УМФ Тихонов (965259), страница 105
Текст из файла (страница 105)
2 2 Для действительной части Не( — 1 яш ар) = 1/2 Вз Ип 20 точка В = 0 является седловой точкой: в заштрихованных полосах эта функция отрицательна, в незаштрихованных областях положительна, а при В = = 0 (у = — я/2) обращается в нуль. Направление 0 = де = — я/4, очевидно, будет направлением наибыстрейшего спуска (убывания) для функции 22/2 е1п20.
Отсюда следует, что и для модуля функции г точка В = 0 является седловой, а Ве = — л/4 соответствует направлению быстрейшего спуска. Выберем контур С1 так, чтобы он содержал прямолинейный отрезок Сы ( — е < В < с), проходящий через точку В = 0 (В2 = — х/2) под 704 ПОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. 1 как известно, имеет вид ~(х у) = I / с7рсув' / ~ 1(С ц)ен'сл О"" ск п1с1Сдвр (2) (2вг) Я Введя полярные координаты с помощью соотношений х=гсозр, С =рсозвд у=ЛсозВ, ц = рз1пуд р' = Лешу, у = гз|пд; получим ух+ ру = Лг сов( — св), 1в~+ 1вц = Лрсовф — В).
Предполагая, что 1(х, у) имеет вид ((х, у) = лг(г)евпсе где п целое число, и преобразовывая с помощью написанных выше соотношений интеграл Фурье (2), находим аа са Л яг)еспвв = / / ((р)рс1рЛ с1Л ' емссав1 — всвс пРт все с1В етс и 1 Р 2я,/ о о — л л 1 — слесав( с — 0~-~туг — лвав,с (1) 2к Воспользуемся формулами (см. (16), (17) из ~ 4, и.
4) (В = я+ В'), (б) 1 у„(х) =— 2я 1 ,1„(х) =— 2я л вс сав Влвпе — тп/2 яВ л — м саве'Чвпе'еслп(з с1Вс (В = вр — -), (5) 705 з 5) ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ --. БЕССЕЛЯ Так как подынтегральные выражения в (5) и (б) являются периодиче- скими функциями о и ))' и интегрировать поэтому можно по любому промежутку длиной 2х, то можно написать 1 м сов( — Во)-)-вп) — Во) )) 7 ( ) и п|2 2я и — л (7) л — псов(В' — Во)лвп(В' — Во),1оов 7 ( ) — влп)2 (8) 2т где ))о и д' произвольные числа. Подставляя (7) и (8) в (4) и сокращая обе части на еь'г, получаем интеграл Фурье Бесселя Х(г) = / / Х(Р) уп(ЛР) -~п(Лг) Л 1Л Р«Р, о о или Х(г) = / Ов(Л),7,(Лг) Лс)Л, где ув(Л) = / 2(р)),Т (Лр) рдр.
о о / Р).)'(РИ 1Р о На доказательстве этого мы не останавливаемся. 2. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя. В различных приложениях часто встречаются определенные интегралы, содержащие бесселевы функции. К числу наиболес распространенных интегралов этого типа принадлежит интеграл 1 Б2 — / с 1о(РЛ) с1Л = Р2 ) 22 о (2 > 0). (10) 45 А. Н.
Тихонов, А. А. Самарский Пля того чтобы разложение в интеграл Фурье Бесселя было возможно, достаточно потребовать, чтобы для функции 1(г), определенной в промежутке (О, оо), выполнялись следующие условия; 1) )(г) непрерывна в промежутке (О, оо); 2) 1 (г) имеет конечное число максимумов и минимумов во всяком конечном промежутке; 3) существует интеграл 706 ДОПОЛНЕНИЕ Н. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. 1 Для доказательства этой формулы заменим функцию,7е ее интеграль- ным выражением ((16) из з 4) и затем изменим порядок интегрирова- ния: 1 Р .л В, = / е 'лУо(РЛ) НЛ = — ~ е. 'л с1Л / е ыхмк~'сйр = 2я,( о о к к — Н ИЛ=в 2я 2к я +1р выл у — к о — к 1 /' зЙР 1 /' рз1пугбР 1 /" зйр / г4 Рзз1пз, 2я / з4 зз1 з, к / з+ з йпз„, — к о так как в силу нечетности подынтегрального выражения.
з21 >2 Полагая сначала СЕ у = С, а затем )/ С = и, получаем / зз(1 .ь (2) рз(2 я /зз 4 ~2 / 1 + ця узз 4 Рз о о тем самым формула (10) доказана. Пользуясь (10), сразу же находим Полагая в формулах (10) и (11) з = 1а и разделяя действительную и 1 зИф 1 +Р ьп эз о к з1п ~р ЙР =0 зз -~- Рз з1пз р 2з /' ду / з .ь Рз з1пз, о 707 ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ --. БЕССЕЛЯ г 5) мнимую части, получаем ряд следствий: 1 ,7о(рЛ) созаЛс1Л = срг аг ' о 1о(рЛ) япаЛс4Л = О, о при р > а; (12) 1 уг(рЛ) созаЛс1Л = —, о ,1д(рЛ) япаЛс1Л = о ,7о(рЛ) созаЛдЛ = О, о 1 ,1о(рЛ) япаЛ дЛ = ссаз рг о при и > р.
(13) 1 1( а 1с(рЛ) созаЛс4Л = — 1— р ссаг гс' о 1с (рЛ) з1п аЛ сХЛ = О о Покажем вторую интегральную формулу г Вг = 1,(Лр) с~ Л' ~сс1Л = — ( — ) е сс. (14) 21 21 о Подставим в эту формулу вместо,1, степенной ряд и произведем по- членное интегрирование (1 > О!): Х~ см в,=~ с ц" [ Р Лгь-~-гиеге — сл ~ гь-~-и Г(1+ 1) Г(й+ а+ 1) 2 708 ДОПОЛНБНИК П.
СПЕЦИАЛЬНЫБ ФУНКЦИИ )Ч. 1 Вычисляя вспомогательный интеграл о о получаем я=о е з'~ У (Ар) АаА. ,Лз -1 о Нетрудно убедиться, что он является решением уравнения вг оз вг 2 з з~' Функция также удовлетворяет волновому уравнению (г > О) 11ео + Й ео = — Ьев) + й ее = — й + й ео = О. 2 2 зе' 2 г дгз Разложим функцию ое(р) = еци/р в интеграл Фурье — Бесселя: еле = / К<Л).т,<рЛ)Л 1Л, Р о (16) где г'(Л) = / еыя уо(Лр) др.
о (17) что и требовалось доказать. Отметим, .что вычисление Вз можно провести аналогично, разлагая бесселеву функцию в ряд и производя затем почленное интегрирование. Рассмотрим интеграл 709 ПОЛИНОМЫ ЛЮКАНДРА Для вычисления функции и'(Л) воспользуемся формулами (12): Р'(Л) = / Яо(ЛР)(сезар+ гзшйр) др = о если Л>к, Лг ьг г 1 если й > Л. Дг Лг Таким образом, (18) — о(Р~) о т.
е. функция е м ~/р 2 ч. « 2 св = /~2 + гг совпадает с интегралом С(р, г) при г = О. Итак, обе функции се(р, г) и С(р, г) являются решениями волнового уравнения, совпадают при г = О и имеют в точке г = О, р = О одинаковую особенность. Отсюда следует, что они тождественно равны друг другу, т.
е. — у'зг:ьг(ц сь ур~+к~ ,т„<ЛР) ' Л 1Л = ' (19) Дг йг /г+ г' о Полученная формула широко применялась А. Зоммерфельдом в физических исследованиях и часто называется формулой Зоммерфельда. члсть и СФЕРИНЕСКИЕФУНКЦИИ Сферические функции были введены в связи с изучением решений уравнений Лапласа, и в частности с теорией потенциала. В ~ 1 мы рассматриваем полиномы Лежандра, которые используются затем для построения шаровых и сферических функций в ~ 2. Сферические функции являются весьма мошным аппаратом для решения многих задач математической физики. З 1. Полиномы Лежандра 1. Производягцая функция и цолиномы Лежандра.
Полиномы Лежандра тесно связаны с фундаментальным решением уравнения 710 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. П Рис. 101 Мо. Пусть т и то -- радиусы-векторы точек М и Мо, а Ру угол между ними (рис. 101). Очевидно, можно написать 1 1 для т< то, (орр — 2р 1 1 для т>то, '1 -1 р — 2р где х = соз уу ( — 1 < х < 1) и р = т~то < 1 или р = то)т < 1 (в обоих случаях р меньше единицы). Функция Р)р,.)= )2 р 1, -1 (У) )2) 1 1 -'; р — 22* называется производящей функцией полиномов Лежандра. Разложим функциуо )й(р, х) в ряд по степеням р: (3) Коэффициенты Р„(х) разложения (3) являются полиномами и;й степени и называются полиномами Лежандра. В силу теоремы Коши из формулы (3) следует, что 322(Р п! др" 2я1,/ р-ро (4) где С любой замкнутый контур в плоскости комплексного пере- 12, Р 2 «У(=р.п '1 — у2.к.(ус= = 1 — ),з, находим з = 2(з — х)1)(зз — 1), 21), = 2(1 — (з) )1з/(зз — 1), )Р(~, х) )(( = 2)(з))(зз — Ц.
Формула (4) примет вид Р„(х) = , )1з, ( 2 1)22 зкз / (з х)и-ы (5) С) Лапласа 1)УЛ, где Н расстояние точки М от фиксированной точки 711 нолиномы люкАндрА где С1 любой контур, окружающий точку 2 = х. Учитывая, что 1 7 (22 — 1)" — / ОЬ = (хз — 1)". 2тз,/ 2 — х и пользуясь формулой для производной 7п ( 2 цп ( 2 1)п ОЬ=в) сЬ, <1Хп / 2 Х ' ) (2 Х)пт1 с с получаем из (5) формулу для Рп(х): р ( ) (( 2 1)п) 1 Нп (6) Из формулы (6) непосредственно видно, что: Ц Рп(х) есть полипом степени и; 2) Р„(х) содержит только степени х той четности, что и номер и, так что (7) Рп ( — х) = ( — 1) и Р„(, ) .
Полагая х = 1, находим ф(Р,1) = = 1+ Р+... + Р" +... = ~ ' Рп(1) Р™, 1— п=е т. е. Рп(1) = 1, и в силу (7) Рп(-1) = (-1)". (7') Формула (6) называется дифференциальной формулой для полиномов Лежандра или формулой Родрига. Заметим, что из (1) и (3) следует разложение потенциала — — Рп(соя В) пРи г ( тО, 'ГО ГО п=е (8) 1 ге — ( — ) Р„(соя 0) при г ) ге. г п=О 2.
Рекуррентные формулы. Дифференцируя т(р, х) по р и х, получаем два тождества: (1 — 2Рх + Р ) Фр — (х — Р) и' = О, (9) (10) (1 — 2Рх+ Р') Фп — РФ = О. Запишем левую часть формулы (9) в виде степенного ряда относитель- но р, подставив в нее ряд (3) для ф и ряд фр = ~ — О(п+ 1)Рп-н(х) Р 712 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. П Коэффициент при р" полученного ряда, в силу (9), равен нулю при всех х; (л+ 1) Р,е,(х) — х(2п+ 1) Р„(х) + нР„,(х) = О.
(11) Это тождество есть рекуррентная формула, связывающая три последовательных полинома. Она позволяет найти последовательно все Р„(х) (и ) 1), если учесть, что (6) дает Ро(х) = 1; Рг(х) = х. Так, например, полагая в (11) п = 1, находим Рг(х) = 1/2 (Зхг — 1). Выведем еще две рекуррентные формулы: нР, (х) — хР„'(х) + Р,', г(х) = О, или (12) Рн — г (х) хРн (х) нРп (х) Р„'(х) — хР„',(х) — нР„г(х) = О. (13) Исключив из (9) и (10) Ф, получим тождество рФр — (х — р)Ф., = = О, из которого сразу следует (12), если в левую часть этого тождества подставить ряд (3) и приравнять нулю коэффициент при р". Дифференцируя затем (11) по х и исключая Р,', г = х~Р— нРо, получаем Р„'тг — хР„' — (н + 1)Р„= О или (13) после замены н + 1 на и.
3. Уравнение Лежандра. Найдем дифференциальное уравнение, решением которого является Ра(х). Для этого исключим Р„г и Р„', из (12) и (13). Сначала подставим Р„', из (12) в (13): Р' — хР' — нР„ь = (1 — х~)Р + нхЄ— нРо ~ = О затем продифференцируем полученное тождество по х и еще раз при- меним формулу (12) для Р„' ((1 — х )Р')'+ лхР„'+ лРа — иР„' = ((1 — хг ) Р',~' + нхР„' Ф нР— (нхр„' — нгР ) = О В результате приходим к уравнению ((1 — х')Р,',)'+ н(и+ 1)Р„= О. (14) Тем самым доказано, что полиномы Лежандра Р„(х) являются собственными функциями, соответствующими собственным значениям Л„= н(л л- 1), следующей задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
