УМФ Тихонов (965259), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Будем предполагать, что сфера заземлена, т. е. ее потенциал равен нулю. Поместим начало сферической системы координат (г, В, р) в центр О сферы, а полярную ось (В = О) проведем через точку Р; ОР = го > а. Электростатическое поле Е = — ягаг) и. Потенциал и = и(М) (М = = М(г, О, р)) удовлетворяет уравнению Лапласа всюду вне сферы, кроме точки М = Р, в которой имеет особенность вида е/Взгр = ио, где 734 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч.
П ио потенциал заряда е в неограниченном пространстве (в отсутствие сферы). На поверхности сферы потенциал и~ос век = О. Решение задачи естественно искать в виде где о есть решение внешней задачи Дирихле 'зи = О при (2) е Й в.=о— Л„„ В данном случае 1 из (1) имеет вид 1(д) = — е/Л),—,. Воспользуемся разложением 1/Л в ряд при г < го (см. з' 1, п. 1): 1 1 /г1" — — ( — ) Р„(сов д), г < го. Л 1'о 1'о о=-О (3) Решение внешней задачи Пирихле (2) ищется в виде Из (2) и (3) находим Уо = — — еа"г„~о~ ~Р„(созд). Таким образом, .потенциал и = и(г, В) найден: и = и(г,д) = 2 и-~-1 -2)Г1 Рис. 104 3. Поляризация шара в однородном поле. Пусть в электростатическое поле в однородной изотропной среде с диэлектрической постоянной е1 помещен шар радиуса а из диэлектрика с постоянной ез (рис. 104).
Будем искать потенциал создавшегося поля в виде суммы и1 = ио+ О1 и= из = ио+из вне шара, внутри шара, где ио -- потенциал невозмущенного (в отсутствие диэлектрического шара) поля, а е возмущение, вызываемое помещенным в поле шаром. Потенциал и удовлетворяет уравнению 2.ги = О 'и(М) = — + и(М) Л = Лмн = Л и = ~ ( — ) У„(д, 1р). в=о з 4) ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 735 при дополнительных условиях из=из на о', ди1 диз е1 =е2 на о, дп ди Ьи = О, О1 — — Оз на о', (4) д1'1 ди2 дио — Еп = -(Е1 — Ез) на о, дп дл дп (4') так как для функции ио имеем Ьио=О, (ио)1 = (ио)2 на д) (';:),=(":), - ' В правой части равенства (4') стоит известная функция О и 1р, которую мы разложим по сферическим функциям: = ~ УОЮР) п=о Полагая "=Й(-')"'' ' " = Й(-")"' п=-О п=-О и пользуясь граничными условиями (4) и (4'), получаем Уп — ~ п "К '",'" (-;)"'- -"К™-.
(:-)п ''- = †(Е1 — Ез) ~ У„, п=о где о' — — граница шара, и1 и и2 . — значения функции и вне и внутри шара. Отсюда следует, что потенциал О будет определяться условиями 73б ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ~Ч. П откуда (г1 — ез) а ' е1 (и + 1) + е211 (4и) Рассмотрим теперь частный случай.
Шар помещен в однородном параллельном внешнем поле Ео, направленном вдоль оси 2. Потенциал этого поля равен ио = — Еоя = — Еогсозд, так что дио дио дп дт = — Ео соя д = 1'1 (д). Формула (4о) дает У„=О при и~1, (е1 — ез) а, 1'1 = — Еосозд 2г1+ е2 Для потенциала возмущенного поля имеем го~21 и1 = — Еоз 1+, ~ — ) ~ вне шара (~ > а), 2г1 + е2 Зе1 из = — Еоя 2г1 + гз внутри шара (г ( а), откуда следует, что ди1 ~ г1 — ез 2из 1 дя ~ 2е1+гз г ди2 Зг1 2 = Ео, дг 2г1+ ез т. е. поле внутри шара параллельно и однородно.
Если сз > е1, то эквипотенциальные поверхности, оставаясь плоскостями, перпендикулярными к направлению поля, будут расположены реже, чем в невозмущенном поле. Силовые линии, являющиеся ортогональными траекториями эквипотенциальных поверхностей, будут втягиваться в шар с большей диэлектрической постоянной. В случае г1 > ез картина будет обратной. Этим же методом можно получить решение задачи о поляризации шара в присутствии точечного источника, если воспользоваться разложением 1/Н по сферическим функциям (см.
З 1). Следует отметить, что аналогичные задачи встречаются при изучении магнитных и термических полей, а также поля стационарного 5 4) ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 737 (5) с граничным условием на поверхности сферы (6) и = О. Помещая начало сферической системы координат в центр сферы, пе- репишем уравнение (5) в виде г Оп — — ~гг — ) + — схя, п+ Лп = О, гг дг ( дг) гг (5') где Решение будем искать методом разделения переменных, полагая ю(г, О, ~р) = Д(T) У(О, Ф). (6') После подстановки этого выражения в уравнение (5) получим г "Н ) +Лгг+ т =О, (7) откуда следует (8) Ь,иУ+НУ = О, (9) Решая уравнение (8) при естественных условиях ограниченности в по- люсах сферы ~У~в=о.; < ос (10) и условии периодичности по сг У(О,со+ 2х) = У(О,со), получаем собственные зна гения р = и(п + 1), 47 А. Н.
Тихонов, А. А. Самарский электрического тока при наличии сферического включения, физические характеристики которого отличны от характеристик среды. Пля термической задачи в граничное условие (3) вместо ег и ег будут входить коэффициенты теплопроводности Лз и кг, для магнитной задачи магнитные проницаемости п1 и Нг, а для задачи, связанной с полем электрического тока проводимости Лг и Лг. 4. Собственные колебании сферы.
Рассмотрим задачу о собственных колебаниях сферы радиуса го с нулевыми граничными условиями 1-го рода. Эта задача сводится к отысканию собственных значений и собственных функций уравнения Ьп+Лп =О 738 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. П каждому из которых соответствует (2п + 1) сферических функций: 1.'о'(В, р) =Р„( В), У~1 Н(В, р)=Р~'1(сояВ) сояур, 1'„"~(В,р)=Р~'~(сояВ) я|пур (у = 1, 2, ..., и). (12) Обратимся теперь к уравнению (9). Учитывая равенство (1Ц, граничные условия при г = го и естественное условие ограниченности при г = О, получаем для функции Я(т) следующую задачу на собственные значения: гА11 Л п(в+Ц (9') Л(зо) = О, !В(О)! ( оо. (3) (14) С помощью подстановки В(г) = (15) это уравнение приводится к уравнению Бесселя порядка (и+ 1/2): (и + 1/2)г дл-я-у'+ Л вЂ”, я=о, (18) общее решение которого имеет вид (см.
Дополнение П, ч. 1, я 1) У(т) = А1отО ( ГЛг) + Вол ~о, (ГЛг) . Из условия ограниченности (14) следует, что В = О. Граничное условие (13) дает А 7п~-'!г (ч' Л го) = О. (17) У„егд (ъ Л го) = О. Обозначив и„, иг, ..., и„, корни трансцендентного уравнения М ОО о г,(и) = О, (18) Так как мы ищем нетривиальныс решения уравнения, то А ф О и, сле- довательно, з 4) ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 739 находим собствснныо значения Л (19) Каждому собственному значению Л„,и соответствует (2ц+ 1) соб- ственных функций. Введем обозначение — и-~-'!г( ) (20) Тогда собственные функции уравнения (5) при граничном условии (6) можно представить в виде / [и) го (21) (а=0,1,...; гц=1,2,...; у=-п,...,-1,0,1,...,ц).
Рассмотрим теперь первую внутреннюю краевую задачу для волнового уравнения ~1ц+ йзц = 0 (22) при граничном условии с=У(В,Р) (23) Яг,й, Р) = ~ ~ Я, " У'„~'~(Р,~з), ш Миге) п=е Э= — и (24) где ~пу -. коэффициенты РазложениЯ фУнкции ДО, У) по сфеРическим функциям ( У~В (д, ~р) ); ж п У10, р) = ~ ~ У„,~.„®(В,р). (25) пиа у= — п Если йз совпадает с одним из собственных значений то краевая задача (22) (23) имеет решение не для всякой функции Д~д,у). Формула (24) показывает, что необходимым и достаточным на поверхности сферы радиуса ге.
Из предшествующего изложения ясно, что решение этой задачи представляется в виде 740 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. П условием разрешимости нашей краевой задачи в этом случае является обРащение в нУль коэффициентов (ппз: л Оу 0 или л 2л / у(д, Оз) К~~~(д, Оэ) тйпдддс6р = О. О О Если эти условия выполнены, то решение определяется формулой (24), в которой слагаемые, соответствующие п = пе, отсутствуют. Однако при этом решение определено неоднозначно, так как к нему всегда можно прибавить любую линейную комбинацию собственных функЦнй, СООтВЕтСтВУЮЩИХ и = Л„,,ппп. 2 5.
Внешняя краевая задача для сферы. Рассмотрим внешнюю первую краевую задачу для сферы (см. гл. Ъ'П, з 3) Ьо-Ей~о=О (йз>0), ~.=ш = У(д,ч), /11 о=О (-) при т-эж, ~,т! /до 1пп т ( — + зяо = 0 (условие излучения). -ппо (, дт Как было показано в гл. Ч11, 3 3, эта задача имеет единственное решение. Разложим искомую функцию и функцию 1(д, Оэ) в ряды по сферическим функциям: оп о(тбд,я2) = ~~ ~~ К„(т)1„01(д,О2), п=о 2= — п ас п У(д,О) =~ ~ ~„11;00(д,д). п=о 1= — и Коэффициенты разложения Лп(т), очевидно, будут удовлетворять уравнению Л'„' + — Л'„+ й —, Л„= О, граничному условию .~1п (~ О) Хп з 4) ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 741 и условиям излучения при Г -4 оо /1~ Нп(т) = О ~ — ~, 11гп т (Л'„+ Гййп) = О. т о-ооо Общее решение этого уравнения имеет вид (см. и.
4 и Дополнение П, ч.1,53) Лп(т) = А„Г'„Г;~1(Ит) + Вой(1(кт), где '(( 2р п~-'/2 ~(2((р) = — 'Н"', (р) Учитывая асимптотические формулы для функций Ханкеля Н( ~(р) и Н( ~(р) (см. Дополнение П, ч. 1, 3 3); Н(1(Г ) 4(р — пп12 — п141 + (2 7ГР Н(-'1 (р) = —.-11 —."(2-.~41 + 2 7ГР (точками обозначены члень1 более высокого порядка малости относительно 1/Р), полУчаем дли фУнкций Г,п и (и следУющие асимптоти- (1) (2( ческие формулы: еНго — ~п12 — ~!41 ~( ((14т) = +..., т — (й~ — оп 12 — п1 4] ~(2((й„) + т Отсюда видно, что условию излучения удовлетворяет лишь функция (21 ~й . Поэтому Ап=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
