( Н')'+ (Л вЂ” Я Л = О, Н(то) = О. В силу однозначности решения функция Ф(уг) должна быть периодической, т. е. Ф(~р+ 2я) = Ф(д).
Это условие дает р = пг, где и 1. Введение. Метод разделения переменных для уравнений с частными производными приводит к задаче Штурма Лиувилля. Лля уравнений с постоянными коэффициентами и граничными условиями 1-го рода, которые рассматриваются в гл. П, П1, г', мы получаем задачу на собственные значения, или задачу Штурма — Лиувилля. Найти значения Л, при которых однородное уравнение Ае+ Ло = = О в областви Т с однородным условием е~п = О на еранице Х имеет нетривиальные решения о(Р) у~ О (собственные функции). Если Т отрезок О < х < 1, прямоугольник (О < х < 1г, О < у < 1г) или параллелепипед (О < х < 1ы О < у < 1г, О < г < 1з), то собственные функции еи(Р) выражаются через тригонометрические функции. Если Т круг, цилиндр или шар, то для нахождения собственных функций вводятся новые специальные функции -- цилиндрические и сферические.
Рассмотрим отдельные случаи. 1. К р у г О < т < то. В полярных координатах (т, у) задача Штурма Лиувилля имеет вид 661 ВВЕДЕНИЕ целое число. Полагая х =,Б г, приходим к уравнению цилиндрических функций, или уравнению Бесселя п-го порядка: — — — + 1 — —, у=б, г 1, / и или у + — у+ 1 — — У=О~ х (, хг/ (2) причем Я(г) = у(Яг). При п = О получаем уравнение Бесселя нуле- вого порядка 10~ 1уЛ о 1 / — — х — +у=О, или у" + — у +у=О, х дх (, дх,l х В сферических координатах 1 д ( г до~ 1 ~~г ~+ ), =,'д, ~'дг) (4) 1 д / доЛ 1 д'о его —, —,. ~зш — ) + Положим о = В(г)ш(В, ~р) и проведем разделение переменных: (г В') +Лг Я Ьа .ш Л откуда следует ~1в,ою+ рю = О, — ', (г'Л')'+(Л- — ",) В=О. Л(ге) =О.
(6) Подстановка х = ч'Л г., у = В/огх приводит (6) к уравнению Бес- селя г / оЛ г 1 у + — у+~1 — — (у=О, и =У вЂ” —. х' ~, хг)' 4 Для функции и~(0, ~р), определенной на сфере, мы получили уравнение (5), которое имеет ограниченное решение (сферические функции) только при д = п(ц+ 1). Таким образом., при разделении которое соответствует случаю решений задачи (1), обладающих осевой симметрией. Решения уравнения (2) называют цилиндрическими функциямии. К уравнению (2) приводят также задачи для уравнения Лапласа и волнового уравнения в случае, когда область Т есть круговой цилиндр.
2. Шар О < г < ге. Рассмотрим задачу Штурма Лиувилля Ьо + Ло = О,. О < г < ге, о)г — „= О. (3) 662 ДОПОЛНКНИК П. СПКЦИАЛЬНЫК ФУНКЦИИ и / з с1ФЛ вЂ” 1(1 — в ) — ) +рю=О, где в=сова, — 1<в<1. (7) гЬ 1 ав Это уравнение Лежандра, имеющее только при д = п(п + 1) ограниченное решение (полиномы Лежандра). Сферические функции выражаются через производные полиномов Лежандра и тригонометрические функции. В квантовой механике часто встречаются полиномы Чебышева Эрмита и Чебышева .-- Лагерра. 2.
Обгцее уравнение теории специальных функций. Уравнения для простейших специальных функций могут быть записаны в виде Бу+Лр(х)у=О, а<х<Ь, р(х) >О, (8) й(х) > О, д(х) > О. а / ау1 Бу = — ( й(х) — ) — у(х)у, Йх Их Простейшая краевая задача ув + Лу = О, .у(0) = у(1) = О, соответствующая а = О., Ь = 1, у = О, й = р = сопв1, определяет тригонометрические функции.
Рассмотрим уравнения для других специальных функций. 1. Уравнение Бесселя (2), или (ху')' + (Лх — пз/х) у = О, соответствует й(х) = х, р(х) = х, д(х) = нз7х, а = О, Ь = гв. 2. При й(х) = 1 — хз, р = 1, д = О, а = — 1, Ь = 1 получаем уравнение Лежандра ((1 — х )у] +Лу=О. 3. Уравнение присоединенных функций Лежандра 2 ((1 — хз) у~)~ — у + Лу = 0 1 — хз (10) та соответствует й(х) = 1 — хз, г1(х) =, р = 1, а = — 1, Ь = 1.
1 — х" 4. Уравнение Чебышева — - Эрмита (е ~ у')'+ Ле ~ у = О, или ув — 2ху'+ Лу = О, (11) соответствует й(х) = е ', у(х) = О, р(х) = е ~, а = — со, Ь = оо. 5. Уравнение Чебышева Лагерра (хе ~у')'+ Ле '"у = О, или ув+ (1 — х)у'+ Лу = О, (12) соответствует й(х) = хе ~, д = О, р = е ', а = О, Ь = оо. персменных для оператора Лапласа в сферической системе координат мы приходим к сферическим функциям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
