УМФ Тихонов (965259), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Пользуясь граничным условием при г = те, находим .Г пу В.,= ОО Таким образом, мы получаем функцию е(т,(1, 42) в виде оо п (21 Г, и ) Х Х уп1~" ( ') у(13(п п=.е 1=-и 'и (пте) 742 ЦОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. 1П где г 2т / 1(д.,~р) У„~Л(д, ~о) ет04о'йр о о 1иг ))1г О)))2 т 2г 2о+1(н — у)!' ' ~1, у)0, о о квадрат нормы сферической функции 1'„Н~ (д, у). ЧАСТЬ 111 ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА — — ЭРМИТА И ЧЕБЫШЕВА ЛАГЕРРА $1. Полиномы Чебышева Эрмита 1.
Дифференциальная формула. Полиномы Чебышева Эрмита Н„(х) определим по аналогии с полиномами Лежандра при помощи производящей функции т(р, х), полагая гг л 'т(р,х) = е '~ ~ = ~~ Н„(х) —,. ~.=о Отсюда в силу теоремы Коши следует д" 4(р,х) и. '/' 'т'(~,х) „г н! /' е др" 2кг / [,ю 1 2яг / р=о с с (2) где С вЂ” — замкнутый контур в плоскости комплексного переменного ~, охватывающий точку ( = О.
Вводя новую переменную интегрирования 2 = х — ~, преобразуем (2) к виду г н! 1' с, 1 1) ПОЛИНОМЫ ЧББЫШЕБА -- ЭРМИТА 743 Н„1х) = 1-1)"е~ (е Я ) . 14) Эта формула показывает, что Н„(х) есть полипом степени и, причем Н„1 — х) = 1 — 1)вНв(х). 15) Из 14) находим Но1х) = 1, Н~(х) = 2х., Нз(х) = 4хз — 2 и т. д. 2. Рекуррентные формулы. Дифференцируя производящую функцию по р и х, находим Фя — 2РФ = ΠԄ— 2 (х — р) Ф = О.
16) В каждое из тождеств 16) подставим ряд 11) для Ф(р, х). Собирая члены при р" и приравнивая их к нулю, получаем две рекуррентные формулы; Н„',1х) = 2пН„~(х), 17) Н з.г(х) — 2хН„1х) + 2пН„з1х) = О. 18) Формула 18) позволяет последовательно определять Н„для всех и, зная, что Но(х) = 1, Нз 1х) = 2х. Так, например, Нз(х) = 2хН1 — 2Нв = = 4хз — 2, Нз = 2хНя — 4Нз = 8хз — 12х и т. д. 3. Уравнение Чебышева Эрмита. Найдем уравнение, которому удовлетворяет Н„1х). Для этого используем рекуррснтные формулы 17) и 18).
Сначала с помощью 17) исключим из 18) 2пН„ Н„е, — 2хН„+ Н,', = О: это уравнение продифферснцируем по х: и подставим сюда Н„' ь — — 21п + 1)Н„из 17). В РезУльтате полУчим Отсюда видно, что полипом Чебышева Эрмита является собственной функцией, соответствуя>щей собственному значению Л = 2п, следующей задачи 1задача Штурма Пиувилля). Найти те значения Л, при которых уравнение Чебышева - Эр- мита 1е *у) +Ле *у=О, — со<х<оо, 110) имеет нетривиальное решение, возрас~паюи1ее при х — г эо не бы- стрее, чем конечная степень х. где Се контур, охватывающий точку я = х.
В силу теоремы Коши выражение в фигурных скобках равно Й" 1е ' )/Йх". В результате получаем из 13) дифференциальную формулу 744 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. 1П Решение этой задачи можно было бы искать в виде степенного ряда у = 2 и еапх", Подставив этот ряд в уравнение (10)., получим для коэффициентов рекуррентную формулу 2п — Л (п, + 2) (и + 1) )(Н !) — 1Г2пп$~~ (12) Рассмотрим выражение Ьт„= / Н (х)Нп(х)е ' дх = ( — 1)п / Нт(х) (е ' ) Ых. Положим для определенности, что т < п. Интегрируя по частям и пользуясь формулой (7), а также тем, что на бесконечности обращаетг ся в нуль произвЕдение полинома на е и, получаем ~п — 1 Ьтп=( — 1)п '2т / Нп,,1, (е ')дх= 1п — т =( — 1)п ™2 ш! / (е *) Нх, так как Не = 1.
Отсюда видно, что ,1п — т — з эк г1хп — т — 1 т < и. Если т = и, то Д,пп = 2пи! / е * йх = 2пп! з/т = 'ЭН„'д~. Из формулы (11) видно, что при Л = 2п все коэффициенты аь = 0 для й > и и ряд обрывается. Только при Л = 2п может быть выполнено условие на бесконечности. Получающиеся полиномы определены с точностью до постоянного множителя. Выбирая а„= 2'", получаем полиномы Нп(х). 4. Норма полиномов Н„(х).
Докажем (не обращаясь к обгцей теории), что полиномы Чебышева --. Эрмита образуют ортогональную с весом е ' на бесконечной прямой — со < х < оо систему функций., и вычислим их норму (с весом р(х) = е ' ): ~ г) ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА --. ЛАГЕРРА 745 Тем самым доказано, что Н„,(х)Н„(х) е * 4х = О, тфп, '( 2ип! зЯ, т = и.
ф„(х) ф,„(х) дх = Эти функции обращаются в нуль при х -э хоо и удовлетворяют уравнению ф,", + (Л вЂ” хз) фи = 0 при Л = 2п+ 1. $2. Полиномы Чебышева Лагерра 1. Дифференциальная формула. Полиномы Чебышева -- Лагерра Би(х) мы определим при помощи производящей функции 1 1я(р,х) = е (1) 1 — р Разлагая ее в степенной ряд лиф Ф(р,х) = ~ 5,(х) р", 5„(х) = —, и=-0 Р и=о и пользуясь теоремой Коши, находим Еи(.)= — / "" К, 2я1,/ с где С контур, охватывающий точку ~ = О. Введем новую перемен- ную интегрирования х, положив ~ = 1 — х/я, г1ч = хая/з~; тогда 1 Г хие (3) о1 (2) Система полиномов Чебышева — Эрмита является полной (на доказательстве этого факта мы не останавливаемся), и, следовательно, мы нашли все решения задачи (10), т. е.
Л ф 2п не может быть собственным значением. 5. функции Чебышева — Эрмита. В приложениях (см. с. 751) часто пользуются функциями Чебышева Эрмита ф„(х) = 6„(х) е ~ ~, Ь„(х) = 'ОН„(х) ~~ образующими ортогональную и нормированную с весом р(х) = 1 систему на бесконечном интервале — оо < х < оо; 746 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. П1 где С1 контур, охватывающий точку з = х.
Формула (3) дает вт Ьа(х) = —, е* (х"е '). (4) Отсюда заключаем, что Ь„(х) есть многочлен степени и. В частности, имеем Йо(х) = 1, 7,1(х) = 1 — х. 2. Рекуррентные формулы. Дифференцируя т(р, х) по р и х, получаем два тождества: (1 Р) ф (1 Р х)ф=О (5) (1 — Р)фя+ Рф = О. (6) Подставим в (5) и (6) ряд (2) и приравняем коэффициенты при р"ез нулю; это дает рекуррентные формулы (и + 1)Ь„эз — (2п, + 1 — х)Ьа + пЬа з — — О, (7) (8) Формула (7) устанавливает связь между полиномами Ь„э ~., Ь„Ь и позволяет последовательно определить все Дю например 1 2 Ьз(х) = — ((3 — х)71 — Ьв) = — хз — 2х+ 1.
2 2 Выведем еще одну рекуррентную формулу хА„' + (и + 1 — х)А„— (и + 1)А„э1 = О. (9) Для этого заменим в (7) п на и + 1 и продифференцируем по х: (и+ 2)Ь'„„з — (2п+ 3 — х)7'„з, + А„~.з + (п, + 1)5'„= 0; д Г ягииЛ хь,', + (1 — х)7'„+ по„= О. или — ( те ' ~ +не *й„= О, (10) которое называется уравнением Чебышева Лагерра. Тем самым доказано, что Х„(х) есть собственная функция, соответствующая собственному значению Л = и следующей задачи.
Найти значения Л, при которых уравнение (хе яу) +Ле яу=О, 0<х<оо., дважды применив формулу (8), исключим отсюда Ь'„эз и Ь'„еы и в результате получим (9). 3. Ъ'равнение Чебышева — Лагерра. Найдем уравнение, решением которого является Ьа(х). Дифференцируя (9) по х, получим хЬ,", + (и + 2 — х)Ь'„, — ܄— (и + 1) Ьа+ — — О, после чего исключим Ь'„,а при помощи (8).
В результате приходим к уравнению для 7,„ ~ г) ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА --. ЛАГЕРРА 747 1 г ~л ою, = / й„,(х)Ь„(х)е ' Йх= —, / Й„,(х) (х"е ') сЬ. о о Пусть т < п. Интегрируя т раз по частям и учитывая, что из-за на- личия множителя вида хье ' (й > 0) все подстановки обращаются в нуль, получаем ыь = (- )- д ~ „,„"',.„ (Х" -") ' о (12) Если т < и, то, интегрируя еще раз, находим,У „= О, так как ~т-~-1 Ь = О.
В случае т = и имеем й:~ ь' и опп = / ( 1) х е- *ах = = 1 = ()Бл(! (13) ( 1) Р и и — я 1(и+1) з о Итак, полиномы Чебышева -- Лагерра образуют ортонормированную с весом е "' систему функций: Е (х) Ьо(х) е ~ бх = ' = "™=": о (14) 5. Обобщенные полиномы Чебышева Лагерра. При изучении движения электрона в поле кулоновых сил, а также в других задачах современной физики наряду с полиномами Б (х) встречаются обобщенные полиномы Чебышева Лагерра Ь„;(х).
Теорию этих полиномов можно построить по аналогии с пп. 1 -- 4, исходя из производящей функции 1 е Ф'(р,х) = е '-е, в > — 1, (1 — р)"е' (15) имеет в области 0 < х < оо нетривиальное решение, ограниченное при х = 0 и возрастаюшее при х -+ оо не быстрее, чем конечная степень х. Заметим, что уравнение (10) для Е„(х) можно получить, если продифференцировать (и + 2) раз функцию г = х" е е и воспользоваться дифференциальной формулой (4).
4. Ортогональность и норма полиномов Чебышева — Лагерра. Докажем ортогональность и нормированность с весом е ' полиномов Т „(х), исходя из формулы (4). Рассмотрим интеграл 748 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. 1П и разлагая ее в ряд по степеням р: ф'(Р, х) = ~ Е'„(х) Р'*; Вп~г,« ь««(х) = ~ (Р х) и! др" »=о Повторяя рассуждения, проведенные для з = О в и. 1, находим ф«(ьг х) 1 Р зле«е —- / ьгп-~-з 2к1,/ (з — х)" ' с, Отсюда слодует, что з+1 Л„= и+ 2 следующей задачи. Найти значения Л, при которых уравнение ху +(з+1 — х)у + Л вЂ” у=О, П / з+ 1«1 2 ) «-~-1 — ««~ « — «~ з+1' 2 ) (18) имеет в области О < х < оо нетривиа зное решение, ограниченное при х = О и возрастаюизее при х — ~ оо нс быстрее конечной степени х.
Исходя из дифференциальной формулы (16) и проводя рассуждения по аналогии с п. 4, нетрудно доказать, что полиномы Т,„«образуют ортогональную с весом е «х«систему функций: Ог О, т у'= и (з ) — 1), Ь,',(х) 7',(х) е х'дх = р( ) о т = п. и! ,«п Ь'„(х) = —,х 'е«(х"е'е *'), (и) т. е. Т,«,(х) действительно является многочленом и-й степени. В частности, Ео(х) = 1, Ь'(х) = 1 + з — х. Вводя функцию з = хог 'е * и дифференцируя ее (и+ 2) раз по х, находим для функции и = а" з/«1х" уравнение хио + (х + 1 — з)и' + (п + + 1)и = О. Вычислим производные для 7'„(х) = 1/и! х «е«и и учтем при этом уравнение для и; тогда получим уравнение х(А"„)о — (х — з — 1) (Ь„')'+ пй'„= О, (17) которому удовлетворяют обобщенные полиномы 1;,(х) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
