УМФ Тихонов (965259), страница 116
Текст из файла (страница 116)
(19) л — т е и'~ 1о1 По определению точной нижней грани, существуют последовательности (и„(х) ) функций, удовлетворяющих условию ив (х) — ~р(х) 6 Дз (С), для которых числовые последовательности с1„= Е(и„, и„) — 2Н(7", и„) (20) сходятся к точной нижней грани д. Каждую такую последовательность (и„(х) ) назовем минимиз и р у ю щ е й. Важное для нас свойство любой минимизирующей последовательности выясняет следующая лемма. Лемма. Если (о„(х)) любая злинимизируюизая последовательность, ( фл (х) ) - —.
последовательность функций из класса 0 И'з~ (С), для которых Е (фь: ф,) < М = сопз1, (21) то числовая последовательность (22) ал — Е (ил фл) Н У Фо) явллепкя бесконечно малой. Доказательство. Положим о„= д„— д, где (д„) числовая последовательность, определяемая соотношением (20), а д-- точная нижняя грань (19). Тогда в силу того, что последовательность ( ио (х) ) является минимизирующей, можно утверждать, что последовательность (о„ ) является бесконечно малой при о„ > 0 для всех номеров и. Для любого отличного от нуля е и любого номера и справедливо неравенство Е(и„+еф„, и„+еф„) — 2Н((, о„+еф„) > д, которое может быть переписано в виде + ез Е(ф, фо) > О.
Последнее неравенство с помощью обозначений (20) и (22),. в свою очередь, может быть переписано в виде д, — д+ 2еан+ е~ Е (фо фо) > О., или и„+ 2еаа+в~Е(ф„, фн) > О. э 2) ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 789 О<о, <еэМ. СопоставлЯЯ это неРавенство с (23), мы полУчаем., что 2е аь + 2 ез М > > О. Теперь, если для каждого номера и взять знак е противоположным знаку а„, то мы получим, что произведение 2е а„неположительно и, следовательно, 2еэ М > 2 ~е( ~аь~, откуда ~а„~ < ~е~ М (для всех и > Ас). Лемма доказана. Теорема (о существовании обобщенного решения задачи Дирихле).
Если С произвольная оераниченнал область в пространстве Еьс, Эо (х) --. произвольная допустимая функция, з (х) произвольния функция из класса Ез (С), то суьцествуегп (и притом единственное) обобщенное решение задачи Дирихле (1). Доказательство.
Прежде всего докажем, что любая минимизирующая последовательность ( и„(х) ) является фундаментальной в смысле нормы (8) из э 1. Заметим, что если (и„(х) ) минимизируя~шик последовательность, то, положив ьь (х) = эь (х) ч- ф„(х) и взяв в (16) такое иь (х) вместо о(х), мы получим, что левая часть (16) будет сходящейся, а потому и ограниченной последовательностью. При этом из (16) мы получим, что и последовательность ( Е (ф„, ф„) ) является ограниченной.
Таким образом, в силу тривиального неравенства Е (и„, иь ) = Е (Эо + ф„, ~р + ф„) < 2 Е (1о, 1о) + 2 Е (ф„, ф„) и последовательность Е(о„, и„) является ограниченной. Отсюда, в свою очередь, вытекает ограниченность последовательности Е (и„— в оь„ио — и ) при всех и и всех т. Учитывая, что, кроме того, и„— — и,„б Исэ (С) для любых номеров тп и и., мы получим, что разность (о„— и ) при фиксированном т можно взять в качестве фь (х) в лемме, а при фиксированном п эту же разность можно взять в качестве (х) в лемме.
Мы получим при этом, что в силу леммы Д (Е( *, .— .и) — Н(У, „- -)(=О: 1пп (Е(е„„ио — иь,) — Н(э, о„— и~) ) = О. гл,.лье Из последних двух соотношений вытекает. что 11п1 Е(о„— и, о„— оь,) = О, т-э л (24) В силу (21) тем более справедливо неравенство о„+ 2еа„+е М > О. (23) Теперь, учитывая.
что о„> О и что последовательность (оь ) является бесконечно малой, для любого отличного от нуля е фиксируем настолько большой номер А7, что при и > 1э' выполняется неравенство 790 ДОПОЛНЕНИЕ П1. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ а из (24) и из неравенства Пуанкаре (12) что и 11™ (сп егн нп ст) (25) Остается доказать, что е(х) и является обобщенным решением задачи Дирихле (1). Прежде всего заметим, что с (х) удовлетворяет условию (7), ибо о и„(х) — у(х) б И'з (С) для каждого номера и, а 9(п„— ~р) — (с — ф~~ = = 'Ое„— с!) — э О при и — э оо.
о Остается доказать, что для любой ф (х) из класса Иг~з (С) функция с (х) удовлетворяет тождеству (5), т. е. Е(с, ф) — Н(у, ф) = О. В силу леммы для любой функции 1Э (х) из класса )т'з~ (С) Е(кю ф) — Н(7, ф) э О при и — э оо. (28) Далее, из неравенства Коши Буняковского о и из (26) следует, что для любой функции ф (х) из И", (С) Е(с — с„, ф) — ~ О при н — > со. Из (28) и (29) вытекает тождество (27).
Теорема доказана. (29) Из (24) и (25) следует, что минимизирующая последовательность ( е„(х) ) является фундаментальной в смысле нормы (8) из ~ 1. Но тогда из полноты пространства Иге (С) вытекает, что существует такой элемент с (х) этого пространства, что 1пп !)и„— с5 = О. (26) ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Арнольд В. И.
Математические мотоды классической механики. Мз Наука., 1989. 2. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. Мз Наука, 1982. 3. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. Мз Наука, 1988. 4. Лжефрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. Мз Мир, 1969. 5.
Егоров Ю. В... Шубин М. А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными О Современные пробломы математики. Фундаментальные нанравления,1 ВИНИТИ. 1987. Т. 30. (Итоги науки и техники). 6. Кондратьев А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные цифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. Мз Наука, 1986. 7. Кошелев А. И. Регулярность решений эллиптических уравнений и систем. Мз Наука, 1986. 8.
Кружков С. Н. Нелинейные уравнония с частными произвоцными. Мз Изд-во Моск. ун-та, 1970. 9. К рылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. Мз Наука, 1985. 10. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. Мз Наука, 1987. 11. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. Мз Наука, 1973. 12. Ладыженская О.
А... С ол он пик ов В. А., Уральце в а Н. Н. Линейные и квазилинойные уравнения параболического типа. Мз Наука, 1967. 13. Михайлов В. Т. Дифференцишгьныо уравнения в частных производных. Мз Науха, 1983. 14. М их лип С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высш. шк., 1977. 15. Рождественский Б. Л...
Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. Мз Наука, 1978. 16. Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Лекции по математичесхой физике. Мз Изд-во Моск. ун-та, 1993. 17. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Мз Наука, 1988. 18. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.
Мз Мир, 1968. 19. Шишмарев И. А. Введение в теорию эллиптических уравнений. Мз Изд-во Моск. ун-та, 1979. ПРЕДМЕТНЫЙ огКАЗАТЕЛЬ Автомодсльное движение 173 Адивбата Гюгонио 167 Пуассона 40 Адиабатический процесс 40, 164, 171 Аппроксимация дифференциального оператора разностным 587 по норме 591 с порядком п 587, 591 -- суммарная 644 Броуновское движение 282 Вектор Герца 473 смешения 462 Векторный потенциал 464, 468 Волна бегущая 57 гармоническая 78 затухающая 79 магнитная (типа ТМ) 558 отраженная 72, 76 плоская 434, 545 -- разрежения 171 -- распространяющаяся 57, 179, 181 стоячая 93, 156, 460 сферическая 429, 434 расходящаяся 429, 524 †..- сходящаяся 429, 524 температурная 256 тепловая 273, 276 ударная 165, 168 цилиндрическая 434 электрическая (типа ТЕ) 558 Волновая зона осцищштора 475 Волновое уравнение 443, 519 число 78 Газовая динамика 163 Гамма-функция 696 Гармоника 94, 149, 155 сферическая 723 Главное значение интеграла 365 Граничное условие 2-го рода 45 нелинейное 46, 200 †.
1-го рода 45 -- 3-го рода 45 Граничные условия 44, 45, 153, 196 Граничные условия однородные 45 й-Функция 286, 288 Дисперсия волн 78 Дифразсция 541 на сфере 545 — плоской волны на сфере 547 Диффузия 189, 193, 283, 295, 511 в движущейся среде 520 -- при наличии распада и цепных реакций 491, 520 Длина волны 78 Емкость уединенного проводника 398 Задача без начальных условий (на установившийся режим) 47, 111, 199, 250 гравиметрии обратная 67 Гуров 129 Дирихле 296, 782 -- внешняя 322 323 -- -- внутренняя 317 для сферы 733 разностнвя 632 лифракции 542 — Коши 43, 47, 199, 228, 427 краевая 45 внешняя 296, 322, 381 вторая 327 первая 323 внутренняя 296, 380 -- --..-- вторая 325 -- --. -"- первая 317 вторая 46, 296, 325, 381 для уравнения Бесселя 678 первая 46, 49, 198, 199, 296, 381, 782 для круга 328.
383 для полупространства 385 ревностная 586 с кусочно-непрерывными начальными данными 216 -- -- С разрывными граничными условиями 318, 336 коэффициентами 609 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 793 Задача краевая с разрывными начальными данными 215 — смешанная 47 со стационарными неоднородностями 109., 226 третьи 46. 296 Неймана 296 —.
--. внешняя 327 внутренняя 325 .-- о движении твердого тела в жидкости 416 электрона в кулоновом ноле ядра 753 колебании ограниченных объемов 444 тонкой пластинки 422 -- .--промерзании 279 размагничивании цилиндра с обмоткой 514 распространении граничного режима 76 начального возмушения 68 тепла в неограниченном пространстве 477, 481 собственных значениях 89, 120, 154, 210, 423, 445, 660 фазовом переходе 277, 279 об определении векторного поля но заданным ротору и дивергенции 408 - остывании равномерно нагретого цилиндра 489 обработки наблюдений 67 поставленная корректно 65 разностная,поставленная корректно 597 .-- -" устойчивая 597 с начальными условиями 47, 199, 228, 427 ддя уравнения Лапласа 66 Стефана 279 устойчивая 65 †.1Птурма — Лиувилля 89, 210, 445, 660 электростатики основная 396 Закон Гука 462 инерции 23 -- Нернста 193 -- Ньютона 192 сохранения энергии 163 Стефана Бовьцмана 200 Фурье 190, 194 второй 256 первый 257 .-- --- третий 257 Законы Мерсена 96 Закрепление жесткое 45 мягкое 45 упругое 44 Изотерма Генри 175 -- Ленгмюра 175, 183 Изотерма сорбции 175 Интеграл внутренний 778 Дирихле 783 — Лебега 779 несобствонный 353 ошибок 241, 246, 758, 764 Пуассона 233, 334 для круга 347 — — -- для сферы 345 Римана 778 Римана Ханкеля 696 Фурье Бесселя 705 Квантовое число азимутавьное 755 главное 752, 755 магнитное 757 Радиальное 755 Конденсация газа 40 Координаты бипопярные 774 бисферичсские 775 криволинейные 298, 769 параболические 771 -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
