УМФ Тихонов (965259), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Такие решения называют обобщенными. В зависимости от рассматриваемых интегральных уравнений получают различныс классы обобщенных решений. Изучим вопрос об определении, существовании и единственности в ограниченной области некоторого обобщенного решения задачи Дирихле из класса функдий Соболева для уравнения Пуассона Ьи = 1". Для решения этого вопроса оказывается недостаточно понятия интеграла в смысле Римана и требуется более общее определение интеграла (в смысле Лебега). Кроме того, нам понадобится понятие обобщенной частной производной от функции многих переменных.
Поэтому изложению теории обобщенных решений задачи Дирихле для уравнения Пуассона будет предшествовать краткое изложение понятий интеграла Лебсга, обобщенных частных производных и некоторьсх функциональных пространствЦ. 9 1. Некоторые понития функционального анализа 1. Вспомогательные сведения об интеграле Лебега, обобщенной частной производной и некоторых функциональных пространствах. Пусть С вЂ” произвольная ограниченная область в А'-мерном евклидовом пространстве Е~ (1У некоторое натуральное В Более подробно изложение этих понятий см. в кис Соболев С. Л. Уравнения математической физики.
М., 1992. Лекция 6; Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. Ъ'. М., 1981. 778 ДОПОЛНЕНИЕ Н1. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ число), а 7' (х) = 7 (хы хз, ..., хн) произвольная, заданная в втой области неотрицательная функция. Обозначим через г' произвольное замкнутое подмножество точек области С, на котором функция 7 (х) непрерывна. Тогда существует интеграл Римана / . / 1 (хы хз~ .; хн) ох1 ахз . <~хи~ который мы кратко будем обозначать символом ~1 (х)г1х. Назовем внутренним интегралом от неотрицательной функции 7" (х) по области С точную верхнюю грань (если она существует) интегралов Римана (1) по всем принадлежащим области С замкнутым множествам г', на которых 7 (х) непрерывна, т.
е. ве- личину зпр 1' 7" (х) 4х ксо 1 у (2) Внутренний интеграл от неотрицательной функции 7 (х) по области С будем обозначать символом вн. / 7 (х) Ых. (3) Итак, по определению Ясно, что если 1" (х) = М = сопяФ ) 0 в области С, то для такой функции существует точная верхняя грань (2), а потому существует внутренний интеграл (3), равный МтпезС, где щеяС-- Х-мерный объем области С. Далее, нетрудно видеть, что если для функции 7 (х) существует внутренний интеграл по области С, а М ) О- -произвольная постоянная,то и для функции 1 (х) + М существует внутренний интеграл по области С.
Неотрицательная функция ~(х) = ~(хы хз, ..., хл ) называется интегрируемой по Л сбег у в области С, если для втой функции существует по области С внутренний интеграл (3) и для любой з 1) НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬЕ1ОГО АНАЛИЗА 779 постоянной М > 0 справедливо равенство вн. / (у" (х) + М] с1х = вн. / у" (х) 6х + вн. / М дх. (4) При этом внутренний интеграл (3) называется интегралом Лебе- г а от функции у (х) по области С и обозначается символом / у (х)дх. (5) Произвольная заданная в области С функция г" (х), принимающая в этой области значения любых знаков, называется интегрируемой по Л сбег у в области С, если каждая из двух неотрицау., ( ) ~У(х)~+У(х) у ( ) ~У(х)~ — У(х) 2 2 интегрирусма по Лебсгу в области С.
При этом разность интегралов Лебега от указанных неотрицательных функций / у~ (х) дх — / у (х) дх ( 1, если х иррационально, У (х) = О, если х рационально. П Меру шее Ек можно определить как интеграл ), 1Ых. ~~ Это определение измеримой функции принадлежит выдающемуся математику, создателю московской математической школы Николаю Николаевичу Лузину (1883 1950). называется интегралом Лебега от функции у (х) по области С и обозначается символом (5). Функцию г" (х) называют измеримой в области С, если для любого е > 0 у области С существует замкнутое подмножество Ею на котором функция у (х) непрерывна и мера шез г, П которого отличается от меры шее С области С меньше, чем на ем. Оказывается, для того чтобы функция г" (х), обладающая в ограниченной области С внутренним интегралом (3), была интегрируема в этой области по Лебегу, необходимо и достаточно, чтобы она являлась измеримой в этой области.
Постаточность этого условии доказывается совсем просто. В качестве примера рассмотрим при Ас = 1 на интервале С = = (О, 1) так называемую функцию Дирихле 780 ДОПОЛНЕНИЕ П1. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Хорошо известно, что эта функция не интегрируема по Риману на сегменте [О, 1]. Чтобы убедиться, что она интегрируема на С = (О, 1) по Лебегу, фиксируем произвольное достаточно малое е ) О и пронумеруом все рациональные точки, лежащие на сегменте (е/4, 1 — г>>4].
На замкнутом множестве Рз, получающемся вычитанием из ]е>>4, 1 — е>>4] симметричной е,>8-окрестности первой рациональной точки, симметричной е,>16-окрестности второй рациональной точки и т. д., функция 7 (к) непрерывна и равна единице. Поэтому (. г (х) дя существует и его значение лежит в интервале (1 — е, 1 — е>>2). Так как е произвольно, отсюда слвдует., что внутренний интеграл (3)., равный точной верхней грани (2), существует и равен 1. Очевидно также выполнение равенства (4). К понятию интеграла Лебега можно прийти и из других соображений. Рассмотрим множество всех непрерывных в ограниченной области С функций 1 (т) и введем для каждой из этих функций норму, положив ее равной (6) т.
е. превратим это множество в нормированное пространство. Напомним, что последовательность ( („) элементов произвольного нормированного пространства называется фундаментальной, если при независимом стремлении двух номеров т и и к бесконечности существует предел 1цп ]]1 — 1„]] = О. т — >ао и — >ос Произвольное нормированное пространство называется и о лным, если для лк>бой фундаментальной последовательности (1„) этого пространства существует элемент этого пространства 1, к которому сходится последовательность ( ~„) по норме, т. е.
в смысле соотношения (7) 1>п> ]](„— 1]] = О. Легко убедиться, что нормированное пространство всех непрерывных в области С функций с нормой (6) не является полным (ибо фундаментальная в смысле нормы (6) последовательность непрерывных в С функций, вообще говоря, не сходится в смысле (7) к непрерывной в области С функции > (я)). В силу теоремы Хаусдорфа любое нормированное пространство может быть расширено до полного. Естественно возникает идея-. расширить указанное пространство с нормой (6), пополнив его новыми элементами, так, чтобы расширенное пространство стало полным.
Интегрируемости по Риману для такого расширения недостаточно: если расширить пространство всех з 1) НККОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬЕ1ОГО АЕ1АЛИЗА 781 непрерывных в области С функций с нормой (6), пополнив его всеми функциями, абсолютно интегрируемыми в области С по Риману, расширенное пространство будет продолжать оставаться неполным. Только дополнив указанное пространство всеми функциями, интегрируемыми в области С по Лебегу, мы превратим его в полное нормированное пространство с нормой (6). Такое пространство принято обозначать символом Ь| (С).
Таким образом, интеграл Лебега совершенно естественно возникает при расширении множества всех непрерывных в области С функций с нормой (6) до полного нормированного пространства. 2. Функциональные пространства. В приложениях кроме пространства Еч (С) большую роль играет другое пространство, элементами которого являются определенные в области С функции, квадраты которых принадлежат 71 (С). Это пространство является полным в смысле нормы и его принято обозначать символом Е,з (С).
Лля введения обобщенного решения задачи Лирихле нам понадобится еше одно полное нормированное пространство, обозначаемое символом И'з (С) и получаемое пополнением множества всех функций 1 (х), имеющих в области С непрерывные частные производные 1-го порядка и норму, опредсляемую равенством (8) Оказывается, такое пополнение будет состоять из функций, имеющих в области С принадлежащие Ь (С) частные производные 1-го порядка в некотором обобщенном смыслез~. Лля введения обобщенных частных производных обозначим через в С~О (С) множество всех функций, непрерывных в области С, имеющих в этой области непрерывные частные производные 1-го порядка и отличных от нуля только на некотором компакте открытой области С (т.
е, равных нулю в некоторой пограничной полосе области С). Тогда, если функция 1 (х) непрерывна в области С и имеет непрерывную в этой области частнук> производную дД7дхгн то в силу П ~ Впервые понятие частных производных в обобщенном смысле было введено С. Л. Соболевым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
