УМФ Тихонов (965259), страница 103
Текст из файла (страница 103)
(15) я=о где 1 2Ь-~-к 1,(х) = ~~ Г(й + 1) Г(й -~- и + 1) ( 2 ) (16) вещественная функция, связанная с,1,(зх) соотношением 1,(х) =1 '1,(зх), или 1,(х) = е "7 1,(гх). В частности, при и = О (2) 2' 2 (2) Из ряда (16) видно, что 1,(х) являются монотонно возрастающими функциями, имеющими при х = О нуль и-го порядка. Пользуясь асим- птотической формулой (о), получим, что для 1,(х) должна иметь место асимптотическая формула ГГ 1„(х) ~/ г' '2' 2нх (18) при больших значениях аргумента х. Аналогично вводится 1,(х).
Функции 1 и 1 при нецелом и линейно независимы, так как в точке х = О при и > О функция 1,(х) имеет нуль и-го порядка, а 1,(х) полюс х '. Если и = п целое число, то 1 в(х) = 1л(х). Цилиндрические функции мнимого аргумента являются решениями уравнения 2~ 1, 1 и 1 у + -у — 1+ — у=о., х2) и, в частности, функция 1е(х) удовлетворяет уравнению 1 у -~- — у — у=О. х' (20) К„(х) = — яге~"У Х~~ ~(гх).
(2Ц Наряду с функцией 1,(х) рассматривают функцик2 Макдональда К,(х), определяемую с помощью функции Ханкеля чисто мнимого ар- гумента 688 ПОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. 1 К,(х) является вещественной функцией х. В самом деле, формулы (12) и (13) дают К (х) = (1 и(х) — 1.(х)) при и Ф и, 2зшни (22) Пользуясь асимптотическим выражением для Н,, находим Ф ) я К„(х) =~/ —,е '+ ..
'у' 2з. (23) Формулы (23) и (18) показывают, что К,(х) экспоненциально убыва- ют, а 1,(х) экспоненциально возрастают при х — ~ оо. Отсюда следует линейная независимость этих функций, а также возможность предста- вления любого решения уравнения (19) в виде линейной комбинации д = А1,(х) + ВК,(х). В частности, если д ограничено на бесконечности, то А = О и д = = ВК,(х); если же д ограничено при х = О., то В = О и д = А1,(х). Из линейной независимости 1, и К, следует, что К,(х) имеет в точке х = О полюс и-го порядка (К (х) х ') при и ф О и логарифмическую особенность при и = О.
В и. 4 показано, что 1 Ко(х) = 1п — + ... при х — э О. На рис. 107 (с. 768) даны графики 1о(х) и Ко(х). В отличив от ,Х„(х) и 1д,(х) функции 1 (х) и К,(х) являются монотонными (1,(х) возрастает, а К,(х) убывает с ростом х). Наиболее важное значение имеет функция Ко(х) = — Н„(1х). Ко(х) = / е лС (х > 0). о (24) Нетрудно убедиться в том, что интеграл Г(х) = ( е хо 141 о (24') 4. Функция Ко(х). Покажем, что для функции Ко(х) справедливо следующее интегральное представление; з 3) РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 689 удовлетворяет уравнению (25) В самом дело, Д(Р) = э/ е хс 4 (сЬ Е вЂ” — с1з4 — 1) 45 = о — сск4 5254~ (' — сса4 х ( о о Интогрируя второо слагаемое по частям, получаем — ссн4 5445 ~~1 — хса4 ~ / — хса4 122444 х ) откуда и следует ь(Р) = О. Полагая с1з 5 = г1, преобразуем интеграл (24') для Р(х) к виду — хя Р(х) = / 49.
1 получаем — х е — х Р(х)= / 46= Рз() о 5( — -ь2) При х э со ( е 4 2 ( сз чсх 1ппРз(х) = / 46 = — / е Ж =— / зУ24 з/с2 / зс2 Следовательно., при больших значениях х Рз(х) = — (1+ е), ,/т з/2 где е — з О при х э оо. Отсюда получаем асимптотическую формулу Р(х) = ° — е ' -1-..., Ч 2х 44 А.
Н. Тихонов, А. А. Самарский (26) Пользуясь этой формулой, можно выяснить характер поведения функции Р(х) при х э со. Производя еще раз замену переменной х (с1 — 1) = 6, 690 ПОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. 1 где точками отмечены члены более высокого порядка малости. Введенная с помощью интеграла (24') функция Г(х) является решением уравнения (25), ограниченным на бесконочности, поэтому Г(х) = ВКО(х). Сравнение асимптотических формул для Ко (х) и Р(х) показывает, что В = 1 и, следовательно, Ко(х) = / е ""'~~ (х > О).
(24) о Выясним характер функции Ко(х) при х э О. Представим интеграл с †Ко(х) = Р'(х) = / й/ /тцг 1 в видо — « Ко(х) = АУЛ (хз/ = Л). ./ ъ/Лг — хг Разбивая этот интеграл на три части: л д л с/Л /' (е « — 1) дЛ / е '«пЛ Ко(х) = + /' + /' ч Лг: хг ./ /Лг хг ./ /Лг хг где А некоторая вспомогательная постоянная, видим,что первое слагаемое равно А+,Яг -хг 1п = — !пх -Е х а второе и третье слагаемые ограничены при х э О. Отсюда следует, что 1 Ке(х) = — !пх -1-...
= 1п — -!- .. х (27) 1 д / диЛ 1 ди гли — и и = — — ( т — ) -1- — — и и = О т дт (, дт/ тг дзгг (28) (лм = — ), где точки означают слагаемые, остающиеся конечными при х = О. Таким образом, функция Ко(х) является решением уравнения (25), имеющим логарифмическую особенность в точке х = О и экспоненциально убывающим при х э оо.
Следующая задача дает физическую интерпретацию функции Ко(х). Пусть в начале координат действует стационарный источник неустойчивого газа мощности //о. Стационарный процесс диффузии сопровождается распадом газа и описывается уравнением 3 3) РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 691 где Д -- коэффициент распада, Р— — коэффициент диффузии. Функция ис- точника этого уравнения обладает круговой симметрией и, следовательно, удовлетворяет уравнению 1 А / Аи1 — — (х — ) — и=О (х=зт); х с(х (, Ах) кроме того, функция источника имеет логарифмическую особенность в нача- ле координат и ограничена на бесконечности.
Отсюда следует, что функция источниха пропорциональна Ко(ит): С = АКо(ат). (29) Для определения множителя А воспользуемся условием для источника ди,1 !пп — Р—,) с(з = Яо, е — >О / ~, дг К (30) где интограл слева выражает диффузионный поток через окружность К, ра- диуса е с центром в источнике. Подставляя в это условие вместо и функцию С = АКо(згг) и учитывая логарифмическую особенность функции Ко(х) при х = О,получаем !шз — з( Р— дз = !шз ~Р 2пеА — ~ = 2пйР = Яо. -эо !( / дг ~ — эо! е К, Отсюда А ()о 2пР С вЂ” Ко( г). (ЗЦ Интегральную формулу (24) для Ко(х) можно получить, исходя из простых физических соображений. Рассмотрим нестационарную задачу диффузии газа с распадом.
Пусть в начале координат находится источник постоянной мощности Ро, действующий начинал с момента ! = О. Будем предполагать, что в начальный момент ! = 0 концентрация газа всюду равна нулю. Концентрация и(х, у,1) должна удовлетворять уравнению РЬи — Ди = из (32) и = йе преобразуется в обычное уравнение диффузии и соответствующим дополнительным условиям. Уравнение (32) при помощи подстановки 692 ПОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ )Ч. 1 для котОрого функция влияния точечного источника имеет вид Таким образом, функция влияния мгновенного точечного источника для уравнения (32) равна Функция влияния источника мощности Оо, непрорывно действующего от 1 = 0 до момента 1, дается формулой с 1 ))П .) С = Юо е зоб — ) йт.
4пР )1 — т) О Вводя новую переменную 9=1 — т, получаем О Функция источника, соответствующая стационарной задаче, может быть найдена предельным переходом при 1 — ) со в предыдущей формуле; — 4пР ) 0 О Преобразуем этот интеграл при помощи подстановки о = Сез (где С некоторая постоянная): С 4РС находим 1 ,г С= 4пр- ) )р 2 Требуя, чтобы выполнялось равенство г г г )з зсг г 2ДР 4РС 2 Р 2 (х = — ). 1 4) ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 693 Отсюда следует, что стационарная функция источника имеет вид О~ ОО С 4)о 1 — мг сь4 4Х !ХО 1 — яь с!~4 4Х !Хо 4кХ2 / 2кХ! / 2яХ! — оо о Таким образом, рассмотренная здесь задача приводит к интегральному представлению (24) цля функции Ко1х).
5 4. Представление цилиндрических функций в виде контурных интегралов 1. Контурные интегралы. Рассмотрим уравнение колебаний иц = аз(и + и,з) = азХззи и будем искать его решение в виде и(х,у,1) = ц(х,у)е'~~; для ц(х,у) получим уравнение Х!зи + й~ц = О (1с = о!/а). Его частными решениями являются функции о = ех!!" и о = е~'!я -- амплитуды плоских волн и = ец"'!~"~! и и = е'!'! ья~, распространяющихся соответственно вдоль оси х и вдоль оси у.
Плоская волна, распространяю!дался в направлении 1., очевидно, имеет вид — и(нб — н(х созгьуа!к г! — гяьььз(г — и! ц=е =е =е х = г соз о, у = г яп о, 1 = !соз !р, яп !р). Если о = хХ2, то на оси у амплитуда волны, падающей под углом р к оси х, равна — ЮьньГ Будем искать решение Я„(х) уравнения Бесселя Х(у) = х уц + ху' + (х — и )у = О (2) в виде суперпозиции плоских волн вида (1), считая при этом ~о = !р! + + зу!з комплексными и обозначая ьг = х. Положим Я,(х) = / К(х,!р)Ф,(~р)сцр= / е '"" гФ,(!р)!Хр, !3) С С где С вЂ” некоторый контур на плоскости !р = !р! + зозз, К(х, !р) = = е """", Ф,(!р) не определенный пока фазовый множитель.
Выберем С так, чтобы интеграл !3) сходился, а Ф,(!р) так, чтобы этот интеграл удовлетворял уравнению Бесселя. Найдем сначала Фк(!р), предполагая, что интеграл 13) сходится и его можно дифференцировать под знаком интеграла. Вычислим Ь(К). Замечая, что К, = — зх соя!рК, К,, = зхзш!рК вЂ” то созе!рК, К = — !яп!рК, К, = — зш~!рК, получим хзХ!„+ хК, + х К = К(хан сов !р — зхзшоз) = — К, Х(К) = = -1и Х! + Ки„.,) и, следовательно, Х(Я ) = — / (К +и К)Ф (!р)!Хр. с 694 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. 1 Проинтегрируем по частям, считая, что подстановки обрашаются в Рис.
95 нуль (на бесконечности, если контур уходит в бесконечность): 1 д ( дК дф,) г(т ) (фл+мгф )К 1г ф К и йр ,/дд( ' д~р д~р1 с с /(фа+ гф )К 1 с Для того чтобы ь(Я,) = О, достатсчно, чтобы Выберем Ф, = е"и. Тогда Я,(т) = ) е '*""иес" и ду. Для сходимости этого интеграла достаточно, чтобы Не(гжэшр) =Не(маз1п(~рг+мпг)) = — тсоз~ргя1г~рг >0 (~р=~ог+6рг). Это условие выполнено при и > О, если либо уз<0, — — +2йя < рг < — +2йя, 2 2 (4) 7Г Зя либо рг > О, — +2йя < рг < —, +2йя; 2 2 й=х1, х2, На рис. 95 области, по которым должен проходить контур, заштрихованы.
В качестве контура С можно взять любой контур, асимптотические ветви которого лежат в заштрихованных областях. з 4) ПРЕЛСТАВЛЕНИЕ В ВИЛЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 695 2. Функции Ханкеля. Выберем два контура; С1 контур, состоящий из ггуча ( — гсо, 0), отрезка (О, — 1г) и луча ( — я, — гг+ гмю), а контур С2 = (гоо + ярк) + (гг, 0) + (О, — гсо) (рис. 96). Соответствующие интегралы (3) опрецеляют цилиндрические функции Н(ь((х) = — — / е """Ре"Рг(гр, и = 1, 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
