Зенкевич_Упр.манип_03 (962916), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Этот подход используется и в данном случае. Обратимся к уравнению динамики манипулятора в форме Даламбера (5.52). Будем считать, что известны желаемая траектория движения и соответствующие ей законы изменения обобщенных координат, их скоростей и ускорений д'(~)„4! (~) и д (ф полученные в результате процедуры планирования траектории (см. гл. 4). Ограничимся случаем, когда внешние моменты отсутствуют, а внешние силы представлены то.цько силами тяжести звеньев и нагрузки, которые заранее известны. Таким образом, уравнение динамики манипулятора запишем в виде (см. 8 5.3) Я(ц)д' = Я(д, д)!!у+ В;,(ц)С+ р. (8.1) Если задано движение манипулятора, т.е. векторы о, !1.
и !1 в фу нкции времени, то из этого уравнения можно определить необходимыс управляющие силы и моменты — вектор р. В этом состоит существо рассматриваемых здесь методов. 8.1.1. Компенсация динамики манипулятора в реальном времени Выберем вектор управляющих сил и моментов, используя формулу )-.о ~ ) ° ~т~ )6 ~( )~К г о ) К ~.о ! де К!э —— Йай х! „-- магРицы постоннных коэффициентов. Тогда во всех точках траектории, для которых де~И(д)-~ О, движение манипулятора будет подчиняться уравнению -о К~о)К~о (8.3) или дифференциальному уравнению относительно обобщенных координат вида о -о -о) где ~(4!, !1 , !1 )= К!4!' + К,!1' +д — известная заранее вектор- функция, зависящая от выбора программной траектории.
20- !408 305 Нетрудно выбрать такие значения параметров матриц К„К,, чтобы решение уравнения (8.3) дл» каждой степени подвижности манипулятора было асимптотически устойчивым. Тогда ~у(() — э д'(~), т.е. процессы в системе стремятся к своим программным значениям. Можно обеспечить и заданные показатели качества переходных процессов. Действительно, для г'-й степени подвижности постоянная времени У; = 1/ Я„, а коэффициент демпфирования г„. = 1с.„,/2 ~/со, что позволяет однозначно определить хн, /с„, если заданы требования по времени переходного процесса и показателю колебательности (см. и. 7.2) для 1-го канала управления. Поскольку определенная таким образом динамическая система состоит из Ж автономных каналов с желаемыми характеристиками, требование к каждому каналу управления нетрудно определить из обобщенных требований, предъявляемых к движению охвата манипулятора (см.
п. 7.3). Полностью реализовать управление (8.2) невозможно по ряду причин. Прежде всего, для этого потребовалось бы вычислять в реальном времени матрицы Л(д) и Я(д, ф), которые должны быть точно известны. Практически их можно определить для конкретного манипулятора лишь с известной степенью приближения. Вычисление этих матриц, к тому же, настолько сложно (см. гл. 5), что это обычно превосходит возможности управляющих устройств. Наконец, для того чтобы скомпенсировать соответствующие слагаемые, зависящие от г7 и д, их следовало бы вычислить к моменту компенсации, совпадающему с моментом измерения, что невозможно. Тем не менее такое управление в ряде случаев можно рассматривать как идеализированную модель, к которой можно приближаться.
Например, в тех случаях, когда влияние слагаемых Я(у, ф)д, определяющих относительные и кориолисовы ускорения, значительно меньше, чем слагаемых А(1()д, определяющих силы и моменты инерции, можно положить р= Я(д)г7 — В (д)6+ Я(д)(К (д -д)+К (д — д)) (84) При использовании различных приближенных формул для вычисления матриц Л(д), В,,(д) необходимо иметь в виду, что даже небольшие погрешности при расчете управляющих моментов приводят к быстрому накоплению ошибок. Так, при использовании управления 306 (8.4) с аппроксимацией Я(гу) = А(д), В,, (о) = В,,(д) и при условии, что можно пренебречь в уравнении (8.1) слагаемым, зависящим от скорости, вместо (8.3) получаем Л(Ч)(й — Ч') — КАЧ вЂ” Ч) — К,(Ч" — Чй+ Ь.4(Ч)Ч = ЛВ;, (Ч)6, где 6 4<Ч) = Л(Ч) —.Я (Ю, ЬВ; М = В; (Ч) — В„'(Ю.
Следовательно, погрешность в правой части будет дважды интегрироваться по времени, что и приведет к накоплению ошибки. 8.1.2. Компенсация динамики. программного движения Из уравнения (8.1) следует, что для реализации программного движения необходимо развить в степенях подвижности манипулятора силы (моменты) р=р'=Н'ч'-ж'д' — В 6, (8.5) где Л' = Я(Ч'), Я' =Я(Ч', Ч'), В,', = В„(Ч') . Непосредственная, без обратной связи реализация такого управления не даст ожидаемого результата, так как незначительные и неизбежные погрешности в вычислении р' приведут в результате интегрирования дифференциального уравнения второго порядка (8.1) к быстрому накоплению ошибок.
Программное задание сил по этой причине никогда само по себе не приводит к программному изменению координат. Однако и в этом случае можно поступить также, как в п. 8.!.1, выбрав своеобразный моментный регулятор по формуле, аналогичной (8.2): р — р + Я '1К (д — д)+К (о -д)) (8.6) Как и ранее, в данном случае возможны упрощения.
Например, пренебрегая вторым слагаемым в правой части выражения (8.5), получаем р' = Л "д' — В'"6 Если к тому же можно пренебречь и перекрестными связями, обусловленными динамикой механизма, то формулы для управляющих сил (или моментов) приобретают особенно простой вид 307 УО( ) ° "0 ~ ( О ) ) ( О ° )) ЯОт( Обоснованность тех или иных упрощений можно установить путем предварительного моделирования уравнений движения манипулятора. Реализация управляющих моментов (8.5), (8.6) не представляет трудности в вычислительном отношении, поскольку заранее были рассчитаны все матричные коэффициенты. Однако в этом случае уже не происходит полной компенсации динамики манипуляционного механизма и вместо уравнения (8.3) получим нелинейное уравнение вида 4(д)д' — ~7(д')Ч'" = Я(д, Ч)д - Я(д'.
Ч')Ч'+ (В;. (Ч) - В;(Ч'))6+ + ~~~(Ч )Ж! (Ч Ч)+ К2(Ч Ч)1' (8.7) Обозначая ЛЧ = Ч' — Ч, Лд = Ч" — Ч, получаем отсюда дифференциальное уравнение в отклонениях от программного движения: ЛЧ +~Ч)(д +дд) 'л(Ч )Ч =Я(Ч +~Ч* Ч +Дд)(Ч +дд) Я(ЧО ЧО)ЧО + (Вт(ЧО + (~д) Вт(ЧО))6+ Ч(ЧО)(К Дд+ К Ад) (8 8) Нетрудно видеть, что это нелинейное дифференциальное уравнение имеет тривиальное решение Ау=Ад=Ау=О. Если это решение асимптотически устойчиво, то асимптотически устойчиво и решение Ч" (г) уравнения (8.7), т.е.
программное движение, реализуемое с помощью выбранного управления. Для того чтобы исследовать устойчивость тривиального решения уравнения (8.8), выполним его линеаризацию в окрестности этого решения. Сохраняя принятые в 8 7.1 обозначения, получим .Л(д )Ад+ Л(д )Лд Я (д Ч )Ад+Я (Ч Ч )Ад+В (6 Ч )Лд+ о о) ~ ° У( о)(К т.е. матричное дифференциальное уравнение второго порядка (или систему нелинейных дифференциальных уравнений порядка 2Ф) вида Я(д )Ьд'+ М(Ч6, Ч')Ь4 + У(д', Ч', б~)ЬЧ = О, (8.9) где М(д', Ч') = -Р2 (Ч', Ч')+ Я(д') К, + Я" (Ч', Ч')лч1, Ф(д'. Ч', б) =-Ю(д', Ч')+В,'(6 Ч')+ Р(д')К +Л(д'Н. Таким образом, задача сводится к исследованию устойчивости тривиального решения Ьд = 0 линейного матричного уравнения с пе- 308 ременными коэффициентами (8.9). В частности, в окрестности отдельных точек траектории, например конечной ее точки, устойчивость определяется расположением корней характеристического уравнения с1ег( - У Х' + М Х + Ф) = О.
(8.10) Если для всех корней Х, этого уравнения выполняется условие КеХ, <О, то отклонения, обусловленные неточностью компенсации динамических состашшющих, стремятся к нулю с течением времени. Итак, в случае использования приближенных формул (8.5), (8.6) для вычисления управляющих сил и моментов, необходимо убедиться в устойчивости получаемой при этом системы. 8.1З. Проблема реализуемости Обратим теперь внимание на то, что представленные в и. 8.1.1 и 8.1.2 способы управления основаны на непосредственном формировании управляющих сил и моментов согласно одному из рассмотренных законов. Это возможно, например, при использовании высокомоментных безредукторных электродвигателей «прямого управленияя (о которых упоминалось в гл. 5) или электрогидравлического привода.
В настоящее время манипуляторы чаще всего оснащают высокооборотными электродвигателями с редуктором. В связи с этим возникает проблема формирования управляющих сигналов я(1) приводов, обеспечивающих заданный закон изменения управляющих сил и моментов )з(г) . Если речь идет о приводах, замкнутых по положению, что характерно для промышленных роботов с контурным управлением, то связь между 8(г) и )г(~) определяется уравнениями (7.14 ), из которых следует (8.11) где К',(р), И'„(р) — диагональные матрицы передаточных функций, Из последнего уравнения видно, что задачу определения я(1) по виду р(Е) можно в общем случае решить только приближенно, так как порядок числителя И', ' (р) может быть выше порядка знамена геля, т.с. нарушается условие физической реализуемости.
В соответствии с уравнением (8.11) управляющий сигнал 8(г) можно получить, решив в реальном времени дифференциальное уравнение али М,(р)8 =(М,(р)-»М,(р) — И(р? Я (Л., + К,р)?а + +Н(р)(р + 'Х (К ~7 +К юу )) (8.13) Если предположить, что программное движение реализуется точно а а = д', то соответствующий управляющий сигнал 8'(~) будет удов- летворять дифференциальному уравнению М,(р)8'(г) = У(р)р'(~)+(М,(р)+ М„(р))д'(~), (8.14) <оторое может быть решено предварительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
