УМФ Тихонов (965259), страница 102
Текст из файла (страница 102)
В з 1, и. 3 для и = п + 1/2 была получена формула (29), из которой следуст, что Я„.г д(х) = ~( — Ип ( х — — ) + 0 ~ (42) В ~ 4 будет дан вывод асимптотической формулы для функции й,(х): ур(х): соз х и + 0 (43) ~/ лх ~ 2 4) (,~~6) ' где и любое неотрицательное число (и > О). Формула (43) имеет место и при произвольном и, так что у ,(х) = ~/ — соз (х + — и — -) + 0 1 ) . (44) У ях ( 2 4) 1,х~Ь) $2.
Краевые задачи для уравнении Бесселя Простейшая краевая задача для уравнения Бесселя на отрезке ~О,те) связана с задачей о собственных колебаниях круглой мембраны 1 д 7 д.Л 1 д' Дги+Ли=О, 1)зи= — — ~ т — )+ (1) т дт (, дт) тз д1из ' с(т,~р)~„.-„, = О, )с(т,зз)~ < оо, и(т,~р) ф О. (2) Полагая и(т, х) = К(т)Ф(яз) и разделяя переменные (см. Введение), получаем Фи+ иФ = О, (3) — — (."— ) ~ (1- — ',)я= °, яи.) =О. ~е Условие периодичности для Ф(у) дает и = пз, где и - целое число. Таким образом, функция Н(т) должна определяться из уравнения Бесселя с1 Г сЩЛ пз ь(п) + Лтй = 0 ь[п) = — 1 т — ) — — Н (5) Й'г ~, дт) т з 2) КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ 679 при граничном условии Л(ге) = 0 (6) и естественном граничном условии ограниченности в точке г = 0 (Л(0)! ( сю.
Полагая (7) (8) у(х) = Л(г) = Л приходим к уравнению — — ~и — ~+~1 — —,)у=О, у(т)фО, (О) и~ ~М ~ "-) при дополнительных условиях у( Лгв) =О, )у(0)! < оо. (10) Отсюда находим у(т) = А7„(т). (12) В силу граничного условия у (ге./Л) = 0 имеем .7„(р) = О ) р = г ЧгЛ) . (13) / 001 го (14) которым соответствуют собственные функции / 00 ЛЯ = А7„~ г) -~ ги (15) краевой задачи (5) (7). ц На с.
766 дана таблица корней уравнения 1в(р) = О, в частности первый корень р 2,4048. [о~ Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней р, р, ..., р,„, ...,, т. е. уравнение (1) 00 00 00 ц имеет бесчисленное множество собственных значений 680 ПОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. 1 Из способа построения собственных функций видно, что всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (15). Из общсй теории уравнений вида Д[д[ + Лру = О, рассмотренных выше (см. Введение), следует ортогонольность системы собственных функций Н"' Б с весом т: ,1„~ '"' т),7„~ ' т) т11т = О при тп1 у': тз.
(16) 1'о 1'о о Вычислим норму собственных функций Л1(т) =,1„(а,1), где а1 = ОО = р " /го. Попутно будет получено условие ортогональности (16). Для этого рассмотрим функпию Л2(т) =,1„(азт), где аз произвольный параметр. Функции Л1(1) и Лз(т) удовлетворяют уравнениям — т + азт — — Л1 =О, — т + азт — — Л2 =О, причем Л1(то) = О, а Лз(т) уже не удовлетворяет этому граничному условию. Вычитая из первого уравнения второе, предварительно умно- жив их соответственно на Л2(1) и Л1(т), и интегрируя затем по т в пределах от О до то, будем иметь "о го (аз — а22) / тЛ1(1)Л2(т)11т+[т(Л2Л', — Л1Л,')) =О. откуда находим тало(азта)а1 Л,',(а1тО) а2 — а2 1 2 1'О Л1Л21 о тоои(а210)а11[1(а1то) 1ооо(а1то)а20„(а2то) 2 2 1 2 з 2) КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ 681 Переходя к пределу при оз -4 о1 и раскрывая неопределенность в правой части, получаем выражение для квадрата, нормы ио )(Л1(!' = ((,7п(озт))/ = / тй,(т) с1т = — [д,'(озто)) о или (18) 60 В частности, квадрат нормы функции,4 т) равен 44т то о '1 и'1 1и) 4Лто рт1 Если положить оя = у': о1 =, то из формулы (17) сразу 1'о 1'о следует условие (16) ортогональности функций Бесселя.
Отметим, что имеются таблицы нулей д функции,Уо(д) и соот[о) ветствующих им значений д1 (44,„) (см. с. 766). Приведем несколько т (о)з первых значений дт 1 д1 2,4048, дз - 5.,5201, дз 8,6537, рч — 11,791от. Из асимптотической формулы (42) 3 2 следует, что с возрастанием номера т нуля д разность л ч — ди1 должна стремиться к я.
~п) 1п'1 00 <о> Это можно проследить даже для нескольких первых значений 11~ ~ (например, дз — дз — 3,1336, р4 — дз - 3,1378, дт — дв — 3,1405 и <о) <о1 60 (о> ~о> <о> т. д.). В силу общих свойств собственных функций краевых задач (см. с. 666) имеет место теорема разложимости. Всякая дважды дифб1ерениируемая функция /(т), ограниченная при т = 0 и обращающаяся в нуль при т = то, может бьппь разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд ж / 1и1 /(т) = ~ ~А,У„~ "' т), 1'о т=1 682 ПОПОЛНЕНИЕ П.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. 1 где 77 147 ((г)д„~ ""' г) гдг го о од ог Вторая краевая задача для уравнения Бесселя Д(Н)+Агй=О, Н(г) у':О, Л'(го) = О, /Л(О)! < со решается аналогично. Собственные функции и собственные значения также будут выражаться формулами (15) и (14), где под д следует 07 '7 понимать корень номера т уравнения .т„'(11) = О.
Собственные функции задачи ортогональны между собой с весом г (см. (16)) и имеют квадрат нормы, равный ) 71(~'') 4 ="— ' 1 — " 17'((")) о го 2 ( ~~~) Аналогично решается и третья краевая задача. В этом случае для определения д получается уравнение вида ОО д.'(р) = 1 йд (11). $3. Различные типы цилиндрических функций Н(1) ( ) г Гя — ки,72 — х141 + ) 2 7ГХ Н(2) ( ) — ю (4 — и/2 — 77,74) 7 2 7ГХ (2) 1. Функции Ханкеля. Наряду с функциями Бесселя 1-го рода д (х) болыпое значение для приложений имеют другие специальные виды решений уравнения Бесселя. К их числу относятся прежде всего функции Ханкеля 1-го и 2-го рода: Н~ (х) и Н~ ~(х), (О Гг) являющиеся комплексно-сопряженными решениями уравнения Бесселя.
С точки зрения физических приложений основной характеристикой функций Ханкеля является асимптотическое поведение при болыпих значениях аргумента. Поэтому мы определим функции Ханкеля как цилиндрические функции, обладающие следующей асимптотикой: з 3) РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 683 где точками обозначены члены более высокого порядка малости относительно 1/х. Условия (Ц, (2), в силу 3 1, п. 4, определяют Н, (х) и (г) Н~ (х) однозначно.
Разделяя действительную и мнимую части, представим функции Ханкеля в виде НН~(х) = и',(х) + гА1,(х), Н "(х) = (.) - (х) (3) (4) где функции 1,(*) = — '(НН1( ) + Н( (х)1, (3') Я„(х) = — ' [НН1(х) — Нпб(х)~ (4') имеют асимптотичсский характер: /2 г и яз ,У„(х) = ~/ — соз (х — — и — — ) + У их ( 2 4) (5) /2 г я кз гУ,(х) = ~/ — зш (х — — и — — ) + ..., 1 пх ( 2 4) (6) мы видели, что амплитуда и(х, у) установившихся колебаний и(х,у,1) = и(х,у)е' удовлетворяет волновому уравнению и +, + ьги Аи+ гги что следует из формул (Ц и (2). Как будет показано ниже (см. 3 4, и. 4), введенная здесь функция ,7,(х) является функцией Бесселя 1-го рода, рассмотренной в ~ 1.
Мнимая часть гУ (х) функции Ханксля называется функцией Неймана или цилиндрической функцией 2-го рода и-го порядка. Формулы (3) и (4) устанавливают связь между функциями Ханкеля, Бесселя и Неймана, аналогичную связи между показательной функцией мнимого аргумента, синусом и косинусом (формула Эйлера). Асимптотичсскис формулы (1), (2), (5) и (6) подчеркивают эту аналогию. При изучении решений уравнения колебаний им=а (и„+и„„) 684 ПОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. 1 Н~ ~(Ь)е' ~ = ецм~+~'1 — + .
(туг = е' ~4) (7) Г2, 1 ~( ь зг1 Не (Йг)е' = ец ' '4 з71+ ) 2 (8) являются решениями уравнения колебаний, имеющими характер ци1г) линдрических волн. Функция Нв1 1(йг)е' г соответствует расходящим- % ся цилиндрическим волнам, а функция Не ~ (ьт)е' ~ - - сходящимся цилиндрическим волнамг1. Вторым важным свойством цилиндрических функций является их О.г1 поведение при х г О. В силу леммы 1 из Введения функции Н~~ ' и гу, при х — > 0 обращаются в бесконечность (так как з",(0) конечно), точнее, Нв ~(х), Н„(х), А1о(х) 1п(1/х), так как 7с(0) = 1 ~ 0; Н ~(х), Н~1 ~(х), Ж„(х) 1,1х' при р ) О, потому что 7,(х) х' при х — ~ О. Функции Ханкеля и Ноймана нулевого порядка являются фундаментальными решениями уравнения гзгг + А~с = О, поскольку они имеют нУжнУю логаРифмическУю особенность пРи г = ьУхг + Рг — ~ 0 (см.
гл. УП). Приведем (без доказательства) точные выражения для главных членов разложения этих функций в окрестности точки х = 0: Н, (х)= — — 1п — +..., 1О 2г 1 л х 2 1 Ме(х) = — — 1п — + ..., Не (х) = — 1п — + 2г 1 я х 2. Функции Ханкеля и Неймана. Как было отмечено в п. 1, всякое решение уравнения Бесселя нецелого порядка и выражается через функции,у~ и 7 ~. Установим связь между функциями Н, Не 01 (гав Н, иЭ„,1,. Так как всякое решение уравнения Бесселя при нецелом и можно представить в виде линейной комбинации функций У,(х) и,У,(х), то Ни (т) = Сг 7и(х) + Сг г — и(х) 1 Если взять временной множитель е ы", то расходящимся волнам соот- ~Ц 1г1 ветствует Н;, 1(йт)е '~', а сяодяпгимся Н1 ~(1т)е' '" . Если решение волнового уравнения обладает радиальной симметрией: с(х, р) = с(г), то, как бьто отмечено в З 1, функция п(Ы) удовлетворяет уравнению Бесселя нулевого порядка.
Таким образом, функции з 3) РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 685 ( хх 'г' хх ( 2 4/ /2 / я +Сг г(/ — сов (х+ — и — — ) . (10) )/ях (, 2 4) Преобразуем аргумент второго слагаемого к виду (х — яи/2— — гг/4): сов (х + — и — — ) = сов '((х — — и — — ) + яи1 = 2 4 2 4 = сов (х — — и — — ) сов хи — вш г х — — и — — 1 вш ям 2 4/ 2 4/ Сокращая обе части равенства (10) на т//2/ях и пользуясь формулой Эйлера для левой части, .получаем сов (х — — и — — +гвш х — — и —— 2 4/ ( 2 4/ = (Сг + Сз совки) сов (х — — и — — 1 — Свяпхияп х — — и — — ~, 2 4/ 2 4/' откуда — Сг в1пхи = г', Сг + Сз сов гги = 1, или 1 Сз = г яппи сов яи — 1 яп гги 1 = — Сге "'.
г япхи Подставляя (11) в (9), находим Н~ ~(х) = — (г/,(х)е ' ~ — и (х)з 1 г япгги (12) Аналогично НРЛ(х) = , ~3 (х)е/ ' †,/ ,(х)) . 1 г вшхи Пользуясь формулой (4'), определяющей А;(х), получаем из (12) и (13) ,/я(х) сов яи —,У,(х) .(х) = (14) вгп яи где Сг и Св постоянные, подлежащие определению. Для главных членов асимптотических разложений, очевидно, имеет место аналогичное равенство: 686 ПОПОЛНЕНИЕ П.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ )Ч. 1 Формулы (12), (13) и (14) получены нами для нецелых значений и. Для целого значения и = п функции Ханкеля и Неймана могут быть определены из (12), (13) и (14) с помощью предельного перехода при и э и. Переходя в этих формулах к пределу при и — э и и раскрывая неопределенность по известному правилу, будем иметь НЫ1(х) = йп(х) +1 — — ( — 1)" ', (12') Н~з~1х) =,У„1х) — 1 — — ( — 1)", (13') №пх) = — ' — (-1)п (14') Пользуясь представлением функций и', и У, в виде степенных рядов, можно получить аналогичные представления для Я~(х), а также Н~ ~(х) и Н, ~(х). Формулы (12) и (13) можно рассматривать как аналитическое определение функций Ханкеля.
Существуют, однако, и другие способы введения функций Ханкеля. В з 6 будет дано представление функций Ханкеля в виде контурных интегралов. Если и = и + 1/2, то функции Ханкеля и Неймана выражаются в конечном виде через элементарные функции. В частности, при и = 1/2 имеем № (х) = —,7 1 (х) = — ~1 — созх = ~( — зш ~х — — ), — .): е 2 з (х — л/2) ях Н, (х) = Л~,,(х) — г№~ (х) = 11 — ~соз р — — ) — 1зш р — — )~ = (з) 2(1 е 2 -~ (х-и/2) 3. Функции мнимого аргумента. Цилиндрические функции можно рассматривать не только при действительных, но и при комплексных значениях аргумента. В настоящем пункте мы рассмотрим цилиндрические функции 1-го рода от чисто мнимого аргумента. з 3) РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 687 Подставляя в ряд, определяющий,1,(х), значение зх вместо х, по- лучаем ( 1)Ь 222 2ЬЗ.к ,1,(зх) = г' ~ ( †) = 2'1,(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
