УМФ Тихонов (965259), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Найти такие значении Л, для которых на оглрезке — 1 < х < 1 существуют нетривиальные решения уравнения Лезкандра — ~(1 — х ) — ~+Ау=О, — 1<х<1, г ду (15) Йх д) 713 ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА ограниченные при х = х1 и удовлетворнюиьие условию нормировки у(1) = 1. 4. Ортогональность полнномов Лежандра. Уравнение Лежандра (15) является частным случаем (при у = О, р = 1, й(т) = 1 — хз) рассмотренного во Введении уравнения ()с(х) у')' — о(х) у + Лр(х) у = О. (16) Поэтому к нему применима общая теория для уравнения (16). Из этой теории следует: 1) полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой: Р„(х) Р„,(х) е)х = О при т ф и; — 1 2) второе линейно независимое решение уравнения Лежандра при Л = п(п + 1) обращается в бесконечность при х = х1 как 1п(1 ~ х).
Система ортогональных полиномов, как известно, является полной~1. Поэтому уравнение Лежандра не имеет нетривиальных ограниченных решений ни при каком Л ф п(п+ 1). В самом деле, если бы ц ~ Система ортогонэльных функций (заа) называется полной, если не существует непрерывной функции, не равной тождественно нулю и ортогональной ко всем функциям данной системы. Система ортогональных функций (ьва) называется замкнутой в промежутке (а, Ь), если любую непрерывную функцию можно аппроксимировать в среднем с любой степенью точности при помощи линейной комбинации функций (Заа). Иными словами.
каково бы ни было е > О, всегда можно указать такую линейную комбинацию функций Я = сьЬаг -Ь... -'е е уаа, что (1(х) — оо(х)) дх < е. а Для замкнутой системы функций (Ьаа) имеет место соотношение ь Уз( )1 ~~,' У (э а=1 где уа коэффициенты Фурье функции 1(х) (уа = (1/~,) ) Дб) ааа(я) ду), ь Полнота есть следствие замкнутости. Пусть дана некоторая замкнутая система ортогональных функций (Эаа(х)). Допустим, что существует 714 ДОПОЛНЕНИЕ П.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ~Ч. П существовало решение у(х) для Л у': п(п + 1), то оно было бы ортогонельно ко всем Рп (х). Отсюда, в силу полноты системы ортогональных полиномов (Р„(х)), следует, что у(х) = О. Тем самым доказано, что мы нашли все ограниченные нетривиальные решения уравнения Лежандра. 5. Норма полнномов Лежандра.
Вычислим норму полиномов Р„(х) Применим рекуррентную формулу (11) дважды: сначала выразим из нее (предваритсльно заменив в (11) п -~- 1 на и) Р„через Р„г и Р„ а затем хРп через Рп г и Рн ю Учитывая ортогональность полиномов Р„„Р„, ы Р„я, получим ПР„П = — / Рн(х)((2п — 1) хР„~(х) — (и — 1)Рк я) с)х = -1 ',l (хРн)Ро,4х=,'" 'Ю,,~!' и у ' 2п+1 — 1 непрерывная функция у(х) х О, ортогональная ко всем еоп(х).
Тогда в силу замкнутости системы функций (рн) должно иметь место равенство ь т" (х) дх = ~ Ае ~„= О, а так как уо = О по предположению. Отсюда следует 1: — О, что противоречит сделанному допущению, т. е. система (воо(х)) является полной. Замкнутость и, тем самым, полнота системы ортогонвльных полиномов (Рн(х)) является следствием теоремы Вейерш трасса о возможности равномерной аппроксимации напрерывной функции при помощи полиномов: какова бьв ни была непрерывная функиия ~(х), заданнан в промежутке (а.,б), и каково бы ни было е > О, сутествует гпакой полинам Яо(х),. нто (А) ~~(х) — ско(хД < е. В самом деле, представляя полинам О„(х) в виде линейной комбинации ортогонвльных полиномов (Ро (х)) и пользуясь неравенством (А), мы получим условие замкнутости системы ортогональных полиномов. полиномы лкжАндрА 715 Последовательное применение этой формулы дает [[Рн[[ 2 х 2п+ 1 х [[Ро[[~.
Подставив сюда [[Ро[[з = [[1[[э = 2, находим [[Р„[[~ = [[Р„[[ = (17) Таким образом, 1 О, т~п, Р~в (х) Ро (х) Их т = и. — 1 2п+1' (18) 6. Нули цолиномов Лежандра. С помощью формулы Родрига (6) можно доказать следующую теорему. Полинам Пехеандра Р„(х) и ееп1 и нулей, распололеенных на интервале — 1 < х < 1, а его производная к-го порядка (А < п) имеет и — й нулеа внутри ингпервала ( — 1, 1) и не обращаетея в нуль на его концах. Действительно, функция ы = (хг — 1)н обращается в нуль на концах интервала ( — 1,1).
Ке производная ы'(х) обращается в нуль при х = 1 и х = — 1 и по теореме о нуле производной имеет хотя бы один нуль внутри интервала ( — 1, 1). Вторая производная ыо(х) имеет по крайней мере два нуля внутри интервала и обращается в нуль на его Р— 1" концах (рис. 102). Продолжая рассуждения, приходим к заключению, что и-я производная огбй(х) имеет по крайней мере и нулей на интер- [[е — !)') вале ( — 1, 1) или, точнее, ровно и нулей, так как она есть полипом и-й Рис. 102 степени. Первая часть утверждения доказана. Производная Р„'(х) по той же теореме должна иметь по крайней мере (и — 1) нулей внутри ( — 1, 1), но она есть полипом (и — 1)-й степени и потому имеет ровно (и — 1) нулей внутри интервала.
Далее заключаем, что а" /дх" Р„(х) имеет (п — [е) нулей внутри интервала ( — 1, 1). 7. Ограниченность полиномов Лежандра. Покажем, что полиномы Лежандра Р„(х) равномерно ограничены для всех значений аргумента -1 < т, < 1: [Р„(хН < 1. Для этого нам понадобится интегральное представление Р.( ) = — ~( + 'ь71 — — ' ' 4" 4 2к у о 716 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч.
П $2. Присоединенные функции Лежандра 1. Присоединенные функции. Рассмотрим следующую задачу. Найти собственные значения и собственные функции уравнения — (1 — х ) — + Л вЂ” у — О, — 1<х<1, (Ц дх с(х ~ [ 1 — хг,~ при условии ограниченности [у(хЦ~ < со. (2) Уравнение (Ц является частным случаем уравнения (8), рассмотренного во Введении, при в(х) = 1 — хз, д(х) = пР((1 — х~), р = 1, а = — 1, 5 = 1. Так как коэффициент в(х) = 1 — хз обращается в нуль на обоих концах отрезка — 1 < х < 1, то естественное условие ограниченности ставится при х = — 1 и х = 1.
В силу леммы 2 из Введения решение у(х) задачи (Ц должно при х = х1 иметь нули порядка о, где и = т/2. Отсюда следует, что решение задачи (Ц естественно искать в виде у (х) (1 хг) ~в/зо(х) (х Ц ~ 9 (5) Подставив (3) в уравнение (Ц, найдем (1 — тг)оо — 2(т+ Цп'+ [Л вЂ” т(та+ Ц]о = О. (4) Это же уравнение получается для производной с1 г/с1х решения уравнения Лежандра (15) из з 1, если его продифференцировать т раз. Нетривиальное ограниченное решение г = Р„(х) уравнения Лежандра существует лишь при Л = п(п + Ц, где и --.
целое положительное число. Отсюда следует, что ~тр о(х) = ", Л = п(п + Ц (5) есть решение уравнения (Ц, а функция Р(т)( ) (1 г)т~2 и яхт (6) Выведем формулу (19). Возьмем в (5) в качестве контура С1 окружность радиуса Л = ~/1 — тг (~х[ < Ц с центром в точке г = = х. Тогда г = х+ ус1 — хе е'е, сЬ = 1 Т вЂ” хг еелсйр, .(г — х)"« = (1 — хз) "тз7г еФ'~Пн гэ — 1 = хз — 1 «- (1 — хз)ез'т «-2х 7à — хг еге = = ~Т вЂ” аз еее [2х + ~/1 — хг (еге — е ее Я = 2 ~П вЂ” хе еее [х «- 1~(1 — тг х х зш у~.
Подставив эти выражения в (5), получим (19). Если — 1 < х < < 1, то ~х + 1~(1 — хз в1п р[ < 1 и из (19) сразу следует ограниченность Р (х). з 2) ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 717 (2), соответствующая соб- есть собственная функция задачи (1) ственному значению Ап=п(п+1), п=1,2,. (7) Функция Р„(х) называется присоединенной функцией Лежандра т)т) го порядка. Очевидно, что Р„(х) = Рп(х), Р„(х) ф О лишь при т < )0) )т) < п. 2.
Норма присоединенных функций. Согласно общей теореме на с. 666 присоединенные функции Рп образуют ортогональную (т) систему. Вычислим норму ][Рй )[[присоединенных функций. Попутно будет доказана их ортогональность. Умножим уравнение (4) на (1— — хз)п' и учтем (5). После замены т + 1 на т, получим ,1т р Пт — 1р — (1 — хз)т "~ = — [1 — т(т — 1)](1 — хз)т ' ". (8) Введем обозначение ,1тр ~тр 1т / р)т)( )р)т)( ) 1 / (1 З)т п Й Интегрирование по частям дает !т — 1 Р 1тр — 1 Подстановка обращается в нуль, а интеграл в силу (8) и (7) преобразуется к виду д'" = [п(п Ч-1) — т(т — 1)]Х„„= (и+ т) (п — т+1)7„1 Из этой рекуррентной формулы следует Й„ь = (и+ т) (и+ т — 1) ...
(и + 1)п ... (и, — т+ 1)Ь„ь —— (и+ т)! п! о (и+ т)! )о) п! (п — т)! и'ь (и — т)! Выражение для Ь„ь дается формулой (18) из 2 1, так как Р„ о (о) = Р„. В результате получаем 1 О при йфп, Рй (х) Рг ' (х) 1(х т 2 (п+,и)1 (9) — 1 2п+ 1 (и — т)! при Й=п, 718 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. П т. е. присоединенные функции ортогонвльны между собой и квадрат нормы присоединенной функции Р„равен (ой [[р(ы)[[2 ( т)' 2п+ 1 (и — т)! (10) ль 1(х) — ~~~ ' с, Рь(х) < е, если по > Х(е).
Умножая это неравенство на (1 — хз)"'~з, получаем, что пь дз(х) — ~ сьР~ ~(х) < е, если по > Х(е), где уз(х) = 1(х) (1 — х )'ч, т. е. любая функция 1(х), представленная в виде (11), где 1(х) -- функ- ция, непрерывная на отрезке [ — 1, 1[, может быть равномерно аппрок- симирована с любой степенью точности линейной комбинацией присо- единенных функций. 3. Полнота системы присоединенных функций. Докажем, что система присоединенных функций (Р„(х) ) полностью исчерпы(ш) вает все ограниченные решения уравнения (Ц. В самом деле, при А = п(п+ 1) решение, линейно независимое с Р„(х), обращается в бесконечность при х = х1.
Ограниченное жс решение при А ф л(п + 1) должно быть ортогонально ко всем Р„, (х). Для того чтобы убедиться, что не существует ограниченных решений уравнения (1), отличных от Р„(х), достаточно установить, что (м) система присоединенных функций Р„ (х) полна, т. е. что не существует никакой непрерывной функции, не равной тождественно нулю, которая была бы ортогональна ко всем функциям системы. Лемма. Любая функция 1(х), непрерывная на отрезке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
