УМФ Тихонов (965259), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Тем самым доказано, что обобщенные полиномы Чебышева — Лагерра являются собственными функциями, соответствующими собственным значени- ям з 3) ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ЦПЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 749 Полиномам Чебышева Лагерра т,'„(х) соответствуют ортогональные и нормированные с весом р(х) = 1 функции фа (х) хв/зе — г/21в (х) где ~И„'1! = 1, которые являются решениями уравнения х 3 1хф')' + Л вЂ” — — — ) ф = 0 4 4х) (19) э+1 Л„= п+ 2 Из формулы (18) видно, что Ц(х) = Ь„(х) для Л„, равного и+ + 1/2 (если в уравнении (18) Л заменить на Л + 1/2, то при з = 0 оно совпадет с уравнением Чебышева Лагерра (10)).
В заключение отметим, что ортогональные системы полиномов 1Ь„(х)) и 11,;„'(х) ) являются полными (на доказательстве этого факта не останавливаемся). Тем самым мы нашли все собственные функции задач (10) и (18). З 3. Простейшие задачи для уравнения ШредингераП 1. Уравнение Шредингера. В квантовой механике поведение частицы, находящейся в поле потенциальных сил, описывается уравнением Шредингера 1л — = — — Ьф+ У(хбу, з.,г) ф, дф л~ (1) д1 2д где 6 = 1,05. 10 ~~ эрг с постоянная Планка, 1 = з/ — 1, р масса частицы, П --- ее потенциальная энергия в силовом поле, у = = ф(х, у, з,1) волновая функция.
Если силы не зависят от времени, т. е. 17 = 77(х, у, з), то возможны стационарные состояния с заданным значением энергии, т. е. существуют решения вида ф = ф"(х,у,з)е з (2) П 1 Рассматриваемые здесь задачи для уравнения Шредингера дают примеры применения полииомов Чебышева Эрмита и Чебышева Пагерра. Приведенное ниже изложение не претендует на полное освещение вопросов, связанных с уравнением Шредингера. По университетской программе квантовая механика изучается после курса математической физики.
при граничных условиях ~ф(0) ~ < со, 1пп ф(х) = О, соответствующими собственным значениям з 3) ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 751 г ф + — ~)Š— х)ф=О и 2р / ллоло 2 (8) при дополнительном условии нормировки )ф! лЬ = 1. Введя обозначения 2Е Ь х л= (10) Алое ~/ рлоо хо для функции лЛл = 4л® после очевидных преобразований получим урав- нение ~гф ~ +(Л вЂ” Е)Ф=О с дополнительным условием нормировки / ~ф~г ллЬ (12) Решением этой задачи, в силу З 1, и. 5, будут функции 1 е л л~НЯ ьЛо злл2 "и! т/л соответствующие собственным значениям Лв = 2и+ 1.
Возвращаясь к исходным обозначениям, находим — Ж) Н„ Ф.( ) = злхо ;/2"и!зля Е„= аллое и + — (и = О, 1, 2,...). 2/ (14) В классической механике энергия осциллятора г г Е Рл + Д о тг 2лл 2 ний, т. е. спектра собственных значений энергии Е и соответствующих собственных функций ллл из уравнения 752 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч.
1П где р, импульс частицы, может принимать непрерывный ряд значений. С точки зрения квантовой механики энергия осциллятора, как показывает формула (14), может принимать лишь дискретный ряд значений Е„. В этом случае говорят,что энергия квантуется. Число п, определяющее номер квантового уровня, называют главным квантовым числом. В низшем квантовом состоянии при п = О энергия осциллятора отлична от нуля и равна 1 Ео = — А~l. 2 Щ+ — яЕф = О 2р пз можно записать в виде — з1п0 — + з + — з Яф = О.
115) гез1п9 й9 ~, 99) гзз1пз9 дуз Лз При этом используется условие — = О. дф дг Вводя вместо массы р момент инерции 2 получаем 1 д ( дфоп 1 дзф зшд дд '1 ООУ' з' ц д з или л,,ф+л~=о, (16) где л = — е. 21 Ь (17) Таким образом, мы приходим к краевой значения для уравнения Д„,еф+ Лф = О задаче на собственные (16) 3.
Ротатор. 11айдем собственные значения энергии ротатора со свободной осью, т. е. частицы, вращаюгцсйся на одном и том же расстоянии вокруг неподвижного центра. Потенциальная энергия 17 ротатора сохраняет одно и то же значение во всех положениях частицы, и ее можно положить равной нулю: 17 = О. В сферической системе координат (г, В, у) с началом координат в неподвижном центре уравнение Шредингера для ротатора з 3) ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 753 при естественном граничном условии ограниченности в точках д = О и д = х и условии нормировки 2х / ~ф(з э1пдсЯсйр = 1.
о о (18) Решениями этой задачи, как мы знаем, являются нормированные сфе- рические функции (21+ 1) () — га). '~об ( ) 2 при ш = О, ) ~(д,сс) = РО"'(созд) ' (гп = О, 1,...,1), ) зшшсо (1О) соответствующие собственным значениям Л = Ц1+ 1). (20) Заменяя Л его значением согласно формуле (17), получаем формулу для квантованных значений энергии ротатора ~2 Еов = 1(1+ 1) —, 1 = О, 1, 2,...
21 ' (21) е 11 = —— (22) где г есть расстояние электрона от ядра, — е заряд электрона, +е заряд ядра. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид (23) Наша задача состоит в отыскании таких значений Е, для которых уравнение (23) допускает решение, непрерывное во всем пространстве 48 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский 4.
Движение электрона в кулоновом поле. Одной из простейших задач атомной механики является задача о движении электрона в кулоновом поле ядра, имеющая большой практический интерес, так как решение ее дает не только теорию спектра водорода, но и приближенную теорию спектров атомов с одним валентным электроном (водородоподобных атомов), например атома натрия. В атоме водорода электрон находится в кулоновом электростатическом поле ядра (протона),так что потенциальная энергия 11(т,у,я) равна 754 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч.
1П и удовлетворяющее условию нормировки О/ ~4Р(т,у,г)~ йт41уг12 = 1. (24) Запишем уравнение (23) в сферической системе координат с началом в ядре, которое предполагается неподвижным; 1 д /где'1 1 2р / ег'4 — — ( т' — ( + — ив,;ф+ — ( Е+ — ( 4~ = О, (25) т2 д, ( дтг) тг т 52 ( т( и будем искать решение в виде Д,,Д'ьО(д,р)+1(1+1)1," '(д, р) =О, получаем ВвЕдем в качестве единицы длины величину а=5 /ре, в качестве единицы энергии . величину 4 2 до = Лг а Полагая р=т/а, с=Я/Яо (е(О), перепишем уравнение (27) в виде (28) дгХ 2,4Х / 2 1(1+ 1) '1 + — — + (2е+ — — 2 ) Х= О.
2 41 ( ~2 ) (29) С помощью подстановки 1 Х= У т/р (30) уравнение (29) приводится к виду ,42 у 1,1 / 2 яг '1 ,, + — — + (2е+ — — —,(у =О, 4(рг р г(р (, р 4рг ( (31) ф(т,д,ог) = Х(т) У1 ~(0,22). (26) Принимая во внимание дифференциальное уравнение для сферических функций 1' (д, ог) з 3) ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 755 где а = 2) + 1.
Введя в качестве независимой переменной величину х = р~/ — 8е, (32) получим вместо (31) уравнение я ху +у — — + — ) у+уЛ = О, 14 4х( (33) или — х — ' — — + — у+уЛ = О, (33') где 1 Л= зу — 2е (34) совпадающее с рассмотренным нами в З 2 уравнением (19). Найденные там собственные значения оказались равными а+1 Л=п,+ 2 ( ) '!з — !зг~ ( ) (35) где Ь„', (х) определяются формулой (16) з 2.
Учитывая, что я = 21+1, получаем Л=п„+1+1=о (и=1,2,...). (36) Целое число л называется главным квантовым числом, и„-.- радиальным квантовым числом, ) азимутальным квантовым числом. Заменяя Л его выражением согласно формулам (34) и (28), получаем квантованные значения энергии ре Еп =— 25 гР (37) Они зависят только от главного квантового числа п. а собственные функции (определенные с точностью до постоянного множителя) выражались через обобщенные полиномы Чебышева Лагерра Е'„: 756 ПОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. 1П Положим Е равным энергии кванта, Е = — йы = — йи, где и = = ю/2я частота.
Тогда будем иметь ре Л и= 25~пей пз (38) ре ре где В = = -так называемаяпостоянная Ридберга. 25~5 4нйз Найдем частоты спектральных линий. Наблюдаемая в спектральной линии частота ипп, соответствует переходу из состояния с энергией Е„ в состояние с энергией Еп,.
Частота ипп, кванта, излучаемого при таком квантовом переходе, равна ип Л 2 (39) Палее, значения пз = 2, и = 3, 4,... дают серию Бальмера значения пз — — 3., п = 4, 5,... — серию Пашена ипп, =Н Перейдем теперь к определению собственных функций водородного атома.,Пля этого в силу формулы (26) нам достаточно найти радиальные функции у(р). Пользуясь формулами (35), (32), (30), (34), (36), можем написать Аы(р) = Ап — е пУпь~'~,', (40) где Ап нормировочный множитель, определяемый из условия р'Х'. (р) 1 = 1. о (41) Полагая вз = 1 и в = 2, 3,..., мы получим ряд линий, составляя>щих так называемую серию Паймана: з 3) ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 757 Вычисляя А„, получаем следующее выражение для нормированных радиальных функций: ( ' )' Р— с(пйз! ' з Р (42) В силу формул (26) и (19) нормированныс собственные функции имеют вид (21+ 1) (1 — т).
'Ое) Фмы = 1 ~ 1'~ (о 9з) Х»|(Р) 2г .г(1+ т)! где Хы(р) определяется формулой (42). Число т (гл = О, х1, т2,..., х1) называется магнитным квантовым числом. Так как п„всегда неотрицательно (и„= О, 1, 2, ...), то при данном и в силу формулы л =гзз +1+ 1 квантовое число 1 не может быть больше и — 1 (1 = О, 1, 2,..., и.— в 1). Поэтому при определенном значении главного квантового числа и число 1 может принимать л значений; 1 = О, 1,..., л — 1, а каждому значению 1 соответствует (21+ 1) значений т. Отсюда следует, .что заданному значению энергии Еа, т.
е. заданному значению п, соответствует и — 1 (21 ф 1) = 1 + 3+ 5 +... + (2л — Ц = па г=о различных собственных функций. Таким образом, каждый уровень энергии имеет вырождение кратности пз. Найденный нами дискретный спектр отрицательных собственных значений энергии Е„состоит из бесконечного множества чисел с точкой сгущения в нуле. Второй отличительной чертой рассматриваемой задачи для уравнения Шредингера является наличие непрерывного спектра положительных собственных значений (всякое положительное число Е является собственным значением уравнения (23)).
В этом случае электрон уже не связан с ядром, но все еще находится в его поле (ионизированный атом водорода). На дока.зательстве существования сплошного спектра мы не останавливаемся, отсылая читателя к специальной литературе~1. В См., например: Фок В. А.
Начала квантовой механики. М., 1976; Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Мл Л., 1951. Т. 1, гл. Ъ'. 758 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ГЧ. 1У чАсть 1тГ ФОРМУЛЫ, ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ 1. Основные свойства специальных функций 1. Интеграл ошибок 1.
Интеграл ошибок: Ф1з) = — / е аГсс ,(= 1 о 2. Разложение при малых я: ,Г З Ф1Я) = — ) г — +, ,/х 1, 1! 3 2! 5 3. Асимптотическая формула при больших Гп 1 е ( 1 3 4 4 5.6 ,(.- ° ~' ~2")'~2) (2) ' 2. Цилиндрические функции Ряды Асимптотические формулы 1. Функции Бесселя е Г2 ХР 7Г ,(.) = (-) —,7,(х) = ~/ — соз (т — — — -) + .. 2 Г(и+1) ' 11 .гв 2 4 2. Функции Неймана АГо1х) = ~à — з1п (и — — ) + ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
