УМФ Тихонов (965259), страница 112
Текст из файла (страница 112)
— 4) 2 т А"о(и) = — 7в(т) (1п — + С) + х 2 +-'(-') +.. 1С = 0,577215664901532 есть по- стоянная Эйлера) Ниже приводятся таблицы некоторых специальных функций, с которыми мы встречались ГГри решении краевых задач математической физики. Таблицы сопровождаются перечнем простейших свойств специальных функций. 760 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч.
1У 5. Рекуррентные формулы: — (х'г (х)) = х'г ( ) — ~ "(' )1 = — .+ ( ) 2м Я„л(х) + Л„. г(х) = — Е,(х), х где Я (х) — любая цилиндрическая функция вещественного аргумента. Частные случаи: '1о(х) 1~(х) ч(х) нх = 1 1о(х): о пх — (х.1~(х)) = хаас(х), / х,уо(х) Йх = х.Ь (х). о Для функций мнимого аргумента: 2и 2и 1 (х) — 1 ь~(х) = — 1 (х),. К ~(х) — К о(х) = — — К (х), х х г1 К, ~(х) + К,ео(х) = -2 — К,(х), 1 1(х)+1 +1(х) = 2 0 1 (х), 1о(х) = 1~(х), Ко(х) = — К~(х) 6. Определитель Вронского для цилиндрических функций: ,У„(х)Х,'(х) — Х,(х) 1' (х) =— ях ' Ц~1Ч(х)Н1Я1 (х) — НЯ(х)Н1Ч (х) = — —, ях 1,(х)К,'(х) — К,(х)1' (х) = — — .
1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 761 7. Интегральные формулы: л 1 7 ,7 (х) = — / е "и" ~~г" ~ йр = л ) — г) ол г цл г ы рлр иееггр 1 «р рл рл«рр ( — г) 2л — л о Н~г'г~(х) = — — е глгг" е ы«"' р1 г « / Сгг ) — лрье — «е 1~ 1 Г 2,/ 8. Функции полуцелого порядка; Г2 ,рг, (х) = г( — япхр г р(,р Г2 ,7 г, (х) = Π— созх, Г2 7япх ,Угу (х) = ~( — 1 — созх Г2 у соя х ,7 з (х) = )/ — ( — — япх), -д =)/ Х„ьгд(х) = ( — 1)" г,р' „гр,(х). 3.
Полиномы Лежандра 1. Производящая функция: =г рр цг р р 1 1 р — гр — 1 ( х ( 1. где контуры интегрирования Сг и Сг изображены на рис. 96 (с. 695); 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 763 3. Квадрат нормы: >г / ~ ~ ~ гг 2 (п~-пг)! 2п+ 1 (п — т)! — 1 5. Пол иномы Чебышева -- Эрми та 1. Производящая функция: ег" ' = ~~ Н„(х) —, п=е 2.
Рекуррентные формулы: Н' (х) = 2пН„г(х), Н„ьг(х) — 2хН„(х) + 2пН„,(х) = О. 3. Пифференциальная формула: г д" Н„(х) = ( — 1)" е е 4. Квадрат нормы: ()Н„))~ = / Нг(х)е и Их = 2кл. 'з/я. 6. Полиномы Чебышева --. Пагерра 1. Производящая функция: 2. Пифференциальная формула: 1 яд" Ь„(х) = —, е', (е хх"). 3. Квадрат нормы; 764 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 11. Таблицы Таблица З Интеграл ошибок Ф(х) ш — Х ~ в а Йз, О 0 4 з 4 2,8 Ф(к) Ф(к) Ф(л) Ф(л) 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 0,9103 0,9130 0,9155 0,9181 0,9205 0.,9229 0,9262 0,9275 0.9297 1,29 1,30 1,31 0,9319 0,.9340 0,9361 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 0,9381 0,.9400 0,9419 0,.9438 0,9456 0.,9473 0,9490 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1)49 1,50 1,51 1,6 1,7 1,8 1,9 0,9507 0,9523 0,9539 0.,9554 0,9569 0,9583 0,9597 0,9611 0,9624 0,9637 0,9649 0,9661 0,9661 0,9763 0,9838 0,.9891 0.9928 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 0,9953 0,.9970 0,9981 0,9989 0,9993 0,9996 0,9998 0,9999 0,9999 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,0000 0,.0113 0,0226 0,0338 0,0451 0,0564 0,0676 0,.0789 0,0901 0,1013 0,1125 0,1236 0,1348 0,1459 0,1569 0,1680 0,1790 0,1900 0)2009 0,2118 0,2227 0,2335 0,2443 0,2550 0,2657 0,2763 0,2869 0,2974 0,.3079 0,3183 0,3286 0,3389 0,3491 0,3693 0,3694 0,.3794 0,3893 0,.3992 0,4090 0,4187 0,40 0,41 0,42 0,.43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0 54 0,55 0.,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0.,65 0,66 0.,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,4284 0,4380 0,4475 0,4569 0,4662 0,4755 0,4847 0,4937 0,6027 0,5117 0,5205 0,5292 0,5379 0,5465 0 6549 0,5633 0,5716 0,5798 0,5879 0,5959 0,6039 0,6117 0,6194 0,6270 0,6346 0,6420 0,6494 0,6566 0,6633 0,6708 0,6778 0,6847 0,6914 0,6981 0,7047 0,7112 0,7175 0,7238 0,7300 0,7361 0.,80 0.,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0.,88 0,89 0,90 0.,91 0,92 0,93 0,94 0.,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 0,7421 0,7480 0,7538 0,7595 0,7651 0,7707 0,7761 0,7814 0,7867 0,7918 0,7969 0,8019 0,8068 0,8116 0,8163 0,8209 0,8254 0,8299 0,8342 0,8385 0,8427 0,8468 0,8508 0,8548 0,8586 0,8624 0,8661 0,8698 0,8733 0,8768 0,8802 0,8835 0,8868 0,8900 0,8931 0,8961 0,8991 0,9020 0,9048 0,9076 11.
ТАБЛИЦЫ 765 Таблица порядка Значения функций Бесселя нулевого и 1-го от я=О до я=12,00 Зо1я) 7оФ З,(х) зо( ) .~, < ) 71(г) 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,60 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 ~-1,000 +0,997 ~Ю,990 -)-0,977 +0,.960 -Ю.,938 -)-0,912 +0,881 ->0,846 -)-0,808 -)-0,765 -Ю,720 -)-0,671 +0,620 -Ю 567 -)-0,512 +0,455 ~Ю,398 -Ю,340 +0,282 +0,224 ~Ю,167 +0,110 -Ю.,056 -)-0,002 — О, 048 — 0,097 — 0,142 — 0,185 — 0,224 — 0.,260 — 0,292 — 0,320 — 0,344 — 0,.364 — 0,380 — 0,392 — 0,399 — 0,403 — 0,402 -Ю,ООО +0,.050 -~0,099 -)-0,148 +0,196 -~0,242 -Ю,288 +0.,329 +0,369 -Ю,406 -)-0.,440 -~0,471 -Ю,498 +0,522 +0,542 -Ю,558 +0,570 -)-0,578 -Ю,582 +0,.581 +О 577 -Ю.,568 +0,556 -)-0,540 -Ю,520 +0,.497 +0,471 -Ю,442 +0,410 +0,376 ~Ю,339 -Ю,301 +0,261 -)-0.,221 +0,179 -Ю,137 -Ю,095 +0.,054 +0,013 -0,027 4,00 4,10 4,20 4,30 4,40 450 4,60 4,70 4,80 4,90 5,00 5,10 5,20 5,30 5,40 5,50 5,60 5,70 5,80 5,90 6,.00 6,10 6,20 6,30 6,40 6,50 6,60 6,70 6,80 6,90 7,00 7,10 7,20 7,30 7,40 7,50 7,60 7,70 7,80 7,90 -0,397 — 0,389 -0.,377 — 0,.361 -0,342 -0,321 — 0,.296 — 0.,269 — 0.,240 — 0,.210 — 0,178 -0.,144 — 0,110 — 0,076 -0,041 -0,007 +0,027 +0,060 -Ю,092 +0,122 +0,.151 +0,177 +0,202 -)-0.,224 -)-0,243 +0.,260 +0.,274 -)-0,285 +0,293 +0,298 +0.,300 -)-0,299 -~-0,295 -)-0,288 +0,279 -Ю.,266 -)-0,252 +0,235 +0,215 -Ю,194 — 0,.066 — 0.,103 — 0,139 -0,.172 — 0,203 — 0,231 -0,257 — 0.,279 — 0,298 — 0,315 — 0,328 -0,337 — 0,343 — 0,346 -0,346 — 0,.341 — 0,334 — 0,324 — 0,311 — 0,295 -0,277 — 0,256 — 0,233 — 0,208 -0,.182 — 0.,154 -О 125 -0,095 — 0,065 — 0,035 -0,005 -Ю,025 -)-0.,054 -)-0,.083 +0.,110 -)-0,136 -)-0,.159 +0.,181 -Ю,201 -)-0,219 8,00 8,10 8,20 8,30 8,40 8,50 8,60 8,70 8,80 8,90 9,00 9,10 9,20 9,30 9,40 9,50 9,60 9,70 9,80 9,90 10,00 10,10 10,20 10,30 10,40 10,50 10,60 10,70 10.,80 10,90 11,00 11,10 11,20 11,30 11,40 11,50 11,60 11,70 11,80 11,90 12,00 -~-0,.172 +0.,148 е0,122 -)-0,096 +0,069 ~Ю,042 -)-0.,015 — 0,013 — 0,039 — 0,065 — 0,.090 — 0,114 -0,137 — 0.,158 -0,177 — 0,.194 — 0,.209 — 0,222 — 0,232 — 0,240 — 0,246 — 0,249 — 0,.250 — 0,248 — 0,243 -0,237 — 0,228 — 0,216 — 0,.203 — 0,188 — 0.,171 — 0,153 — 0,133 — 0,112 — 0,090 — 0,068 — 0,045 — 0,021 +0,002 -)-0,025 -)-0,.048 -Ю,235 +0,248 ->0,258 -Ю,266 +0,271 -Ю,273 -Ю,273 +0,270 е0,264 -Ю,256 -)-0,245 ->0,232 -)-0,217 +0,200 -Ю,182 -)-0,161 +0,140 -Ю,117 ~-0,093 +0,068 +0,.043 ~Ю,018 — 0.,007 -0,031 — 0,055 — 0,079 -0,101 — 0,122 — 0,142 — 0,160 -0,177 — 0,191 — 0,204 — 0,214 — 0,222 — 0,228 — 0,232 — 0,233 — 0,232 — 0,229 — 0,223 766 ПОПОЛНЕНИЕ П.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ~Ч. 1У Таблица 3 Последовательные корни уравнения 7в(7за) = 0 и соответствующие значения ~.71 (7зв)! Таблица 4 Значения функций Кв(х) и Кд(х) ОО(я) К1 (я) КО(х) К1(з) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 2,4271 1,7527 1,3725 1,1145 0,9244 0 7775 0,6605 0,6653 0,4867 0,4210 0,3656 0,3185 0,2782 0,2437 0,2138 0,1880 0,1655 0,1459 0,1288 0,1139 0,1008 0,0893 0,0791 0,0702 0,0623 0,0554 0,0492 0,0438 0,0390 0,0347 9,8538 4,7760 3,0560 2,1844 1,6564 1,3028 1,0603 0,8618 0,7165 0,6019 0 5098 0,4346 0,3725 0,3208 0,2774 0,2406 0,2094 0,1826 0,1597 0,1399 0,1227 0,1079 0,0950 0,0837 0,0739 0,0653 0,0577 0 0511 0,0453 0,0402 3,1 3,2 3.,3 3,4 3,5 3,6 3,.7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 18 4,9 5,.0 5,1 5,.2 5,3 5,4 5,.5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 0,.0310 0,0276 0,0246 0,0220 0,.0196 0,0175 0,0156 0,0140 0,0125 0,0112 0,0098 0.,0089 0,0080 0.,0071 0,0064 0.,0057 0,0051 0,0046 0,0041 0,.0037 0,0033 0,.0030 0,0027 0,0024 0,0021 0,0019 0,0017 0,0015 0,0014 0,0012 0,.0356 0,0316 0,.0281 0 0250 0,0222 0,0198 0,0176 0,0167 0,0140 0,0125 0,0111 0,0099 0,0089 0,0079 0,0071 0,0063 0,0056 0,0051 0,0045 0,0040 0,0036 0,0032 0,0029 0,0026 0,0023 0,0021 0,0019 0,0017 0,0015 0,0013 П1.
ГРАФИКИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУЕ1КЦИЙ 767 П1. Графики специальных функций цо — о,.ь Рис. 10о. Графики функций Бесселя уо(и), 71(к) и,7к1к) цо — 1,Π— 1.1 — о.,о Рис. 106. Графики функций Неймана Мо(к) и ХН к) 768 ЛОПОПНЕНИЬ П. СПНЦИАЛЬНЫК ФУНКЦИИ ~Ч. 1У о о 1 2 3 4 5 т Рис. 107. Графики цилиндрических функций мнимого аргумента 701т) 11 к), 121к) 801к), Е~!1к) Рис. 108. 1"рафики полиномов Лежандра Гн'. РАЗЛИЧНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 769 1'Ч. Различные ортогональные системы координат Пусть х, у, 2 декартовы координаты некоторой точки, а х1, хг, хз --- криволинейные ортогональные координаты этой точки.
Квадрат элемента длины выражается формулой дз = дх + ду + дз = 61дХ1 + 62ЙХ2 + 6здХз~ где (1 = 1, 2, 3) 61 —— 1 ди. ягади = ~ — 1, 1 ) д д д дгнА = ~ (6262А1) + (11261А2) + (6162Аз) 616гбз ~дх1 дх, дхз 6111 6212 6312 д д д дх1 дхг дхз 1 гоФА = 61А1 62А2 6зАз 616262 дх1 61 дх1 дхг 6г дхг дхз 62 дхз где 11, 12, 1з — единичные базисные векторы, А = (А1, Аг, Аз) — произвольный вектор, и скаляр. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
