УМФ Тихонов (965259), страница 100
Текст из файла (страница 100)
В частном случае, когда ю = = ш(У) не зависит от р, уравнение (5) принимает вид ВВЕДЕНИЕ Характерной особенностью указанных уравнений является обращение в нуль коэффициента Й(х) по крайней мере на одном из концов интервала (а, 6). Это свойство Й(х), как будет показано ниже, играет важную роль для постановки краевых задач для уравнения (8). Рассмотрим поведение решений уравнения (8) вблизи особой точки, в которой Й(х) обращается в нуль. 3.
Поведение решений в окрестности х = а, если Й(а) = О. Рассмотрим случай, когда а, конечно. Если в уравнении (8) о(х) — Лр(х) заменить функцией у(х), то все результаты, полученные ниже для уравнения Еу= (Й(х)у')' — в(т)у = О, .Й(х) > О при а < х < о, (8') будут справедливы и для уравнения (8).
Лемма 1. Пусть уз(х) и уг(х) два линейно независимых решения уравнения (8'), коэффициент которого Й(х) имеет вид Й(х) = (х — а) у(х), д(а) ф О, (13) где ~р(х) > О непрерывная на (а, о) функция. Если у1(х) ограниченное решение, представимое в виде (14) уг(х) = (х — а)"и(х), и > О, где и(х) -- непрерывная на (а, о) функция и и(а) ф О, .то второе решение уг(х) прп х — ь а является неограниченным. Заметим, что уг(х) можно представить в виде квадратуры через линейно независимое решение уз(х). В самом деле, из равенства О = = дгЕуг — узЕуг = (Й(угдз — узуг))' следует, что вронскиан функций дз(х) и уг(х) равен узуг — угу( = С(Й(х), где С ф О, так как уг(х) и уг(х) линейно независимы. После деления на уг получим (дз/дз)' = = С/Йу(. Интегрируя это уравнение от хо до х, получим В силу линейной независимости дз(х) и уг(х) можно считать Сз —— = О.
Кроме того, можно положить С = 1, так как решение однородного уравнения определено с точностью до постоянного множителя. В результате будем иметь до яь причем хе выберем так, чтобы уг(а) не обращалось в нуль на интервале а < о < хо. 664 дополнкник и. спкцилльнык Функции подставляя вместо к(х) и у1(х) их выражения и пользуясь теоремой о среднем, находим (заменяя уг на уз) да уг(х) = (х — а) "и(х) / *о (х — а)" и(х) / сЬ ф(х*),/ (о — а)2 -в *о — 1 (х — а)пи(х) 2п(о — а)2" при п>0, ф( *) 1п(а — а)1*, при п = О, где, ф(х) = 1р(х)и (Х), х' Е (х, хв).
Представим уг(х) в виде у2(х) = 11(Х) + 12(х, Хв), где 1 2п(х — а)" "-,(х)', 1п(х — а) при п>0, п=О; 1 при п>0, 2т1.(хв — а)2" и(х)(х — а)" ф(х') — !п(хе — а) при и = О. Отсюда видно, что функция эг(х, хв) при х — ~ а остается ограниченной, а ~11(х)~ — ~ со при х — т а либо как (х — а) ', либо как )1п(х — а)~. Фактически доказана следующая лемма. Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Если у1(а) ф О, т. е. и = О, то уг(х) имеет при х = а логарифмическую особенность; уз(х) 1п(х — а) при у1(а) ~ 0 (п = 0).
Если, ут(х) имеетп прн х = а нуль 11-го парят)ка: ут(х) = (х — а)"н(х), и > О, то уг(х) имеет при х = а полюс порядка п: уг(х) (х — а) ", если у1(х) (х — а)", и > О. Лемма 3. Пусть вьтолнены условия леммы 1 и коэффициент у(х) либо ограничен, либо стремитася к со при х — ~ а, тпак что д(х) =, о 3 О, дв(а) у'-О, чв(х) 665 ВВЕДЕНИЕ где до(х) непрерывная нв (в,Ь1 уункиия. Тогда для ограниченного решения дз(х) вида (14) выполняется условие 1пп Ь(х) — (х) = О, дуз я — ~а йх (16) если, кроме того, .имеет место неравенство и > и — 1.
В самом деле, фиксируем некоторое значение хы а < хз < Ь, и проинтегРиРУем (8') от х До хы а < х < хН Й(х)у',(х) = Й(хз)у,'(хз) — / д(а) уз(а) да = Я(х). Подставив сюда выражения для уз(х) и 4(х), найдем Я(х) = й(х~)уз(хз) — / с1а, п > О. Т ув(а) и(а) / (а — а)п — и Отсюда видно, что ®х) непрерывная на отрезке о < х < хз функция, если и — и < 1, или и > а — 1.
Переходя к пределу при х — > ов видим, что существует предел 1пп Я(х) = ®а) и, следовательно, х — ~а 11ш Й(х)дз(х) = ®(а). Покажем, что ®(о) = О. Для этого выразим уз(х) через (.,)(х): уз(х) = уз(хд) — / да = уз(хд) — ( да. ,/ к(а) ,/ (а — о) Зэ(а) (17) Ту -~- Лру = О и Вр = О в промежутке (о, Ь), на одном или обоих концах которого й(х) обращается в нуль, Если Ь(а) = О и выполнено условие (13), то при х = а мы будем требовать ограниченности вида (14) решения уравнений (17).
При этом не требуется, чтобы решение у(х) при х = а принимало заданное значение. Общее решение уравнений (17) есть у(х) = Ауз(х) + Вуз(х), где рз и уз любые линейно независимые решения уравнения (17), А и В .-- произвольные постоянные. Если уз(х) удовлетворяет условию Отсюда видно, что дз(х) может быть ограничена в точке х = в лишь при условии Ц(а) = О, откуда и следует (16). 4. Постановка краевых задач. Перейдем к постановке краевых задач для уравнения 666 ПОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ограниченности (14) при х = а, то уг(х) при х — > а обращается в бесконечность (лемма 1). Поэтому из требования ограниченности (14), которое мы будем записывать формально в виде 1у(а)~ < оо и называть естественным условием ограниченности (поскольку оно является следствием структуры оператора 1), сразу следует В = О.
В результате мы приходим к следующей краевой задаче. Найти собственные значения и собтпвенные функции у(х) у':- 0 уравнения (Ьу')' — ду+ Лру = О, Ь(х) > О, а < х < Ь, (19) где Ь(х) имеет вид (13), при условии ограниченности (14) или (18) и обычном условии, например 1-го рода: у(Ь) =0 ари х=Ь. (20) Если Ь(а) = 0 или Ь(Ь) = 0 (напримср, для уравнения Лежандра), то на обоих концах интервала (а,Ь) ставится условие ограниченности, так что Уз(х) = (х — а)"'(Ь вЂ” х) "зи(х1, где п, > О, пг > О, и(а) ф О, и(Ь) ~ О, и(х) ..
непрерывная на (а, Ь) функция; это условие формально записываем в виде !у(а)~ < оо, $(Ь)! < оо. (20') Если интервал (а, Ь) бесконечен, как, например, а = — со, Ь = сю для уравнения Чебышева Эрмита или а = О, Ь = со для уравнения Чебышева Лагерра, то при а = — оо или при Ь = оо в этом случае условие ограниченности (18) заменяется более слабым требованием: решение на бесконечности не должно возрастать сильнее, чем конечная степень х.
Сформулируем общие свойства собственных функций и собственных значений поставленной краевой задачи (18) (20). 1. Существует бесчисленное множество собственных значений Л1 < Лз < Лз « ... Ли < ..., которым соответствуют собственные функции уз(х), уг(х), ..., у (х), ... 2. При д > 0 все собственные значения нсотрицательны: Л„> О. 3. Собственные функции у„(х) и угл(х), соответствующие разным собственным значениям Л„и Ля,, ортогональны между собой с весом р(х): (у„, у„,) = / у„(х)у (х)р(х) дх = О. 4. Имеет место теорема разложимости: функция г(х) разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям бб7 ВВЕДЕНИЕ у„(х) данной задачи У(х) = ~ Ух у.
(х), (У, у.) (Уа Ух) если: 1) 7(х) имеет при а < х < 6 непрерывную первую и кусочно- непрерывную вторую производные; 2) 1" (х) удовлетворяет граничным условиям задачи; при згаом, если й(а) = О, то ~7(а)~ < оо при О < о(а) < оо, 1(а) = 0 при д(х) — э оо. Свойства 2 и 3 доказываются, как и в гл. П, 2 3, с помощью формул Грина. При этом используется ограниченность в точке х = о, функции у„(х), а также следующее из леммы 3 равенство 1щ1 й(х) у,'(х) = О, в ах а силу чего подстановки в формулах Грина при х = п, обращаются в нуль. Доказательство свойств 1 и 4 обычно проводится с помощью теории интегральных уравнений.
Пля того чтобы 1 и 4 имели место, достаточно, чтобы й(х) была непрерывной, а о(х) либо непрерывной, либо имела вид дг(х)1'(х — а), где Оз(х) --- непРеРывнаЯ фУнкциЯ. ДлЯ изУчаемых ниже классов специальных функций эти условия выполнены. Краевая задача (19) (20) эквивалентна интегральному уравнению |р(х) = Л / К(х.,б) Щ) д6, а где К(х,6) = С(х., Ць7р(х)рЯ, зх(х) =;/р(х) у(х), а С(х6) функция Грина для оператора б.
В случае й(а) = О, .й(Ь) ф О, у(6) = 0 функция Грина определяется следующим образом. 1. С(х,6) непрерывная функция х при фиксированном 6, а < 6 < 6. 2. Первая производная дС/дх испытывает скачок при х = 6: х= Сз-0 й(х) — (х,б) =й(6) ~с'(Ь-ьО,Π— с'(6 — О,е)~ = — 1. хх.в — е 3. ох С(х, О = 0 во всех точках а < х < Ь, «роме х = ф 4. С(х,й) удовлетворяет граничным условиям ~С(а,6)~ < ос., С(6,6) = О.
из определения С(х,6) следует, что С(х,6) > 0 при х,с с (а,Ь), С(х,с) = = С(6, х) (симметрия). Перейдем к изучению конкретнык специальных функций: цилиндрических и сферических функций, а также полиномов Чебышева Эрмита и Чебышева - - Лагерра. ЧАСТЬ 1 ЦИЛИНПРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ $ 1. Цилиндрические функции При решении многих задач математической физики приходят к обыкновенному дифференциальному уравнению или — — — + 1 — —,, у=О, называемому уравнением цилиндрических функций и-го порядка.
Это уравнение часто называют также уравнением Бесселя п-го порядка. Характерными задачами (см. гл. Ч, Ч1 и ЧП), приводящими к цилиндрическим функциям, являются краевые задачи для уравнения гаи + к~и = О (2) вне или внутри круга (вне или внутри цилиндра в случае трех незави- симых переменных).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
