УМФ Тихонов (965259), страница 107
Текст из файла (страница 107)
[ — 1, 1] и обрагцаюзцаяся в нуль на его концах при х = 1 и х = — 1, мозкет быть равномерно апароксимирована с любой степенью точносгпи линейной комбинацией из присоединенных функций любого порядка т. Заметим прежде всего, что производные полиномов Лежандра д~/дх~ Р„(х) являются полиномами степени и — гп. Поскольку любой полипом по степеням х может быть представлен в виде линейной комбинации этих полиномов, то в силу теоремы Вейерштрасса любая функция 1(х), непрерывная на отрезке [ — 1, Ц, может быть равномерно аппроксимирована с любой степенью точности при помощи линейной комбинации д"' /дх~ Р, (х): ~ г) НРИСОКДИНКННЫК ф УНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 719 Будем говорить, что функция 71(х) принадлежит классу Н1, если она непрерывна на отрезке [ — 1, Ц и тождественно равна нулю в малых окрестностях точек х = — 1 и х = 1: 11(х) = 0 при [1 — д[ < [х[ < 1.
Так как для каждой функции 11(х) класса Н1 функция Л(х) (1 Х2)тп ~2 является непрерывной на [ — 1, Ц, то тем самым лемма доказана для функций класса Н1. Рассмотрим некоторую функцию 1(х), непрерывную на отрезке [ — 1, Ц, обращающуюся в нуль на концах. Очевидно, что эту функцию можно равномерно аппроксимировать при помощи функции 71(х) из класса Н1 с точностью до е/2: Аппроксимируя 11(х) линейной комбинацией из присоединенных функций с точностью до е,12: пп (х) = ~ с„Р~~~(~), п=т получаем неравенство [1(х) — ~ (х)[ < е,. которое и доказывает лемму. С помощью этой леммы легко доказывается замкнутость системы присоединенных функций, а тем самым и ее полнота. НаПОМНИМ, ЧтО СИСтЕМа фУНКЦИй (1Рп(Х)) НаЗЫВаЕтСЯ ЗаМКНУтОй на некотором отрезке [а, 6), если любую функцию г'(х), непрерывную на [а, Ь], можно аппроксимировать в среднем с любой степенью точности при помощи линейной комбинации этих функций: ь г г(х) — ~ с„112п(х) Йх < е, если ле ) А'(е).
п=1 Очевидно, что всякую функцию, непрерывную на отрезке [ — 1, Ц, можно аппроксимировать в среднем с любой степенью точности при помощи функции 7" (х), непрерывной на [ — 1, Ц и обращающейся в нуль при х = х1: 1 [Г(х) — ((х))' дх < е'. — 1 720 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. П Беря линейную комбинацию присоединенных функций, равномерно аппроксимирующих функцию 1(т): ~,((т) — ~ (х)) < е, и пользуясь неравенством (а + Ь)' < 2 (а' + О') получаем 1 1 1 / [Р(и) — ~ ~! 01т.
< 2~(у(т) — Д(т))з 11х+2 / [у(т) ~~, ' ! 11т < е (если 2е'+ 4(еп) < с), что доказывает замкнутость, а тем самым и полноту системы присо- единенных функций. $ 3. Гармонические полиномы н сферические функции 1. Гармонические полнномы. Гармоническим полином о м называется однородный полипом, удовлетворяю1ций уравнению Лапласа 11и= и„+и„„+ип, =О. Нетрудно убедиться, что первые два однородных гармонических полинома имеют вид и1(х,у,я) = Ак+Ву+Сг, из(х, у, я) = Ах + Ву — (А + В)яз + Сту + Рхз + Еуз, где А, В, С, Р, Е произвольные коэффициенты. Определим число линейно независимых однородных гармонических полиномов степени и: ип — — ~ ~ар.дп 0 У р (2) р-<- д д- и = и Целая однородная функция степени и имеет (и + 1) (и + 2)/2 коэффици- ентов. Действительно, правую часть равенства (2) можно представить в виде ОО,О,пя + (О1,0, — 1И+ ОО,1, — 1У)Я + .
+ +('-1п — 1,0.1т + 11п — 1,1,1т У + + оО,п — 1.1У )я+ +(Оп,О,ОИ + Оп — 1,1,0т У + .. + ОО,п,ОУ )Я . з 3] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 721 При зо имеется один коэффициент, при 2" 1 два, ..., при 2 имеем и коэффициентов, а при зо число коэффициентов равняется и+ 1, так что общее число коэффициентов равно 1+2+...+и+(и+1) = (п + 1)(п + 2) 2 (3) Уравнение (1) налагает на коэффициенты п(п — 1)/2 линейных однородных соотношений, так как Ьио -.
однородная функция степени и — 2. Таким образом, полипом должен иметь не менее чем 1п + 1) (и + + 2)/2 — (и — 1)п/2 = (2п + 1) независимых коэффициентов. Если бы указанные 1п — 1) и!2 соотношений оказались линейно зависимыми, то число независимых коэффициентов было бы больше 2п + 1. Покажем, что только (2п + Ц коэффициентов линейно независимы. Коэффициенты ар д „однородного полинома можно представить в виде 1 двив р1у1г дяяду дя ' Если ии - - гармонический полипом, то арл, при г ) 2 можно выразить через коэффициенты арно и о д „число которых в точности равно 2п+ 1. Действительно, 1 д" 2 ~дзи„ р! у!14.
дхгдуддз' — 2 ~ д22 дв-2 ~ д2„ р.у1г д ду д"- ~ дя 711сдрд-2,д,с — 2 + ~~2ор.дд-з,с — 2 ° ПОСтуПая акаЛОГИЧНО С КОЭффнцИЕНтаМИ Скрд.з,д с — 2 И Сдр.дд.2,с — 2 МЫ В конце концов выразим ар с через коэффициенты типа ар о (р+ у = = п) и ард 1 (р+ у+ 1 = п). Число коэффициентов вида сдр до равно и + 1, а а„„л равно п.
Таким образом, общее число линейно независимых коэффициентов и, следовательно, независимых гармонических полиномов и-й степени в точности равно 2п -~- 1. Однородные гармонические полиномы называются шаровыми функциями. 2. Сферические функции. Сферические функции проще всего могут быть введены при решении уравнения Лапласа для шаровой области методом разделения переменных. Будем искать решение уравнения Лапласа в переменных (г, О, р): 1 д 1' 2 ди'2 1 д /, ди'1 1 дзи Ьи= — — ~д — )+, — )з1пΠ— )+ =О, (1) 1-2 дд.
~, дд ) гзз1пО дО 1,' дО) 1'21пзО даря полагая и(г, О, дд) = И,г) 1' (О, ~р) . 4б А. Н. Тихонов, А. А. Самарский гзН" + 2гП' — ЛЛ = О, (4) а для определения У(0, р) уравнение 1 В / ВУЛ 1 Вг~ Ьа „У -~- ЛУ вЂ” — зш  — -~- + ЛУ вЂ” О (5) с дополнительным условием ограниченности функции 1 на всей сфере. В частности, функция У(0, ~р) удовлетворяет условиям У(0, у + 2я) = У(0, у), )У(О,у)! < со, )У(я,ф/ < оо. (5') Ограниченные решения уравнения (5), обладающие непрерывными до 2-го порядка производными., называются сферическими функциями.
Решение задачи для У(0, ~р) ищем также методом разделения переменных, полагая У(0,~) = О(0)Ф(:0). Функция Ф(~р) удовлетворяет уравнению Ф" +рФ =О и условию периодичности Ф( +2 ) = ФМ). Задача для Ф(у) имеет решение лишь при целом р = то~, и линейно независимыми решениями являются функции созппр и ешти. Функция 0(0) определяется из уравнения и условий ограниченности при В = О и В = я. Вводя переменную 1 = соя В и обозначая Х(1)(~ — „„а = Х(сок В) = 0(0), получаем для Х(1) уравне- ние присоединенных функций Уравнение (6), как мы уже видели в З 2, допускает ограниченные ре- шения лишь при Л = п(п + 1).' Х(г)/а=созе = Р, (1)/й=со~е — Р„(созВ) = 0(В), где т < и.
722 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. П Для определения Н(г) получаем уравнение Эйлера 3 3] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 723 Выпишем полученную систему сферических функций и-го порядка. Условимся приписывать отрицательный верхний индекс тем функциям, которые содержат сов яр, и положительный тем функциям, которые содержат вш к~о. Тогда будем иметь ги = О: У„(О,р) = Р„(совВ), т = 1; У„' ~(В р) = Р„' ~(совВ)совр, У~ ~(Ор) = Р~1(совО)вшр, т = к: У„(О,р) = Р,, (совО)совЬр, У„(О,р) = Р„(совО)вшйр (к=1,2, ..., п).
(7) Число различных сферических функций и-го порядка У~ равно 2п+ + 1. Линейная комбинация этих (2п+ 1) сферических функций (7) а Уь(В, ~р) = ~' (Аэт совтзэ+ Ве л в|птр)Р~~~(сов В), (7 ) т=о или и У.(В,~) = ~ С,.„У1-~(В,„), где А„при гп < О, С„,„= В„при т > О, является также сферической функцией и называется сферической гармоникой. Функции У„= Р„(сов В) не зависят (о~ от р и называются зональными. Так как Р„(1) в силу леммы из 3 1, и. 6 имеет ровно и нулей внутри промежутка ( — 1,1), то сфера разделяется на (и+ 1) широтных зон, внутри которых зональная функция сохраняет знак.
Рассмотрим поведение функции на сфере. Так как вш В обращается в нуль Рис. 103 на полюсах, сйп Ьр или сов йр обогащаются в нуль на 2Й меридианах, а д'/гйь . Р„(1) в силу той же леммы на (п — й) широтах, то вся сфера разбивается на клетки, в которых 724 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. П 1„сохраняет постоянный знак (рис. 103). Функции У„(при к > 1Яь) (т ь) > О) называются тессеральным и. Вернемся теперь к отысканию функции Л.
Будем искать функцию й(т) в виде Подставив искомую форму решения в уравнение (4), получим харак- теристическое уравнение для определения о-. о(о+1) — п(п+1) = О, откуда находим два значения се п=п и о= — (и+1). Следовательно, частными решениями уравнения Лапласа являются функции т" У~"~ (й, 1р), т ( 111У00(В Ф) (7') (7О ) п =т" з1п" Осозйрсоз" 20, где 4 изменяется от 0 цо (и — к)/2. Функцию и можно представить в виде произведения трех полиномов: П вЂ” О1 ' Пз ' ПЗ где и, = тг зшг д соз й~р = Не[т зш йе1т~)ь = Не[(т -~-зр)~), и = т" Я 22 соз" Ь 229 = з" из =т22 =(т +у +2 )Я. Отсюда ясно, что функция т"'У„' ~(й', ~р) есть однородный гармониче- 00 ский полипом степени й + п, — й — 24 + 2д = и. Очевидно, что сферические функции являются значениями шаровых функций (7') и (7") на сфере радиуса единица. 3.
Ортогонапьность системы сферических функций. Докажем, что сферические функции, соответствующие различным значениям Л, ортогональны на поверхности сферы Х. Пусть 1'1 и Уз удовлетворяют уравнениям Г1„У1 + А1У1 = 0, ~г, „Уз+ А2У2 = 0, первая из которых, очевидно, соответствует решению внутренних задач, .а вторая "-- внешних задач (см. з 4, п. 1). Покажем, что найденные решения уравнения Лапласа являются однородными полиномами п-й степени. Общий член, например, в формуле (7') можно записать так: 72б ДОПОЛНЕНИЕ П.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. П 2л л / У~ь11У(ьл) дП = ~ в~ У(Я11(О,уз) У~"2~(В,1р) в1пудуду1 = в о о 21 л = / совй1уг сов122узйр / Р~Я1~1(совВ) Р~Я21(совВ) гйпудВ = о о 2л -л1 = / совй11р совйзу4р / Рлц1~(1) Рл~"2~(2) де = О пуи Й1 ~ Й2, 2к (и+ к)! при Й1 =12 =йг-О, 2п+ 1 (и — й)! (8') 2 2к. 2т1 + 1 при й1 =122 =О, т. е. сферические функции, определяемые формулой (7), образуют ор- тогональную систему в области О < В < к, О < у1 < 2к и имеют квадрат нормы, равный 2л л 2 2 (и+ 1с)! ЦУ~"~ // = [У„'"1(О, 1р)! вшу НВ д1р = кег-, (8о) 2п+ 1 (и — й)! ' о о где ео = 2, .еь = 1 при л > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
