УМФ Тихонов (965259), страница 115
Текст из файла (страница 115)
782 ДОПОЛНЕНИЕ Н1. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ формулы Остроградского Гаусса для любой функции р (х) из мною жества СО~ (С) справедливо тождество др( ) „7ду( ) д рд дхь д дхь Это тождество лежит в основе определения обобщенной частной производной. Если существует интегрируемая в области С по Лебегу функция д(х), такая, что для данной интегрируемой по Лебегу функции 7'(х) и для любой функции р(х) из множества С~О (С) справедливо тождество 1(х) Йх = — / д(х) р(х) Йх, д~р (х) то функция д(х) называется обобщенной частной производной функции 1'(х) по переменной хь и обозначается символом ду/дхь.
Пространством Иге (С) называется полное в смысле нормы (8) пространство, получаемое пополнением множества всех функций 1 (х), непрерывных в области С и имеющих в этой области непрерывные частные производные 1-го порядка. Пространство Игз'(С) состоит из всех принадлежащих классу Ьз (С) функций 1 (х), имея>щих принадлежащие классу Ьз (С) обобщенные частные производные 1-го порядка. Кроме Иге (С) нам понадобится его подпространство, обозначаеа мое символом И'1 (С) и получаемое пополнением по той же норме (8) а множества всех функций из класса СО~ (С), равных нулю в пограничных полосах области С.
$2. Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона 1. Определение обобщенного решения задачи Дирихле. Пусть С вЂ” - произвольная ограниченная область в Х-мерном евклидовом пространстве Еи, от границы Г которой не требуется никакой гладкости. В этой области мы рассмотрим задачу Лирихле (т. е, первую краевую задачу) для уравнения Пуассона: Ьи = — г" (в области С), и~г = ~р.
з 2) ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 783 Е(и, цз) = / ~~~ дх, /' ди дц' д'гй дхй* С й=1 (2) (3) Определение 1. Назовем обобщенным решением задачи Дирихле (1) функцию и (х), удовлетворяющую следующим двум требованиям: 1) и(х) — йз(х) 6 И'з (йУ); я 2) для любой функции йг(х) из класса Игз(О) функция и(х) удовлетворяет интегральному тождеству г1х — / у" (х) цЗ(х) йх = О.
(4) С помощью обозначений (2) и (3) тождество (4) можно записать в виде Е(и, ф) — Н (~, уз) = О. (5) Определение 2. Назовем обобщенным решением задачи Дирихле (1) функцию и (х), которая доставляет минимум функционалуО Е(и, ц) — 2Н(у", ц) = / ~~~ ~ ) дх — 2 ( у(х)ц(х)дх (6) 1,дхй) й=1 в классе всех функций ц (х), удовлетворяющих условию ц (х) — ф(х) 6 И'з (О). (7) Н Функционал (6) принято называть интегралом Дирихле илн основным энергетическим функционалом. При этом у (х) заданная функция из класса Ез (С), а р (х) заданная во всей области С + Г функция, принадлежащая пространству Игз (С) и имеющая на границе Г области С след, совпадакь щий со значением решения и(х) (такую функцию ~р(х) называют д о п у с т и м о й) .
Дадим два определения обобщенного рецйения задачи Дирихле (1). Для сокращения записи введем в рассмотрение следующие два функционала, первый из которых определен на любой паре функций из класса Ига~ (С), а второй на любой паре функций из класса Ез (О): 784 ДОПОЛНЕНИЕ П1. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ а Замечание. Так как пространство Игз (С) является подпространством Иге~ (С), то обобщенное решение (и по определению 1, и по опрсделенин> 2) принадлежит пространству И'з (С). Теорема (об эквивалентности двух определений обобщенного решения). Два определения обобщенного решения задача Лирихле (1) эквивалентны.
Локазательство. 1'. Сначала докажем, что если и(х) .. обобщенное решение задачи (1) по определению 1, то эта же функция является обобщенным решением задачи (1) и по определению 2. Заметим, что для любои функции и (х) из класса И'з (С) и любои функции ф (х) из класса Иге (С) справедливо тождество Е ( и + ф, и + ф) — 2 Н (7", и + Ч' ) = Е(и, и) — 2Н(1', и) + 2 Е(и, ф) — Н(1", ф) + Е(ф, .ф). (8) Так как для и (х) справсдливо тождество (5) и Е ф, ф) > О, то из (8) получим неравенство Е(и+ф, и+ф) — 2Н(7', и+ф) > Е(и, и) — 2Н(7', и). (9) Любую функцию о(х), удовлетворяющую условию (7), в силу я того, что и (х) — у(х) Б И' (С), можно представить в виде и (х) = о = и (х) + чз (х), где уз (х) некоторая функция из И'з~ (С).
Поэтому для любой функции и (х), удовлетворяющей условию (7), получим из (9) Е(и, и) — 2Н(1, и) > Е(и, и) — 2Н(у', и), а это и означает, что функция и (х) доставляет минимум функционалу (6) в классе всех функций и (х), удовлетворяющих условию (7), т. е. и (х) является обобщенным решением задачи (1) по опрелелению 2.
2'. Локажем теперь обратное утверждение, т. е. докажем, что если и (х) является обобщенным решением задачи (1) по определению 2, то эта же функция и (х) является обобщенным решением задачи (1) и по определению 1. Так как тождество (8) справедливо для и (х) Б И'.1 (С) и для лю- бой функции ф (х) из класса Иг1 (С), то в этом тождестве можно за- менить ф (х) на е ф (х), где ф (х) - -снова любая функция из класса о Иге~ (С), а е любое вещественное число. При этом тождество (8) при- нимает вид ! Е(и+ ер, и+ еф) — 2Н (1, и+ еф) — Е(и, и) — 2 Н(э, и) = 2е Е(и, ф) — Н(э", ф) +е Е(ф, ф).
(10) з 2) ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 785 Так как в силу определения 2 и (х) доставляет минимум функционалу (6), то левая часть (10) неотрицательна. Поэтому для любого вещественного числа е и любой функции ф (х) из класса И'з1 (С) 2е Е(и, ф) — Н(7", ф) + в~ Е(ф, ф) ) О. (1Ц Нам достаточно доказать, что и (х) удовлетворяет тождеству (5), т. е. доказать, что выражение в квадратных скобках в (1Ц обращается в нуль для любой функции ф (х) из класса Иге~ (С). Предположим, что о для некоторой функции уЭ (х) из класса И'г1 (С) указанное выражение в (1Ц отлично от нуля.
Тогда, взяв для этой функции ф (х) число е противоположным по знаку величине Е(и, уЭ) — Н(1, ф) и равным по модулю Е (а, ф) — Н (з', ф) Е(ф, ф) мы получим, что величина, стоящая в левой части (1Ц, строго отрицательна, а это противоречит неравенству (1Ц, Полученное противоречие доказывает, что выражение в квадратных скобках в (1Ц равно а нулю для любой функции ф (х) из класса Игз (С), т.
е. справедливо тождество (5), и и (т) является обобщенным решением задачи (Ц по определению 1. Теорема доказана. 2. Два основных неравенства. 1. Неравенство Пуанкаре. Пусть С вЂ” произвольная ограниченнан область в Е . Тогда для всех функций ф(х) из класса Игз~ (С) найдется поапоянная 7, кпакая, что для величин, определяемых соогпношениями (2) и (3), справедливо неравенство Н(ф, ф) < уЕ(ф, ф), называемое неравенством Пуанкаре. Доказательство. Достаточно доказать неравенство (12) для любой функции ф (х) из класса СО~ (С) (т. е. для любой функции, имеющей в области С непрерывные частные производные 1-го порядка и равной нулю всюду в некоторой пограничной полосе области С), о ибо пространство И'з(С) получается пополнением СО~(С) по норме (8) из ~ 1. о Рассмотрим любую функцию ф (х) из класса С~И (С) и продолжим эту функцию нулем на некоторый «квадрат» со стороной 2ас — о < хь < еи к = 1, 2, ..., 1ч', внутри которого содержится рассматриваемая ограниченная область С.
Тогда по формуле Ньютона 50 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский 786 ДОПОЛНЕНИЕ П1. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Лейбница ф (у) Ф (у1 уз . Уч) гц дф (уы уз ° уя-ы хя, уяеы..., Ум) ~хь дхь и потому в силу неравенства Коши - — Буняковского (у) < 2а ) с~хм /' дф Тем более справедливо неравенство и дР 21 ф~ (у) < 2а ~ ~Ихю / ~„ , дх, интегрирование которого по координатам уы уз, ..., Уи в пределах от — а до а по каждой из этих координат дает неравенство Пуанкаре (12) с постоянной 7 = 4аз.
2. Оценка снизу основного функционала (6). Наша цель доказать, что в классе всех функций е(х), удовлетворяющих условию (7), функционал (6) ограничен снизу постоянной, зависящей лишь от области С и от заданных функций 7 (х) и ~р (х). Любую функцию в (х), удовлетворяющую условию (7), можно представить в виде е(х) = ~р(х) + ф(х), где ~(х) некоторая функция из ИГ~~ (С). Таким образом, Е(е, л) — 2Н(~, и) = Е(р+ ф, р+ ф) — 2Н(7', |р+ ф) = = Е(р, р)+2Е(р, ф)+Е(ф, 1У) — 2Нф р) — 2Н((, ф). (13) Теперь заметим, что Е (~р, р) + 2 Е (~р, ф) + Е (ф, ф) = -Е(р, р) + — Е(ф, ф) + 1 1 1 1 + 2Е(р, р) + 2Е(~р, ф) + — Е(ф, ~ф)~ = — Е(~р, ~р) + — Е(ф, ф) + 2 ' ~ ' 2 +Е чГ2~р+ —, ч'2~р+ — ) > — Е(р, д) + — Е(ф, ф).
(14) Ф~ зГ2 зГ2) ' 2 Наконец, оценим сверху ~2 Н (7", ф)~, пользуясь неравенством Пуанкаре (12) и неравенством 2)А~ ~В~ < Аз+ Вз при А = 7' 2 /7, В = 787 з 2) ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ф . В результате получим 2 /7 ~2 Н ((, ф) ~ < 2 / ) ( (х) ~ )ф (х) ~ дх < < 4у / )~(х))~дх+ — / )ф1(х)) дх < 4уН((,,()+ — Е(г)1, ф). (15) Сопоставляя равенство (13) и неравенства (14), (15), окончательно по- лучим 1 Е(о, о) — 2Н(у, о) > — Е(ьг, 1р) — 4уН(у, у) — 2Н(у', ьг) + — Е(уз, ф).
4 (16) Так как Е (ф1, ф) > О, ограниченность основного функционала (6) снизу доказана. 3. Единственность и существование обобщенного решения задачи Дирихле. Теорема (о единственности обобщенного решения задачи Дирихле). Может сущесгавовать только одно обобщенное решение задачи Нирихле (1). Доказательство. Если бы существовало два обобщенных решения задачи Дирихле (1) и1(х) и иг(х), то их разность уУ(х) = о = и1(х) — иг (х) принадлежала бы классу И'г~ (С).
Записав с указанной функцией уУ(х) тождество (5) сначала для и1(х), а затем для иг (х), мы получили бы равенства Е(иг,и1 — иг) — НЦ,и1 — иг) = О, Е(иг,и1 — иг) — Н(з,и1 — иг) = О, разность которых привела бы к соотношению Е ('а1 — и2, и1 — и2) = О. Из (17) в силу неравенства Пуанкаре (12) следовало бы, что и (17) Н (и1 — иг, иг — иг) = О. (18) 50* Соотношения (17) и (18) в силу определения (8) из з 1 нормы пространства УУ'2 (сУ) означали бы, что разность и1 (х) — иг (х) является нулевым элементом пространства И'1 (0), т. е.
означали бы совпадение элементов и1 (х) и иг (х). Теорема доказана. Теореме существования обобщенного решения задачи Дирихле (1) предпошлем определение минимизирующей последовательн о с т и и доказательство вспомогательного утверждения. Так как в силу неравенства (16) основной функционал (6) ограничен снизу в классе всех функций, удовлетворяющих условию (7), то у 788 ДОПОЛНЕНИЕ Н1. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ функционала (6) существует в указанном классе точная нижняя грань, которую мы обозначим через д: 1п1 (Е(и, о) — 2Н(~, .и) (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
